Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Вссгн х = х, (д = 1, 2, ..., и — Ц, то определитель Из теорем 2, 3 вытекает следующий принципиальный вывод: при глриблгпжении функций многих переменных в равномернслл метрике элемент нш лучилего ггриближения, вообще говоря, не будет, единственным. Отметим, что в случае приближения функций от одной перелгенной факт единственности элемента наилучшего приближения лежит в основе всей теории экстремальных задач теории аппроксимации. При приближении чебышевскими системами функций можно дать полную характеристику элементу наилучшего приближения.

Мы сейчас докажем обобщенную теорему Чебышева. Исходя из теоремы 2, примем, что Р = л = [а, Ь). Случай, когда Р = У, рассматривается аналогично. Вначале докажем вспомогательное 1ОЗ З 1. Некоторые вопросы теории приближений равен нулю в селу равенства двух строк. Других нулей он не имеет, поскольку система (1т, ..., 1в) чебышевская. Если о ( х <:ст, то определитель сохраняет один и тот же знак. Допустим, что х = т — г либо х = т г, Заметим, что Р(х ат, ..., х„т) = ( — 1)т Р(хт, ...

> хт т,хз — г,х„, ..., х„т). Аналогично Р(хт -сг, хм ..., т„...г) = ( — 1) Р(хм ..., хт, хт+г, хт+т, ..., х„т). Если г > О и достаточно мало, пазучим Ы1 вйп Р(х. — г, тт...,., х т) = — эцп Р(х, -1- г, тт, ..., х т), Теорема 4 (обобщеннаи теорема сТебышева).

Пуспть А" сС[1)— чебышевокое надпространство. Дал того "стобы элемент р б Ло наименее уклонллсл от 1", необходимо и достаточно, чтпобы на 1 наитлось т > и 1 то тек хг « ... х, в которых разность 1 — р примет свое максимальное по модулю значение с чередующимися знаками. Доказлткльотво. Д о с та т о ч н о с т ь. Пусть имеется пт > и -,- 1 точек хт, ..., ты, в которых 1 — р принимает свое максимальное по модулю значение ~1 — р с чередующимися знаками.

Допустим, что е (1) < ~~ — р~ а о — элемент наилучшего приближения. Отсюда следует, что ~~(хт) — о(хт)[ < ~Дхз) — р(х,Я, 1 = 1, 2, ..., т, и, значит, разности д(х,) — р(хт) = [~.:'(хт) — р(хД вЂ” [т"(хт) — тт(х )~, д = 1, 2, ..., т, будут иметь тот же знак, что и 1(х ) -- р(х,). Следоватезъно, о -. р имеет па 1 не менее тн — 1 (не меньше и) нулей, что противоречиво, поскольку о — р б ь".

Н е о б х о д и лт о с т ь . Допустим, что пз < п, Положим г = э' — р, (з1 Ы = (( — р! . Введем множество Е = [х б 1: [г(х)[ = тс). В силу непрерывности г(х) множество Е замкнуто. Его можно представить в виде объединения т компонент Е, (д .= 1, 2, ..., пт): Е = () Ет, где Ет определяется следующим образом: х е Ет, если г(х) =- г(хт), х ( хтэт, и х ф Ен если т < Э; считаем Ео пустым множеством и х„, т = ж. Каждое из множеств Е„корректно определено и непусто. Нам остается показать, что () Е, = Е.

Пусть х б Е и хь < т, ( хь Если т(х) = т(хт„-, г), то х с Еь. т и х е Еь т. Если т(х) = т (хь), то х е Еы Если а ( х < хт, то х б Ет, а ести х < х < 6, то т б Е Из приведенного рассуждения следует, что птах(х: х б Еь) = бь < пшз(х: тг б Еьэт) = оь„т й = 1,, ..., т — 1. Возьмем точки ут ( ... < у т, подчинив их условиям оь < тэь ( бь т (й = = 1, 2, ..., тн — 1). Если та = н, построим, согласно предложению 1, форму. 1, обращаюшутося в нуль в точках ум Поскольку эза форма определена с точностью до произвольного множителя, то можно считать, что эйп г(хт) = зап1(хт). Тогда для любого т б Е будем иметь вцп г(х) =- зяп1(х)т поскольку чередование знаков формы 1 такое же, как н у г. Поэтому при мшюлт б > О поттучнм, 164 Глава Я. Элементы теории приблихеений что [Г" — р — Ьй[ < Ь.', и, следовательно, р не является элементом наину ппего приближения М1.

Пусть т < п; если и — т четное, то на интервале (~3„, и а,) выберем п .. т -г 1 точек у,„м ..., у„и а если и — т нечетное, то выберем точки у и ..., у„..г и у„...1 = Ь. Построим по ним форму 1, и поскольку эбп1(у,„ — е) = — ебп1(уо е -' ) прн и — т четном н эвп1(у~ е — е) = — ебв1(уо е+е) при п — т нечетном, то эяп г(х) = зйп1(х) для любой точки х б Е. Если Ь д Е, то при малом б > О получим, как и выше, [З' — р — б1[ < .У.

Если же Ь б Е, то, взяв произвольную форму й такую, что 1е(Ь) ф О, еяв1г(Ь) = еяпг(Ь) при малых Ь и Ьм получим [У -. р.— И вЂ” Ье1е[ < л.. П Доказанную теорему часто называют теоремой об альтпернанее, понимая под альтернансом порядка т набор точек хм ..., х, в которых разность 1 — р принимает своа максимальное по модулю значение с последовательным чередованием знаков. Рассмотрим пример применения теоремы т1ебышева. Пгимкг. Пусть 1 =- [ — 1, 1[, у —. х", Е" —. 1г„. Допустим, что р(х) — -- ап 1х" ~ + ...

