Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В результате получим , з уь 1 + уь 1 = 2уь -' 6 у (хь) -; « у (ть -; «)4«., «(6 «') Ом« 3! откуда уь 1 — 2уь + уь 1 1 ~ (6 — '«~) 3! Делая подстановку в уравнение (1), получим уь~-1 — 2уь -~ уь — 1 + дауь = «ь + йю 6 = 1, 2, ..., и — 1, (3) где Вь= — ь',) з. у" '(ив+«)4«: уа =д(ть): ~~ =~(*ь) ь Разпостное уравнение, служащее для определения приближенного решения задачи (1), мы получим, если в формуле (3) отбросим слагаемое ««ь и введем сеточную функцию а; хт ьэ лы являющуюся регпением системы разностных уравнений 1 — «в(се+ — 2сь -' са 1) -ь ««ьль = Ую 6 = 1, 2,,.,, н — 1. (4) Однако для однозначной разрешимости системы (4) нам требуются дополнительные уравнения, поскольку она содержит и — 1 уравнение для и -Ь 1 неизвестных, Недоста|ощие уравнения получим при аппроксимации граничных условий; в данном случае (3) -е=-О, с —.О. Уравнения (4), (й) определяют краевую задачу, аппроксимируюшук1 задачу (1).
Один из первых вопросов, возникающих при таком подходе, состоит в оценке погрешности приближенного решения. Допустим для простоты исследования., что пш1 у = д > О. ве« 196 Глава У. Элементы теории ириблиесений Предложение 1. Решение системы 1 (Сь, э~„„?„,) уь~„=,рь, й =1 э, йг (е =- О, с„.—. О (6) удовлетворяет неравенству ! ~а [ < б ~ шах [:р [. (7) В 86 данной главы будет доказано предложение, содержащее как частный случай предложение 1. Поэтому, нарушая ход событий, мы отсылаем читателя к з 6.
Чтобы оценить погрешность, вычтем из каждого уравнения системы (3) соответствующее уравнение системы (4); полагая Ьь = уь — Ы Ль =- сгы получим систему (6), и поэтому из неравенства (7) вытекает Лунг [у- (8) РХЛ2 ЛХ вЂ” г (9) Мы предполагаем, что у с %" (М: Х)., и приближаем у набором из п — 1 вещественных чисел.
В какой же степени оценка (9) соответствует такому положению вещей? Какова лолжна бьггь погрешность аппроксимации элемента класса И'~ (ЛХ; Х) с помощью и — 1 вещественных параметров'? Чтобы ответить на эти вопросы, целесообразно рассмотреть в общем виде способ аппроксимации, положенный в основу разностных методов. Это не единственные вопросы. которые возникают в связи с предложенным методом решения краевой задачи.
Важнейший из них — это поскольку по предположению у 6 И'а (ЛХ: Х). Мы видим, что погрешность приближенного решения стремится к нулю как квадрат пшга, На жаргоне, бытующем среди специалистов по численному анализу, в этом случае говорят., что разностная схема имеет второй порядок точности. В действительности нельзя сулить о точности приближенного решения, сравнивая его с точным решением только на сетке. В самом деле, допустим, что мы некоторым чудодейственным способом нашли на сетке точные значения искомого решения. Какой порядок точности в этом случае нужно приписать приближенному решению? Бесконечный? Но это неверно, так как, зная точные значения в узлах фу.пкции у е И"1 (ЛХ; Х), можно ее восстановить лишь с точностью ы п~, что мы вскоре увидим.
Следуя>ший вопрос, который возникает: не завышена ли оценка (8)? К сожалению, нет; и мы в этом убедимся в гл. 9. Зная приближенное решение еь в узлах, несложно восстановить по нему функцию е(к) 6 С[Х) и получить оценку у — г[е, ( Сйййг с некоторой константой С, не зависящей от шага; принимая во внимание точность неравенства (8), найдем, что 197 Э'2. Попорочссикса комвактоо вопрос о свойствах разностной краевой задачи (4), (5) и о влиянии вычислений в системе чисел О, используемой в том либо ином компьютере. Как связана разрядность используемых чисел с величиной 6? Ведь, чтобы не загрубить опенку, необходимо решение системы (4) получить с погрешностью О(!сэ). Эти вопросы будут разобраны ниже. П 2.
Сеточный поперечник. Способ приближения, о котором шла речь выше, можно описать в общем виде. Пусть Р компакт, С(Р) пространство непрерывных функций 1; Р— К. Метрику на С[!3) введем равномерную, т.е. )[Д вЂ”.. свах~ ((!)~ — ! . Выберем на компаксеп 'С ~' те Р произвольные точки !и ..., 1„узлы --. и рассмотрим отображение ;о: С[Р) — с К.", где уо:,! -с (1(И), ..., !'(!в)), Ясно, что р -- непрерывное отображение. Вещественный вектор с =- (сп..., 4 ), где ба = .!(!з) (~ = 1, 2, ..., и), и является тем агрегатом, с помощью которого мы приближенно представляем функцию !.
Как судить о точности такого способа аппроксимации и как по данным вещественным числам с, Ц = = 1, 2, ..., и) восстановить приближенно (? Чтобы решить эти задачи, уточним саму постановку вопроса об аппроксимации. В ~ 1 гл. 1 мы, желая построить алгоритм численного решения краевой задачи, естественно пришли к задаче об аппроксимации не произвольного элемента пространства, а к задаче об аппроксимации элементов некоторого компакта.
