Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если йг(т, т) = Рд тг 1- Рдтт- Рзтг, то получим уравнения Адд — (Л вЂ” Л )Рд = О, Вдд -1- (Л вЂ” )Л )Рг =' О, Сдд: (Л вЂ” Л )Рз = 0 (52) Будем считать, что Л(0) = ехр(др(0)) удовлетворяет соотношениям Л" (0) ~ 1, й = 1, 3. (53) Поэтому уравнения (52) можно разрешить относительно Рд, Р, Рз и тем самым исключить Рдд. Для простоты изложения будем считать, что Рд .—.—. 0 в (50). Посмотрим, можно ли обратимой заменой уничтожить форму третьей стоподпд от б, б, имеющую вид 3 — — г — з Аггч т Вггч ь Сгг(ч — ', Рггь С этой целью сделаем обратимую замену: б — -- т — удз(т, т), г — —. дг где фз(т, т) = = Вдт + Вгт У+ Ватт + Вдтз.
Рассуждения, аналогичные проделанным, приведут к следуюдпей системе уравнений: Агг -ь (Л вЂ” Л )Вд = О, Вгг -с (Л вЂ” Л)Л) ) Вг = О, Сгг + (Л вЂ” ЛЛ ), Ргг + (Л вЂ” Л )Вд = О. Отскдда видно, что второму уравнению удовлетворить невозможно, поскольку Л(0) ~ = 1. Мьд имеем так называемый случай резонанса. Остальные уравнения удовлетворяются, если только Л (0) ~ 1, й .= 2, 4. (54) Считая, что это ссютношение выполнено, выберем ба(т, т) так, чтобы остался один резонансный член Вггб~( в форме третьей степени.
Чтобы не вводить новых обозначений, предположим, что О = ехр(ддд)(рб — дуб б) — х(б, Сд г), гд = Мз — сг(б, ('; з), (55) где Л(чЛ ч; 0) = 0(~Ц~ ). Отметим, что Л, дд й С . Найдем инвариантные многообразия для преобразования (55). 138 Глава 2. Математические основы численного анализа. Предложение 6. Пусть выполнены условия (53), (54) а И 7' О.
Тогда отображение Г амееп> инвариантное многообразие, гомес>морфное окружности и яезюащее в малой окрестности неладен:есной точки з = О. Если КеВ < О, то это инварианглное .многообразие существует при н > О и является пршпягивающим многообразием. Доказаткльство.
Для удобства зто инвариантное многообразие будем называть инвариантной окружностью. Рассмотрим лишь случай м > О. Пусть р =. 1 т е, е > О и мало. Положим б = чгеехр(10)(1 з(0))7, - = и (О), где з(О), и (О) — непрерывные функции, определенные на окружности Я, з -- вещественная функция, и й Я. После подстановки в (55) получим (1 -~- з(0> )) ехр(ий> ) — — ехр(>(Π— д) ) (1 — з(0)) [1 —: е —, В) у ' е(1 -'с 2з -'г- з )] -1- + "'Х, (О, з, и; е), (56) а из второго соотношения (55) получим и(0>) = (ЛХи)(О) —, е > й>(з, и, О; е), (57) где Х>, Со> -- гладкие функции.
Величину,,)г выберем из условия 14-,';~~ Ке)1 —... = О, что возможно, если Ке В < О. В дальнейшем мы будем отыскивать инвариантное решение, для которого п>ах[в(О) ~ < 1>3. Вычисляя абсолютные вели- в чины от левой н правой части соотношения (56) и затем производя разложение в ряд, получим 14-з(В,) =- (1 — з(О)) [1 — е(2з(0) -' з (В)) + ~ Хг(0, з, и; е)], откуда з(В;) = [1 — е(2 — 3з(В) †, з'(О))]з(0) - е ~ Хз(О, з, и; е). (58) Ногарнфмнруя соотношение (56) и отделяя мнимую часть, получим О> = 0 .1.
р —,е7>(1- в(В)) + е' Х4(О, з и' е) (59) где у> = ~7 1шгй Функции Хг, Хз; Х4 имеют ту же гладкость, что и функция Хь Ниже будем рассматривать пары функции ш(В) —. (и(0), з(0)) и на множестве Ф' таких пар введем норму )з>:! = п>ах( (и(,,:з| ), где (и(: = тах5и(0)[(, )ззо = шах)з(0)[. Мы получим полное линейное нормированное пространство, которое снова обозначим через >г', и в ном рассмотрим компакт Л, состоящий из тех пар, для которых з) (~ 1>>6, )з", ~ (ео, ~и) < 1, (и'~! < 1, и' = ди(0)>>ИО., где постоянная го будет уточнена ниже.
