Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Если» =1,то ,!з !по~ (47) Замкчаннк. Колстанты К, К» в неравенствах (46), (47) уменьшить нельзя, поскольку> как показано в !28), !пп п" епр Е„(Х) = КгЛХ (48) Хе ж Ы»» 8. Об аппроксимации функций классов И»г(ЛХ), "Ф»г(М) в равномерной метрике.
Мы рассмотрели теоремы аппроксимации в норме пространства Ею Хотя в численном анализе и возникают задачи, связанные с оценками в Ьр-норме, несомненно, ва»кнейшнмн являются оценки н равномерной норме. Рассмотрим вопросы о возможности аппроксимации функций классов И",;(М) и 7Х" (М) в равномерной норме. Исследуем периодический случай. Докажем вспомогательное (в случае г = 1 см, (82)). 29. Пусть 1 — про»тзвольный» интервал, 1 =- (х Н Рь~: а» <:с» < 6», Х = 1, 2, ..., !), !! = Уо! ! = П (Ь» — и»). Покажите» что для класса У!»р"(ЛХ; 1) »=» остается в силе неравенство теоремы 14 стем изменением,что в правой части (1 Глава Я. Элементы теории приблиаяеиий Предложение 6. Если 1 < р < ос, то для, ядра Дирихле выполняются неравенства )Р„,'„< С„(2п -~1)1-)~р, а если р = 1, то 2 )Ра.) < — !ПП -~- С, 7Г (50) 11 — )ро ) 1)рр где С = (и) ( — ") С вЂ” абсолютная константа.
Доказательство. Поскольку Р„(х) четная функция, то 1 ~~ ~р 2 ~~яп(и+1,)2)х~я о о Воспользуемся элементарным неравенством яп х > (2,)к)х, осли 0 < х < я)12. Тогда 1 -)-1)2) Мы сделали замену переменных х 1 — (и 1)2)х и получили последний интеграл. Поскольку ' яп х, '< ппп( 2.~, 1) то 1 —,1,~2) 1 ! ' 1)2) / ""' д </д ~ '1*„< если р > 1, Если же р = 1, то ! — 1)2) ! о1)2) / — =! — 1п'((а -)- — )я~. 1 Два последних неравенства и неравенство для дрг влекут (49) и (50). Предположим, что и -- мультииндекс (и = (п), ..., п))) и "-(х) = П"» (х ) 1=1 я1г — ' 1" яп(п Е 1/2)хт ) / ° Ы '~" т о /' (""х".<1-. о япх г х о г 1.
Некоторые вопроси теории приближений Непосредственным следствием предложения 6 является следующее нера- венство: 152) Пусть | е Тяп !. ЕЕесложно проверить, что имеет мегто форму.ла 1 г1х) —.. —, / ЕЕу)Р„!Ех — у)ду. Ей3) зч Предложение 7. Имеет место неравенглпво з=-и где константа С зависит от д = р)Ер — », а 1 < р < оо. Показаткльство. Применим к интегралу тождества ЕбЗ) неравенство Гельдора с показателями р, ВЕр ' -~- В ' = 1).
Тогда 11(х) ~ < ~! „( —, ~(Р„Нх -- у) ~ дуУ т1 Интеграл от Ра ! Ех — у) не зависит от х., и для нето выполняется неравенство Е52), где вместо р нужно подставить О. П Теорема 15. Пусть Г Е М'~~ЛХ), .и допустим, что р > р !. Тогда функцию )' Еточнее,. любую из класса эквивалентных функций) мозюяо отоэюдес!поить с непрерывной на Т! функцией. Обозначим эту функцию снова через 1'. Исл,и 1 — тригономе!прпческий г!олином., определенный в теореме 12, то — ( Кгрдп! где констангаа К,р зависит лишь огп т, р.
Доказательство. Пусть тригонометрический полинам го, определенный в теореме 12, принадлежит надпространству 7я !, где и — Еп!, ..., и!), г!! — — ~ЛХ, 'ЛЮ"') Ед = 1, 2,..., 1). Тогда Л > Сто Мг. По величинам В самом деле, записывая интеграл по плоскому тору как повторный ин- теграл и принимая во впимангге формулу !б», мы видим, что проверка последнего соотношения сводится к одномерному щ!учаю 1 = 1, для ко- торого зта формула очевидна. 186 Глава ац Элементы теории вриблпрюений 2Л, 2эЛ,..., '2"Л,... построим, согласно теореме 12, аппроксимирующие поли- номы н обозначил«их через «»,..., «ь,... По построению «» Е Еа„» „где и" = — — (г«1ы..., и«"), п~з .— — (5«М" 2 е«"'ЛР~" (з =- 1, 2,..., «).
Заметим, что в силу (44),'7" — «»~р < Е» .2'Рд2 Р"т ", и, следовательно, по неравенству треугольника ~1» — 4 л! <Е»2Р~ ц2 "т Согласно предложению 7, («» «л,~ < СЕ„. 2' +'р. 2 — ",„— П(2»- ' 1)на Заметим, что нмеег место неравенство П(2п; — 1) = ПИ251,™ЛР«"'2 ""1 — 1) < «=з з=« < Со П 2 Р' '(2~ЛХ 'ЛР» '1 — 1) = Со. 2"т,. Поэтому ~«» — «»э»~ <С, 2' ~Р"Р дп«'Р Р, к=0,1, (55) и, следовательно, ряд Е («» л — «») равномерно сходится к непрерывной функ»=о цнн ~р: Т К.