— а1х + ае .— многочлен наилучшего приближения и хм ..., х„, (т > и+ 1) -" альтернанс, гарантируемый теоремой 4. Положив г = хп — р, З = [г[,, заметим, что многочлен ",~ — г имег ет степень йп. В точках хг, ..., х г он имеет двукратные нули. Если — 1 < хе либо х < 1, то прн х = х1 либо х .= х будет двукратный нуль. Таким образом, всего он будет иметь не менее 2т — 4 е 2 т 1 > 2п е -' 2 --4 —,2-'1 =.. 2п,ч-1 пулей, что абсурдно, Поэтому гй — -- —.1, х = 1 н т, — -- п -, '1. Заметим, что многочлен (1 —.

х~)[г')~ имеет простые нули в точках х = --1, х =. 1 н двукратные нули в точках хг, ..., хп. Поэтому (1 — хг)г' =- пг(у~ — г ). Отскзда дг дх —. и ,г гг1г,~г (1 .г)гуг ' Интегрируя это уравнение, получим, что г(х) .— "~ соэ[п агссозх - С'. Поскольку г(1) = ~1 при х = 1, то С = О либо С = т. Не ограничивая общности, можно считать, что С' = О, и, таким образом, г(х) = усоэпагссоэх =.еТ„(х). Многочлены Чебьппева мы уже встречали в и.

5 3 3 гл. 2. Согласно формуле (2.3.51), Т (х) .= 2" 'х" —..., (6) и поэтому .е = 2" "+г, следовательно, Е„(х") =-2 "+' Многочлены Чебышева еще называются мноеочленами, наименее унлоняюи1имиея от нуля, поскольку на них достигается нижняя грань Э 1. Некоторые вопросы теории приблиоюеиий в задаче 1п! пзах ~р(х) ,ееоо 1<к<1 где !хе, с У„тз множество многочленов со старшим коэффициентом 1. В 33 гл. 2 мы установили, что многочлены Чебышева являются многочленами, ортогональными на !е по мере йт = (1 — хз) Пес(х, Поэтому оии являются многочленами, наименее уклоняющимися от нуля и в метрике Рз(!е, а) (см. п.

5 'Э 3 гл. 2). Замвчаниь, Многочтен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке (а, Ь', имеет вид Примкр. В следующем примере мы примем, что Р—... Я~, ! .—.- сових, Л~" ' = 'Хз„в По теореме Чебышева на У должен иметься альтернанс порядка т > 2п у функции г(х) = соепх — т~ с(х), где 1е,(х) -.- полиэзом наилучшего приближения. Но функция совах принимает свое максимальное значение с чередованием знаков в точках хь = йи/и (к = = О, 1, ..., 2п — 1), '!аким образом, ф с ив в О и (8) 8з„1(сов п:г) = 1, Учитывая элементарное тождество асовпх + Ьгбвах = ~'аз+ Ьз соэ(пх — уо) и инвариантность о~ относительно вращений, получим 8хи.~(асов ах Ье1ппх) = у'аз Ь Ь~.

П 3 а д а ч и. 4. Пусть Я, ..., ~„) — система Чебышева на Р. Покажите, что в С(0', разрешяма следующая проблема интерполяции: построить линейную форму 1 =- 2 ' аь)ь такую, что в заданных точках х,, ..., хм выполняются э=1 соотношения 1(х,) = у(хз) (! = 1, 2, ..., п). б. Покажите, что искомую в задаче 4 линейную форму можно записать в виде О Л(х) ". У*. (х) 1( ) У(х ) Л (х~) " !у(х~) Р(хп ...,х„)' Лх») Л(х) ". У( ) 6. Докажите теорему 2.

Рассмотрим систему линейных уравнений ~аых~ = Ьы й = 1, 2, ..., пв н предположнм, что т > и, причем не исключаем возможность т = ос. Допустим, что эти уравнения несовместны, и поэтому оудем отыскивать их приближенные решения. Одна из возможных постановок состоит в том, что отыскиваются хв ..., х„из условия взах ~7 аыхь — Ьь~ --' 'ш!. в<та< ~=1 166 Глава Я.

Элелгеитм теории приблихееиий К этой задаче можно применить теорему Чебышева, считая что нам даны и функций ам: Ь ео ом Е К, 6 и 11, '2,..., т), .1 =. 1, 2, ..., и. )9) 7. Укажите условия на функции 19), при выполнении которых они образуют систему Чебышева, и примените к данному случшо теорему Чебышева. 8. 1теорема Валле — Пуссена). Пусть несократимая дробь й1х) имеет вид й)х) — -- 1гаох'", агх ' ';...

+а,)/(Ьох'.;.Ьгх" ' л ... -~-6„), 110) где ао и О, .х. б )оо 6), Ь вЂ” а < оо, Докажите, что осли 1газпость Дх) — В(х) (Т Е С)а, 6)) принимает в погэедовательных точках тм « ... хм отрезка )а, 6/ значения Лп -Лг..., 1-.1)~ Ло, где Л ) 01у = 1, 2, ..., гг), Х ) т+п9 2, то ш1/з' —.

Характеристики

Список файлов книги