Если с> й ]г, то из соотношения (59) поясно найти 0 = >1 (О>) и затем сделать подстановку в правые части (57), (58). В результате получим отображение Т, ставящее в соответствие паре а> е Л некоторую пару ш>. Пока>кем, что 'Г; Л К, и сведем исходную задачу к нахождению неподвижной точки отобра>кения Т. Пусть и>, з> — левые части соотношений (57), (58), когда (и, о) — произвольная пара из Л. Тогда нз (57) имеем (и>),ь < )М!') и[, 4- Сею~[) и[, + )зйо], 54. Уравнения в конечных р зиассплх и смежив>с вопроси> 139 где С вЂ” константа.
Отсюда (и> д < 1. Из формулы (58) следует. что где Сс — константа. Отсюда следУет, что )зс),с < 1>6, Из соотноп>енин (59) выл екает, что 1 = (1+ [2з 0(1+ в(0)) + зщзХз,(0, з, и: з))з (О)+ з>з, 3!з с1>з(0) 1 00 +з Хзв(11 з и~ з) з Хзз(0, з, и; з) ~ . (60) 1 Поэтому = ([1 — з(2 —,бз(0) Зз~(0)))з~(0)+аз>з Хз(0, з, и; в)) —, с10> 00 ' ' ' 00>' где дхз(О, в, и; з)с>дΠ— производная сложной фу.нкции> и она вычисляется так же, как и производная фу.нкции;Хз Поскольку из (60) следует, что ~дО,Сс10>— — 1~ < Сз за, где константа Сз не зависит ни от з, нн от за. то ~зс,' < (1— — з/2) ~з'~сс -ь Сзззс >.
если С>за < 1>>2. Отсюда )з> [ < зо. Лналогично доказывается неравенство ~ди1'00~' < 1. Легко проверить, что отображение Т непрерывно, а компакт К вЂ” выпуклое множество. Поэтому по теореме Шаудера (она будет сфорзсулирована ниже) у отображения Т имеется неподвижная точка.
То, что эта неподвижная точка притягивающая, легко проверяется. П Теорема 3 (Шаудера) [58!. Прсгаь  — банахввв простраиссиво, К с  — выпуклое множество. Если нессрерывиве отображение Т: К К таково, ."ств Т(К) — вьспуклый компакта тв в К имеетсл >сеподвизю>сал >почка отображен>за Т. Предложе>ще 6 знакомит нас с новым типом ипвариантпых множеств— инвариаптной окружностью.
Если бы оператор 5(>с) в комплексификации В имел бы не одну пару простых комплексно сопряженных собственных значений, а две пары, то, вооб>це говоря, при потере устойчивости стационарной точки мог бы появиться инвариантный тор — инвариантное притягивающее множество, п>меоморфное двумерному тору. Эза картина может усложниться, а кроме того, эти инвариантные множества в свою очередь могут терять устойчивость при изменении параметра, и могут возникнуть довольно сложные устойчивые ннвариантные множества.
Не давая четкого определения, назовем такие множества аттракторами. Лттракторы могут не быть многообразиими. Орбита (хь) точки хз, принадлежащей аттрактору, может представлять собой хаотически устроенное множество. Если взять две близкие точки на аттракторе в качестве начальных данных, то их орбиты могут экспоненциально разойтись, оставаясь на аттракторе. Подробности см. в [104). Т. Отображение Хе>зона.
Исключительно простой пример отображения двумерной плоскости ге~ принадлежит йй Хепону. В этом примере можно наблюдать бифуркации удвоения периода и к тому же в счетном числе, а также аттрактор, именуемый ссараииым, по причинам, которые станут ясны ниже.
140 Глава М. Математические оснооья чяясленного анализа. Если я = (л, у)' й ге~, то отображение Хенова имеет вид (61) где ая Ь -- параметры. Преобразование à — частный случай преобразований Кремоны — бирациопачьных преобразований плоскости, образующяпя группу. Понятно,что я =Г (яя) = Ь 'у -1+*,+аЬ- у1)' Неподвижныо точки отображения Г даются формуламн 1 — — [- +я Д~Г-яв ° ~ ), 2а Мы будем предполагать, что а > — (1 — Ьа)яЯ4, поэтому отображение Г имеет две неподвижные точки.
