Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 33
Текст из файла (страница 33)
142 Глава 2. Магаемоапизвские основы яяшлеияого аналгшо, 0,4 0,2 — 0,2 — 0,4 — 1,0 О 1,0 Ряс. 5. Итерации отобрахгения Е; 10000 последовательных точек, начиная с точки х ~ 8. Формула суммирования Эйлера. Перейдем к рассмотрению вопроса о числах и миогочлепах Бернулли и формуле суммирования Эйлера.
Числа Бернулли Ва (1 —.. О, 1,...), введенные Я. Бернулли в 1713 г., определяются из разложения В„ — г, е" — 1 г и! »=о (62) ~с ), ~В„ =о откуда Позтому Вг .= — 172, Ваь+. — — 0 (гг =- 1, 2,...). Умножая соотношегше (62) на сходящегося в круге ф < 2я. Если в формуле (62) положить - г — — б и затем песколько преобразовать леву-ю часть, то получим 34.
Уравнения а конечных р опосгллх и смеэгсныс вопросы 143 0,20 038 0,16 0,55 0,60 0.65 0,70 Рис. 6. Увеличение квадрата с рис. 5. Число точек в реализации 10 и производя перемножение рядов. получим тождество п! (Й 1)! из которого вытекают соотношения — г / Во — -1, ~ ~ В.„=б, =23, =о Отсюда следует, что числа Бернулли — рациональные числа, и можно опреде- лить В„при и = 2, 4...
Приведем первые, отличные от нуля 14 чисел Бернул- ли; Во =- 1, Вг =- — 1 2, Вг =- 1/6; Ва — — 1/30, Во -- 1,г42, Ве = . 1гг30, Вго = ог,гбб, Вгг = -691/2730, Вгч = 7,'6, Вю = †36/510, Вгв = 43867/798, Вго = †1746/330, Вгг = 854513гг123, Вгг †'' — 236364091/2730. яхсябях —. 1 1- ~ ~ (2ях) ".
( — 1) Вг~ (2~)! (63) Б формуле (62) сделаем 1юдстановку г = 2я1х. Преобразовав левую часть с помощью формул Эйлера, получим тождество 144 Глава 2. Матемахвоческие осиоеьэ численного анализа 0.188 0,186 0,680 0,635 0,625 0,640 Рнс. 7. Увеличение квадрата с рнс. 6. Число точек в реализации 10" Левая часть этой формулы равна тк р 1п(е!пях).
Воспользуемся известным представлением функции е1п кх в виде бесконечного произведения: г --'=. П('- Ь) ь=г Вычислим от обеих частей л(эгарифмическую производную. Тогда получим в гхстйях = 1 — ~~ Раскладывая в степенной ряд функцию (1 — х /к~) ' и меняя местамн порядок суммирования (что законно в силу абсолютной скодимости рядов при лгалом ~х ), получим яхс18кх = 1 — 2~ х в ~й о=3 Напомним, что ряд 2 и " сходится при Ке е ) 1 и его сумма является впали- =1 тнческой функцией в, так называемой деева-функцией Ромена Де), 34.
Урооненвл о конечных ралностлх и смежныс вопросе~ 145 0,1895 0,1894 0,1893 0,1892 0,1891 0,1890 0,1889 0,6305 0,63! 0 0,6315 0,6320 Рис. 8. Увеличение квадрата с рис. 7. т1исло точек в реализации 5 10 Рис. 9. 1!оследиие 40 изераций из числа 10000 146 Глоео, 2. Математические оснооы численного анализе Учитывая это, можно представить левую часть соотношения (63) в виде ихс1йих = 1 — 2 ~ х "з'(2п). Сравнивая коэффициенты при хги в посс«однем соотношении и в формуле (63), ПОЛУЧ«1М ( 1)и — 122 — 1, 2и С(2п) =, в2 . (64) (2п)! Поскольку 6(2н) > 1,то ( — 1)" 1В2 > О,и, следовательно, зип Вги = ( — 1)и Принимая во внимание очевидное соотношение Ош З(н) = 1, поз«учим форму- и «« лу ( — 1) и- ' Вги 22 и ' 1«ги (2п)! пояснязошую характер роста чисел Бернулли.
Многочлены Бернулли В (т) порождаются производящей функцией (65) е' х Ви(х) е — 1 и! =о (66) Убедимся, что Ви(х) — действительно многочлеп степени и. Умножая ряд (62) на ряд й! ь=о получим разложение в ряд по степеням - левой части формулы (66). Сравнение коэффипиептов рядов дает формулу В (х) =- ~ Вехи ". ь=о «« (67) — 1" ц1 — «1( «1) — 1 — «2 ч ( 1) В ( ) и 1 — е" г-' п! =о после сравнения коэффияиентов при одинаковых степенях " получим тожде- ство Ви(1 — х) — — (-1)иВ (х).
