Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Наьс потребуегся теорема о неявной функция. 134 Глава й Математические осповь~ численного анализа. где !уг(Ь) ! < С (6',!', ф )(й)! < С( 1!, 6 .—.- хг — х1 = и(уг) — и(у~), .й . уг — уь Так как оператор ф (хг, уг) обратим, то Ь О при й — О. и и(уг) - (у ) = -(У*(хы уг,) о Х ' ' у ))у — ю! б 1'ис. 2. Нвусторонняя бвфур- кация Рис. 3. Односторонняя бифурка- ция ( — закритическая, — — — до- критическая) Предложение б. Если А ф О (см. (44]), то х = Π— точка двусторонней бифуркации. Помимо решения х —.- О имеепься е це одна ветвь х(х) такая, что х(х) Е1 О при х ф О. При х ) О решение х = О неустойчиво, а устойчиво решение х(х). Если Л = О, но Оо = Π— В[(М вЂ” Л У) а~) ф О, где константа ХЭ где !,'41 = о(~)уг —. уг)).
Тем самым доказаны,щфференцируомость функгщн и(у) и формула (46). Существование производных балов высокого порядка получается по индукции. Случай Й = 1 читатель может рассмотреть самостоятельно. П Возвратимся к исследованию орбит (г "(хо)). При этом мы столкнемся с новым явлением, которое носит название бифуркации решения. Теория бифуркаций, в частности, исследует вопрос о ветвлении решений нелинейпгых уравнений вида 7(х, д) =- О, где и — параметр, д й С, а ф — отображение, 1': В х С э Н, скажем, такого же типа, как и в теореме 2. Пространство С называется пространством парамегпров; в общем случае С вЂ” некоторое банахово пространство.
Пусть х = х(д) — решение уравнения ( = О. Точка (х(до),до) называется точкой бифуркации, если помимо решения х(н) имеется непрерывное решение х1(р) уравнения у(х, д) = О такое, что х1(1го) — —. х(1ю), но в неко~арой окрестности О(ро) точки до имеются такие точки д, что хг(д) ~ х(Н). Это явление можно наглядно представить себе, если предпопожитгп что В = С = П (рис.
2.,3). На рис. 2 представлена двусторонняя бифуркация, часто встречающаяся в гидродинамике. На рис. 3 представлена односторонняя бифуркацня, когда решение хг(н) существует лишь при р й ро (случзуц когда решение хг(д) существует лишь при и < ро, столь же равноправен). Наше определение не охватывает все возможные случая ветвления решений —. оно не претендует на полную общность. Итак, будем считать, что Л(О) = 1, Л(х) ) 1, х > О, и предположим. что Г непрерывным образом зависит от х. 84. Уравнения в конечных р знвстях и смсхсиз>с вопросы 135 определяется из соотношения, рз(б, 0) =- Х>бз> тв ичеет, лсесп>л односторонняя бифдркацил. Если Хуе < 0 (Во > 0), тв новое решение т>вявяяется при х > 0 (х < О).
В обоих сяралях решение х = 0 при >. > 0 неустойчиво. Доклззгткльство. Пользуясь формулами (43), найдем неподвижные точки отображения Е, лежащие в малой окрестности точки х — -- О. Для этого предположим, что х и Л вЂ” 1 малы, Решение системы б — -- Лб-р Ы з)+рз(б: з)+Ы з), з = ййз — дз(б, з) — дз(б, ) дз(б, ) может быть найдено последовательно.
Из второе уравнения., пользуясь теоремой 2, определим = (б)> причем при малых б' очеввдно. что ~~з(б)2 < Сфз, Эта оценка элементарно получается на основании того, что ( ЛХ~~ < 1 (если потребуется, можно, как и выше, перейти к эквпвалентной норме в Е). Подставляя з(б) в первое уравнение, получим в силу (44), что равномерно по х б = Лб т Абз — о(б), где щ(б) = 0(б~), ьСь>(б) = О(бз ") (й = 1, 2, 3). Отсюда следует существование единственного решения б> ф. 0 уравнения 1 — Л = Аб -ь 1> (Я),сц Итак, функция Е имеет неподвижную точку (б>р, з(б>)), непрерывно зависящую от х. При х = 0 это решение совпадает с решением х = О.
Рассмотрим теперь случай, когда А =- 0 и рз(б, з) = В(я)8+С з, з). Произведем частичное приведение к нормальной форме. С этой целью введем новые переменные ц, С с помощью обратимой замены переменных б = ц, з = С + иц, где и — некоторый элемент пространства Е. Отсюда ц> = Лц+ рз(ц, С + ил ) + рз(ц, С -'г иц ) + Хз(ц, С -г иц ), С> = ЛХС вЂ” дг(ц, С 4- иц ) -'г ц АХи -~- дз(ц, С+ иц ) -г дз(ц, С -'г иц ) — ц, и. С> =- ЛХС+ ЦтС вЂ” с,'С, С),- дз(ц, С) Р дз(ц, С), ц>: Лц + В.С)ц С(С С -с рз>'0 С) -С- Хз(ц С) (47) (48) причем ц зрз(ц., 0) = (Х> -~- В'и)) =  — В[(ЛХ вЂ” Л>1) 'а) = Ве. Далее, как и раныпе, полагая в (47), (48) С> = С, ц> = ц, ищем решение получившейся системы уравнений.
Из уравнения (47) но теореме 2 находим, что С = С(ц), причем ~С ) < СЯ~ и С(ц) б С . Подставляя С вЂ” — й ОС) в уравнение (48), в котором положено га = гй получим уравнение ц = Л>1 Воц т д>(ц), (49) где Р б С~, (З>! < Сц". Отсюда находим цз — — (1 — Л)Ве ' — Во '.Р(ц)ц ', и, значит, уравнение (49) имеет вещественные решения прн Х>е < О, если Л > 1, т.е. х > О, и при Х>с > О, если Л < 1, т.е. х < О. Из последнего уравнения находим два решения: цт = ( ) (1+ о(1)).