Эгот же ряд сходится и в Е„(Т ) к « — «о. Поэтому р = « -- «о почти во»од«н и, значит, эти функции можно отождествить. Полагая « = йь имеем 7 — « = Е,' («ь л — «»), откуда, используя неравенство треугщльника и нера»=о венство (55),получим (54) с константой К р — — С,. П Ясно, что аналогичная теорема имеет место и для приближений алгебраическими многочленамн. Для класса И'г (М: 1о) она получар»а ется буквальным повторением приведенных рассул дений. Для класса 1Ф'г(М; 1), где 1 Са 1о, она может быть получена как следствие теоремы для класса И'„г (М: 1о).
Приведем ее без доказательства. Теорема 16. Если р > р ' то функции класса Ь'",(М; 1о) мооюно отсо«с«)ествить с непрерывными функциями, Этот класс вкладываеплсм в пространство С~1о), Ес,ли —, — многочлен, апре«)елен ный в творе,мс 14: х Е ор, «1пп ор < «и» то ~7" — Я~ < С,р««т "' Р (56) Возникает вопрос о точности теорем 15 и 16. Замена показателя — р на — р.> р" сказывается на порядке аппроксимации и носит крайне неприятный характер. Может быть, она вызвана несовершенством методов получения оценок (54), (56)? К сожалению, уже простые примеры показынают, что уточнять неравенстна (54). (56) нельзя.
187 З 1. Некоторые вопроси теории приближений Из теорем 15, 16 вытекает важный вывод о характере вложения классов 'Ф'„,"(ЛХ) в С[э», 'и 'Ф'~(М: Хо) в С(Хо). 'Теорема 17. Если расематривапгь и асс Ф„'(ЛХ) при р ) р как подлтозкество С(Т»), то оно является ограниченно ком шктнмм множеством. 4налогичное ркпвершсдение имеет метло и для класса 7Х»„'(М; Хо). Докязятвльство. Возьмем в С(Т") шар Вс = (Х' б ОЯ): (Я < Е) и рассмотрим пересечение бе П Жр" (ЛХ) = Ж,"(М; Е).
Возьмем минимальное еп так, чтобы ХС рот Е+В < Х2, это неравенство выполняется при любом . > О, поскольку рр > 1. Если Х В "ХХ»„"(М; Е), то нз неравенства (о4) следует, что (57) !Г! < Е »- е»'2. Заэлйчлник. Мы рассмотрели приближения анизотропных классов н в связи с этим ввели семейства многочленов многих переменных и тригонометрических полиномов соответственно вида (25) и (26). При приближении изотропных классов, когда гу =... = т = г, ЛХу =... = ЛХ~ = = ЛХ, целесообразно рассматривать приближения многочленами вида (25') где!к = Йу ... + Хл, и тригонометрическими полиномами вида Х(ш) = ~ сь ехр(1)еш).
(26') (ьй»-... ьо<п Классы 1Л'„т(ЛХ; Х) и М'"(ЛХ) в изотропном случае обозначим соответственно через Ор(ЛХ Х) и Жр (М) Теоремы 12, 14 — 16 остаются в силе и для приближения функций из этих классов многочленами вида (25) и тригонометрическими полиномами (26). Нужно только помнить, что в формулировках этих теорем величина т будет теперь обозначать размерность подпространств многочленов и полиномов вида (25'), (26'). Класс многочленов вида (25') обладает тем свойством, что он инварнантен относительно аффинных преобразований независимых переменных. Класс многочленов вида (25) этим свойством не обладает, поскольку он Напомним, что 1 б 'т, причем сйп» Т < т, н само надпространство тригонометрических полииомов вида (26) является конечномериым банаховым пространством, если в ием ввести норму:~г'~ = шах~1(х)~ — -- ~Х~»». Ъыовне (57) ет' определяет в Т шар радиуса Š—, еХ2, который., очевидно, является компактом.
Возьмем в этом шаре конечную Х2-сеть. Тогда эта сеть будет е-сетью для»Хр" (М; Х) в салу выбора т. Аналогичное рассуждение имеет место н для класса 11",;(М; Х). П 188 Глава Я. Элсмвиты теории приблимхиий приспособлен к приблнжению функций из анизотропных классов, не до- пускающих аффинных преобразований независимых переменных. Такие классы естественно возникают при рассмотрении краевых задач для параболических и гиперболических уравнений и систем. Но, может быть, .следует рассмотреть приближения многочленами более общего вида, чем те, которые были введены выше? Имеется конструкция построения семейства многочленов многих переменных довольно общего вида.
Пусть 0 выпуклое ограниченное тело, содержащее внутри точку х =- О, и пусть 0». — — О П К' = 0 О (х е К': хз > О, г = 1, 2, ..., 7). Х1ожно рассматривать многочле~ы вида Рл(х) = ~~ алхь, Л > О, вело,. где ЛОт = (х Е К~: х/Л б 0».). В принципе можно отказаться от у<навий выпуклости и компактности и построить содержательную теорию приближения некоторых классов функций многочленами такого вида. Однако с точки зрения численности анализа использование таких классов многочленов имеет огромные недостатки в тех случаях, когда граница тела О имеет участки, где гауссова кривизна отлична от нуля. 3 а д а ч и.
30. »Иокажнге, что если р — р 1 > 0 н в ~ (1 — 11(рр)) ппп гэ, то имеет место вложение "И'„'(М) Сэ С~То, причем для любого элемента 1" Е УРр" (М) выполнЯстсЯ неРавенство ~(Я~а. ( Аг [~Яр -~- 1 ЛХ ], где А„р зависит лишь от т, р. 31. Исследуйте вопрос о вложении Ир(М; 1о) в С(1о~. 9. Чезаровскне средние: явление насыщения метода приближений. В теории приближений мы сталкиваемся с одним феноменом, известным под названием явления насыщения ме"года приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