(68) Поэтому В„(1) = ( — 1)" Ви, и, следовательно, В1(1) = — В1«Ви (1) = Ви (и Г 1). Применяя оператор Ь (к функциям от:е) к обеим частям формулы (66), полу- чим х- ЬВ (х) и! .=-о откуда 21«Ви(х) = пх" ', и = 1, 2, (69) Поскольку (о) Во Ф О, то Ви(х) — многочлен степени и. Из формулы (66) непосредственно следует, что Ви(О) =. «Ви, а подставляя в (66) 1 — х вместо т и записывая левую часть этой формулы в виде аз.
Уроонннвл е конечных р оносгплх и смсоюнмс вопросы 147 Это разностное уравнение и начальное условие Во(0) = В„определяют однозначно многочлен Бернулли. Приведем первые пять многочленов Р„,(х) = В„(х) — В„: 2 з 6 з Рг(х): х Рз(х): х — х Рз(х) ... т, х з, х 2' 3 3 5 б 4 б 3 Ра(х) = х — 2х .т., Рь(х) = т, — — х + — х' — — х. 2 3 6 Многочлены Бернулли удовлетворяют еще одному залзечате.льногоу соотноше- нию, тутобы его получить, продифференцируем тождество (66) по х, что закон- но в силу абсолютной скоднмости рядов при малых )х). Тогда, полагая И7дх = = Р, получим гсее ВВ (х) е" — 1 ь и! »=о откуда В„(х) „ ~ ВВ (х) *х п! ь и! Следовательно 3е = / Вз (х) ехр( -2кйсх) Их = е г 1 ',, 2п Р— — схр( — 2лзйх)Вэ (х) / екр( — 2, 1Их)Ве — г(с) г1х 2кгй о 2к11с,/ о (здесь мы воспользовались формулой (70)).
Заметим, что внеинтсгральные члены обратятся в нуль. Продолжая этот процесс, получим (2п)! (2т) з'" И"' Поэтому ( — 1) (эп) ' соз эт1сх Положим х =-. 0 и сравним полученный результат о формулой (65). Б результате получим со = О, и, стало быть, прн 0 ( х < 1 (2п)! ( — 1)" ' т сов 2лйх 2~" — '~~ ~ И" к=1 (71) ВВ„(х) = пВ„..~(х), и = 1, 2,... (70) Мы видим, что многочлены Бернулли удовлетворяют такому же уравнению, что и фундаментальные многочлены оператора 1Э, но иному начальному условию, а именно условию периодичности В„(1) = Вв(0) (и ) 1), а не условию В„(0) = О, как у фундаментального многочлепа.
Рассыотриги разложение в ряд Фурье на )О, 1 ) многочлена Вг»(х). С этой целью интегрированием по частям вычистим прн Й ф 0 интеграл 148 Глава 2. Магаемвгвическгге оснвоы чнслсннвгв анализа Дифференцируя это соотношение и пользуясь форъгулой (70), полу пгм (2и — 1)! ( — 1) х сое 2хйх п =- 1, 2, Эге-г га-г Л йг й-1 (72) Сравнивая эти формулы с форйяулой (2.8) получим при 0 < х < 1 ф,(2ггг;) = — Вг(х), г = 1, 2, г! (73) [Вг„(х) .- Вг„]( -1)" ) О, 0 < х < 1. (74) Располагая приведенными сведениями о многочленах Бернулли мы можем вывести формулу суммирования Эйлера. Учитывая результаты п. 1 данного параграфа, имеем Ь вЂ” -- еп — 1. Отсюда 4юрмвльно получаем г5 ' = (е — 1) или еп--1 ~ и! =о Применим это соотношение к функции йв(х) = г'.й,((х); тогда получим ф (х) = ~~ —,йв" (х).
.о Интегрируя по отрезку,'к, 1], где 1", 1 Е о, получим г — ! ,Легко видеть, что Я) — 7(к) = 2 йг(в), и поэтому юг о, г, фи) = / р(х) г(х+ ~ ~— ", [йв" Ю(1) — йг~" 0(1с)]. (75) =й й =1 Это и есть формула Эйлера. Ряд в правой части сходится, если йг — целая функция экспоненциального типа а < 2гг. Поскольку для функций такого рода ]1вйй(х)] ~ то сходимость ряда следует из формулы (65). Однако рядом (75) неудобно поль- зоваться даже для целых функций экспоненциального типа. Поэтому найдем остаточный член в формуле Эйлера. Выразим из формулы (64) Вга, вместо 4(2гг) подставим ряд 2 к г" и затем й=1 полученное соотношение вычтем из (71).