Подставляя во вторую формулу ц> из первой формулы и приводя подобные члены, получим, что коэффициент при цз будет иметь вид а + (ЛХ вЂ” Л>1)и. Если (х, 'мал, то Л' мало отличается от 1 н оператор ЛХ вЂ” Л 1 обратим. Поэтому, беря и = — (ЕХ -- Л>1) 'а, получим 136 Глава М. Математические вснввьс чнслешсагв анализа. Таким образом, имеем одностороннюю бифуркацию. Доказательство неустойчивости решения .г = 0 при н > 0 мы приводить не будем. Читатель может его восстановить сам. П Неслогкно доказать, что решения, ответвляющиеся от основного решения х = О, будут устойчивы при м > О. Таким образом, основное решение х = О, теряя устойчивость, отдает ее новым решениям, появляющимся при и > О.
Из доказанного предложения и сделанного замечания вытекает важное Следствие. Если основное решение теряесп ратай сивость таким способом, чспв у впераспвра Г'(О, м) при м = 0 появляется простое собственное значение Л = --1, тв ат всновнвгв решения х = 0 ответвляется цикл периода 2, сп. е. появляется хотя бп одна пара точек (хм хг), для катерах Г(хс) — — хг, Г(хг) — -- хс.
Доклзлткльотво. Если Г (х) .—. Г е Г(х), то, согласно цепному правилу (см. (27) 51)., Гггх(0, м) = [Г'(О, .гс)], и у этого оператора будет собственное значение Л = 1 при м = О. Если реализуется первая возможность предловсепия 5, то на смену неподвижной точке х — —. 0 при с > 0 появится устойчивый цикл периода 2, а если реализуется вторая возможностгь то могут появиться два цикла периода 2.
П Таким образом, имеется простой механизм возникновения периодических орбит отображения Г. А именно, если неподвижная точка отображения Гг теряет устойчнвостыаким спсюобом, что собственное значение дифференциала отображения проходит при изменении параметра через значение Л = - 1, то может вовникнуть цикл с удвовнным периодом. Б нЕкоторых случаях удвОение периодов происходило счетное число рвз. Периодические орбиты с довольно большим периодом иногда приходится наолюдать прн решении нелинейных систем уравнений методом Ньютона. Во всяком случае вычпслителю нужно быть готовым к такой возможности. 6.
Инвпрнпнтные многообразия. Для того чтобы картина была более полной, рассмотрим, что происходит, когда оператор Цх) в комплексификации Ва имеет собственные значения Л и Л: Л =. рехр(гд). В предыдущем пункте мы уже построили разложение пространства в прямую сумму В = У ей У. Осуществляя проектирование соотношения хс = Г(х), получим соотношения, аналогичные соотношениям (43). Пааожим С = бс — сб и, пользуясь формулами (39)-(41), получим с,! = ЛСч Р11(с„с,) д-рсг(х)с, ч-счссг(е)с.+Р'г(, ) д- .!<с(с„с г), (50) -" = йрг+р (С б)- рсг(г)б-йсг(г)б — йгг(г, г)-' мрс(б, Ь ): (51) где !'сс(ч, б) = .'1ссбг Вс:(б(~, Ссс~", Асс, Все, Ссс б С, !'сг(в), Ссг( ) — линейные функционалы, определенные на Е, Рсг с Е С, и аналогично Сс . Š—.
С; Ргг'(я, -) — билинейный фу.нкционал, Ргг: Я х У -' С, а многоточием обозначены члены третьей степени, )с б Сс, ,,'(с~ = 0[(Ц + ~,'г,'~) ]. Форма г рсс(с, б) = а|~ б -~ Ь!с~,:' -~ссЯ такова, что ам с сп й Ус, но при любом б имеем рп(Ч, Ч) б Е. Далее, рш, Ош -- линейные операторы, р,: У 2;, Я сг„ но рсг(г)б -- сссг(е)б б У. Аналогичные замечания имеют место и для слагаемьсх третьей степени. С помощью частичного приведения к нормальной форме в (51) можно уничтожить форму ры((, б) и соответствующую форму третьей степени.
24. Ураонвииз о консчимя р оиосталз и смсгюньдз аопрогьд 137 Так, чтобы уничтожить рд д(б, с), достаточно сделать обратимую замену д" = т, з = Д вЂ”;идт — аг,'т изт с неопРеделенными коэффициентами ид, из б Ии иг б И н подобрать нх соответствующим образом. Как и выпде, мы не встретим при этом никаких препятствий. Поэтому буделд считать, что в (51) рдд = 0 и тождественно равна нулю соответсдвующая форма третьей степени. Итак, если положить гд =- Лйг -ь 4д(б, бд г), то д5(б., О 0) .= 0(Ц~). Уничтожим нерезонансные члены в соотношендш (50).
Положим 0 = т т ид(т, т), г — -- д, где фг "- квадратичная форма от т, т. Мы будем следить за преобразованием соотношения (50), поскольку при таких преобразованиях никаких супдественных изменений в соотношении (51) не происходит. После подстановки получим тд = Лт + Рдд(т., т) + Лфг(т, т) — ддгг(т, т) -' ..., откуда тд = Лт ' Рдд(т, т) -1- Лздг(т, т) - удг(Лт, Лт) -1-.... где многоточием обозначены члены выше второго порядка, либо члены, содержадцие функционалы ог б Определим дддг уравнения Рдд(т, т) - Лйг(т, т) — дддг(Лт, Лт) = О. Выясним, когда это возможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