Приляем, что 0 < Ь < 1, а > О. Из двух неподвижных точек точка х = (т, у ) всегда неустойчива, а точка т:. = (т., ус) устойчива лишь при а < 3(1 — Ь)зяя4. Если а = оя ая = 3(1 — 6) я4, то происходит потеря устойчивости точхи а е, причем так, что одно из собственных значении матрицы Г'(шя) становится ровным — 1.
Поэтому появляются неподвижные точки отображения Гм Несложно проверить, что при а =. 3(1 — 6)~яЯ4 в соотвеоттвии с предложением 5 появляются две неподвижные точки (или же можно сказать, что две ветви стационарных решений, если рассляатривать непрерывное изменение параметра а). Вторая бифуркацня происходит при а = = аа, а — —. (1 — 6) + (1 -!- 61/4), когда неподвижные точки отображения Гз теряют устойгяивость и появляются (таким же способом, как и раньше) четыре неподвижные точк~ отображения ГЯ, илн, что то же самое, четыре периодические орбиты отображения Г, имеющие период 4.
Примем, что Ь = 0,3. Бифуркационные значения параметра приведены в следующей таблице (5Я вЂ” номер бифуркации): я'я" 1 2 3 4 5 6 7 ан 0,3675(0) 0,9124(9) 1.,0285... 1,0511... 1,0565... 1,0577... 1,0о79 .. При значениях о„заключенных в пределах ан < о < анэя, у отображения Г имеется 2~ устойчивых циклов периода 2~. Для рассматриваемого отображения число бифуркаций удвоения периода бесконечно, причем таблица наводит на мысчь, что !пп ан существует. Более того, установлено, что бифуркапионные значенияпараметра таковы, что существует 1пп Я н "м"' = д. м я н Экспериментально был найден (путем расчетов на ЭВЫ), а затем подтвержден теоретически универсальный характер константы д: д = 4,6692...
А именно, большое чиано отображоний, среди которых мы встречаем и отображения отрезка в себя, имеют бесконечное число бифуркаций удвоения, и бифуркацяяонные значения параяяетра следуют приведенному закону с одной и той же константой д. Это и понято, поскольку мы имеем дело с отображением Г и при большоья М начинают играть не индивидуальные особенном сти отображения, а некоторые его общие характеристики. В данном случае, 34. Уравнения е конечныт раз»шотах и смеаюныс вопросы 141 0,4 0,2 — 0,2 — 0,4 -1,0 0 1.0 Рис. 4. Итерации отобрал«ення Р; 10000 последовательных точек, начиная с точки (О, О) используя приведенный закон, можно получить значение а, = !1ш ал: а<« —— Х = 1,058...
Что же будет происходить при и > а, ? М. Хенон численно установил, что появляется инвариантноо притягивающее множество необычной природы. Расчеты производились при о = 1,4, Ь =" 0,3, причем в качестве на шляпой точки бралась либо точка (О, О), либо одна из неподвижных точек (именно точки х« =- (0,63135..., 0,1894...)). На рис. 4, 5 показаны первые 10000 итераций, начинавшихся соответственно из точек (О, 0) и шь. Оба рисунка трудно различимы и подтверждают, что на них изображен аттрактор. Неподвижная точка х«лежит на аттракторе, который выглядит как бы состоящим из ряда более или менее параллельных «кривых». На первый взгляд структура аттрактора проста -- каждая кривая выглядит как одномерное многообразие.
Однако поперечная структура опроворгает зто представление. На рис. 6-8 видно,что каждая из бывших «кривых» расщепляется на несколько компонент и как будто бы процесс расщепления будет продолжаться бесконечно. «!'исунки 6 — 8 показывают существование иерархической последовательности «уровней», причем па каждом уровне структура практически одна и та же с сохранением масштабного множителя. Именно такой структурой является канторово множество» )104). Движение по аттракгору носит хаотический непредсказуемый харакгер. Это видно хотя бы на рис. 9, где приведены последние 40 итераций из тех 10 000 итераций, которые сформировали «ттрактор; зти итерации занумерованы последовательно так, что 9961-я итерация носит номер 1 и т,д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