В итоге найдем полезное неравенство 24. Уравнен а е конечныхр оностлх и смежные вопросы 149 Пусть (х) — дробная часть числа х; интегрируя по частям, получим эз ((.) — -)р'(х) =2[р( +1)+р( )) — [ р(х) .. 1, 1 Положим в этой форлсуле и =- й, й + 1, ..., 1 — 1 и просуммируем полученные равенства. Замечая, что Вз(т) =- х — 1/2, получим 7 Вз((х))р'(х) дх = ~ ~х(и) — / р(т) Нх, ь .=ь ь где зптрих у знака суммы означает, что слагаемые при и = й и и —. 1 берутся с коэффициентом 11'2. Формулу (73) можно записать в эквивалентном виде: г! В ((х)) = —; ф, (2лх), из которой следует, что В„((х)) — дифференцируемая функция и с1 — В„((х)) .=.
гВ,. з((х)), г > 2. Поэтому 1 — 1 В,„((х)) = т! В ((х)). Применяя эту формулу и прОизводя интегрирование по частям, получим — 1 В, (( ) ) р'(. ) 1. = ~ ( — П -' "' , [„'"'(1) †, " (й)) + В , ь =1 где я =, ) Вео((х));р1 З(х) с1х. (- )-- Г (76) — з ~ р(х) =- р(х)с1х+ ~ ', [р1"1(1) — р1 1(й)] + Л„,. (77) , ( — 1)! Преобразуем формулу для остаточного члена. Вычтем под знаком интеграла (76) из В ((х)) константу В,„и одновременно прибавим ее.
Разобьем интегрюг на сумму двух интегралов и нынешним квадратуру. Тогда получим 1) — з с ~~[В„,(( )) — В„,) '-'(х) . -В [„-'"'-"(1)- '--"( ))). Поскольку играют роль лишь четные значения индекса и -~ 1 то множитель ( — 1)' ' люжно опустить, и поэтому 150 Глава 2.
Мате.иотические основы лишленного агшлиго, Пользуясь периодичностью функции В ((к)) — В,„интеграл запишем в виде (-Ц--'1 с (/[ л =ь -~ Вт[,'--п(1) —,О.-"(й)~) Допустим, что т — четное число. Тогда в силу неравенства (74) много- член Вю(х) — Вы сохраняет знак при 0 < т < 1. Применяя к интегралу теорему о среднем, летучим 1 — 1 Вь.= — ~.ь~ '-'( +~)- ™[-'--О()-."--0(~)1, т! т! где О < д < 1.
Здесь мы влмгпользовались очевлцлпым равенством В„,(л) Нк = О, о вытекающим из формул (71), (72). Позтому, учитывая определение суммы 2 и вид многочлепа В|(т), получим из соотношения (77) формулу 1-1 -1 Е (.)=~ (.)8. Š—;[.-'-0(1) "-ОМ =ь ь .-:.1 ! — 1 + — ~ лсо" 1(и -1- о), 0 < 0 < 1. (78) т! =л Если д(к) -.
многочлен, то формула (78) позволяет найти в явном виде сумму из ес левой части. Формулой Эйлера пользуются в двояких целях: либо для вычисления значелплй сумм, если интеграл можно взять и.зи найти его асимптотику, либо для вычисления интегралов, сводя их приближенно к некоторой сулгме. 8 5. Численный пример на метод Ньютона 1. Описание примера. Рассмотрим задачу о вычислении решешш уравнения 1 Зг(т) = ФоЛе( —,е(1)т). т Е [ — 1 Ц ~(1) (1) где Ф вЂ” отображает отрезок (.-1, Ц в себя, а Ф о ф — суперпозиция функций, т.е. д о Ф(л) = ле[Ф(т)~. Решение ищется в классе четных вогнутых сверху функций, нормированных условием Ф(0) = 1.
Уравнение (1) возникает при исследовании бесконечной последовательности бифуркаций удвоения и тесным образом связано с универсальностью Фейгенбаума [28,92,138). 5 5. Числсвнъяу пример яа лдетод Ньютона 151 Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде многочлена: по причинам, изложенным в и, 2 53 данной главы, задавать этот многочлен в степенном базисе нецелесообразно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