Допуттим, *но Х С С:Р] -- некоторый компакт. Построив алгоритм восстановления элемента по значениям с (у — 1, 2, ..., и) и найдя элемент У(й ~) е С'Р], использовав при этом информацию о том, что !' е Х,р: ! ~ с мы мохсем в качестве меры точности принять величину [! — Х~ . Алгоритм восстановления определяет отображение Ы: уа(Х) -- С[Р', причем ю: с с- с У. Чтобы получить объективный способ оценки погресссссости элемс"нтов компакта Х, рассмотрим величину !пав зпр ! — Я~ = о(Х, Ко; ср), ! е.\ (10) е(Х, К"", р) —... вьр с![со ' оуо())].
Уех Между характеристиками погрешности (10), (11) имеется простая связь. Здесь нижняя грань берется по всевозможным отображениям множества уо(Х) СК" в С(Р]. Иной способ определения погреспности состоит в следующем. Пусть с С. Найдем в Х полный прсюбраз точки с е ср(Х)., который обозначим через р с(С). диаметр этого множества с![:р у(С)] —... эпр ,'д— о вел сФ вЂ” !с~ примем за меру точности, с которой точка с Е Ко определяет элемент ! Е Х. Точность приближения элементов компакта Х определяется величиной 198 Гласа Я.
Злсл~с~ти теории приблиеоспий Предложение 2. Если Х С С'О) -- ко.мпакт, то е(Х. К";,о) = 2о(Х, К";;р). Доклзлгвльство. Если д, Ь Е р '(е), то Ь вЂ” Ч = ~д — ~(: 4) -'~(.'4) < ~д —,Т~ + 6 — У'~ < 2 эвр ( — У',, УЕХ Отс1ода И р 1 о ао(~); < 2 зир Ь)'--У! -, и, следовательно, взяв в правой уех части нижнюю грань по с, получим с1 [у 1 оса())) < 2б(Х, К"; уо), откуда е(Х, В.; 1о) ~ (26(Х, К: 'у). (12) С другой стороны, по лемме Ерохина (см. гл. 2, 'э2) для любого 1 Е С[0) в С'0) найдется такой элемент 1а, что при д Е уо а о ~о(1) имеем ~д.
- Д~ < д[ао "л о ~р((')'/2. Следовательно, д" Ха~, < с1[~о оФ(У),'12. (13) впр 1 -- уа < е(Х, В.";;о),'2, Уех и, следовательно, Сравнивая это неравенство с неравенством (12), получим искомое соотношение. П Злмвчанив. При доказательстве этого предложения конкретный вид отображения ус нигде не использовался.
С каждым способом приближенного представления элементов компакта мы связываем некоторую характеристику компакта, называемую поперс тиком. Для рассматриваемого способа этог попере шик будем называть сеточным и определять равенством 2„(Л, С[0)) = ш1е(Х, К"; р) = ш1 спр с1[;о ' о ф,)')), (!4) Уех Функция Д определяетсл множеством Зо ' о уо()), или, что то же самое, точкой б е ~р(Х). Тем самым мы построили отображение р: ~р(Х) — э С[0), са: б -э Д (непрерывность этого отображения не требуется по условию!).
Из (13) слечует, что 199 й 2. Попорочпико компактоо где нижняя грань берется по всевозможным отображениям, т.е. по всевозможным наборам узлов (1п ..., 1п). Совершенно ясно, что сеточный поперечник равен величине погрешности, с которой определяется произвольный элемент компакта с помощью и его значений в узлах в самом оптимальном случае. Последовательность (Ь„(Х, С[Р') ) дает объективную характеристику аппроксимативных возможностей данного способа приближенного представления элементов компакта. Из определения сеточного поперечника следует, что Ь1(Х, С[Р)) ~)...
гоп(Х, С[Р)) ~)... Если Х1 — компакт и Л1 > Х, то гамп(Х, С[Р)) < Ь„(Хп С[Р)), и = 1, 2, Таким образом, введенный поперечник обладает свойством монотонно- сти как по аргументу и, так и по Х. Предложение 3. Длл любого компакта Х С С:Р[ 1пп Л„(Х, С[Р)) = О. Доклзлткпьство. По теореме 1 ~ 2 гл. 2 существует модуль непрерывности ы(б), мажорирующий модуль непрерывности люоой функции 1 и Х, Поэтому, если д, 6 е Х, то д — 6 имеет модуль непрерывности, не превосходящий 2ы(д).
По условию Р компакт, .и поэтому для любого б ) 0 существует конечная д-сеть |и ..., 1„. Построим по этим узлам стандартное отображение уо: Х вЂ” Н", уо: д ~ (,)(11)...;,)(1 )) = 4. Пусть д, 6 й .р (б); для любого элемента 1 б Р найдется такой элемент 1ы что р(й 1ь) < д, и поэтому (д(1) — 6(1)) — (д(1ь) — 6(1ь)) [ < 2ы(б), откуда [д(1) — 6(1)! < 2ы(д), Следовательно, Н[уо (б)] < 2оо(б), а значит, и п,-мерный сеточный поперечник удовлетворяет неравенству Ьп(Х, С[Р)) < 2ы(б), что и доказывает наше утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
