Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 47
Текст из файла (страница 47)
4 Используя неравенство (9), можно оценить снизу Л4 —.. ш1Л4. Возьъгелг в качестве узлов нули многочлена Т„(л): 2г — 1 ггг =сов л, г=1,2, ..., а, г1=(г1г, ..., гг„), 2я и РассмотРим задачУ об оптимальных Узлах на отРезке ( — г1г, г1г) (заме- тим, что гг„=- — йг). Непюжно доказать, что шах Л,(гг) — 0,201 < шш Л,(г1). г г Так как в силу неравенства (9) гшп Л,(гг) < Л (С,) О = 2, 3, ..., и), то Л4 ) шах Л,(г1) — 0,201.
Предложение 3 [48, с. 160]. Коггспгаггта гтебега ингперполяционвого многочлена (1.14) с узлами в пуллах многочлепа Чебъгшева определяется равенством Л„= (2ггл)!и а - 1 — бт 0 < ди < 1гг4. 215 'З 3, Интерполяция Поскольку Л„= тпах Л,(у), то 2 2 шГЛЕ > — 1пп 1 — 0„— 0,201) — 1пп+0,549. и и (10) Отсюда вытекает очень важный вывод: узлы в нулях многочлена Чебышева асимптотически оптимальны, и оыигрыш в конспганте .7ебега для оптимальных узлов по сравнению с узлами в нулях многочлена Чебышева не превосходит О,'201.
В случае тригонометрической интерполяции для оптимальных узлов (равноотстоящих, как указано выше) имеем следующую оценку константы Лебега. Предложение 4. Для равноотстоящих узлов имеет место со- отношение 2 Лг„1 .—" — 1пп -- 2(1 — к 1)0„, 0 С 0 < 1. и Для ориентировки читателя приведем оценку константы Лебега для равноотстоящих узлов в случае интерполяции алгебраическими много- членами. 2" з(п, — 1) чх(п — 3/2) 1 < Л„с 2" ~, и ) 4. (12) Доклзлткльство.
Так как константа Лебега не зависит от длины отрезка интерполирования, то можно считать, что чс, = 1 (1 = 1, 2, ..., и), и=1,6=п. Тогда Пусть х = г — , '1, где г целое. Если 2 < г < и — 1, то будем предполагать, что 6( < 1/2; если г †. 1, то 0 < 6 < 1/2, а если г †. и... то — 1/2 < 1 < О. Заметим, что П~х- = .. (+) (-г-1)(1-) (- -) ( ) г -- 1+1 зда Учтем теперь,чго при 1/2 ) 1 ) 0 справедливы очевидные неравенства ,,'<1, (6 —:1)...(г->г- 1)<г!, г — )с+1,' (1 — 6)...
(и — г — 6) < (и — г) ). Предложение 5. Для равноотстоящих узлов при интерполяиии илгебраичеекими многочленами констинта Лебега Л„удовлетворяет неравенствам 217 3 3. Инаперполяцил 3. Постройте интерпщ!яционный многочлен с узлами в нулях многочлева ХХ„(х) и докахсите! что его константа Дебета Аь удовлетворяет неравен- ствуЛ >п, 4. Постройте интерполяционный многочлен с узлами в нулях много щена (1 — х~)ХХ» — г(х) и докажите, что его константа тдебега Л„удовле»воряет неравенству Л,.
( С!и и (и 3 3), где С вЂ” - абсолютная константа. Заыичлник. Предложение 3 и задача 3, 4 показывают крайнюю чу.вствительность константы Дебета к вариации узлов интерполирования. Поэтому при выборе узлов интерполирования пг!едпочтительнее пользоваться ну.!аями многочлеиов Чебы»нева Т (х) и (1 — х )К,(х).
5. Представим тригонометрический интерполяционный многочлеи! определяемый формулой (1.18), в виде — 1 Х(х; Х) = — ары + ~ ~(а„" совйх 4 Ь! " ! ыпйх). ь=! Докажите, что если с, " = (а„" — (Ь~," )/2 (й = О, 1, ..., 2п — 1), то с„" ' = ~ Х(х!) екр( — »Их!), й =-. О, 1, ..., п — Е (1б) »=о 6. Пусть функция Х(х) рагу.!еярна в области Хз комплексной х-сферы, содержащей отрезок 1 =. !а, Ь, вещественной прямой. Пусть жорданова кривая С С ХХ соз!еря<ит внутри узлы юперполяции хг,, т (х, б Х, = 1, 2, ..., и) и точку х. Положим 1„(х) = ХХ (х — х ).
Докажите, что в этом »=1 случае интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами х; (! = 1, 2, ..., и) можно представить в виде (17) (т Х) =- Х(х) — — ! г(з 2я»Х 1 (з) - — х с Т. Пусть Э» —. область, ограниченная эллипсом с фокусами в точках — 1, 1 вещественной оси н суммой полуосей, равной г ) 1. Допустим, что функция Х(в) регулярна и ограничена в Э: ~Х(х)) ( ЛХ (г б Э ).
Пусть р(х; Х) интерполяционный многочлен с узлами в нулях многочлена Т„(х). Докажите, что в этом случае, есчн х Е ' — 1, Ц, то !Х(х) — р(х; Х)/ ( С,.ЛХ(г" — г' ) г„!е С„= азат — ) — '', ( Сгх: —. ! ,з» ° '-и < <»е !» — »; — -х- еэ,. 8. Докажите, чго константа Дебега Л„иптерполяционного мпогочлена с узлами х, = ! (! = 1, 2,, и), построенного на отрезке (1, п, + Ц, удонпь творяет неравенству Ле ( 2" — 1 Глава Я. Элемента теории ириблихеений Предложение 6. Пармы операторов Р„' и Т„" могут, быпгег вычислена ао формула Л,[а, 6) = гоах ~;0'1иь[х)[, анень Ь=1 2п — 1 Л2„1, = ШаХ 5 Ретив[и) '.
О<о<ге 1=1 Мы отмечали угке, что константа Лебега Ло не зависит от длины отрезка интегрирования, а зависит лигаь от относительного расположения узлов на нем. Для константы Ли,[а, Ь[ это уже не верно. Допустим, что :г1, ...,хи [хо Е [а, Ь[, у = 1, 2, , а) узлы интерполирования.
Предложение 7. Пусть р: [а, 6[ -г - 1, Ц вЂ” линейное отобразсение, бг =.р[х ) [у = 1, 2......, и). Полово:им а1Е Лиг[ — 1, Ц = 1ваХ ~ ~— 1иЬЯ 1=1 где 1ьь[б) = П ~Е "~' . Тогда 1=1 гиг. Л„е[ — 1, Ц = ( ) Л„,[а, 6[. [19) Доклзатвльство. Заметим, что если б = д[х), то 1ьь[б) = 1„ь[х) [6 .—. 1, 2, ..., 11), .откуда а отсюда непосредственно следуот формула [19). П Ниже мы будем рассматривать в качестве стандартного отрезка интерполирования отрезок [ — 1. Ц и константы Л„,[ — 1, Ц будем обозначать просто через Лти 3.
Алгебраическая интерполяция и аппроксимация производных. Интерполяционный многочлен Лагранжа может быть использован не только для приближения функции, но и для приблигкения ее производных. Поэтому наряду с операторами Р„, У„рассмотрим операторы Р„': С[а, Ь, —,У„„Р„': [ е 12'р[х; 1), где 0 < г < и — 1, и операторы Т„': С[ог[ — г 'лги 1, Т„': 1 ь Пеь[х; Д. Нормы этих операторов ОбОЗНаЧИМ С1ЮтнвтетВЕНПО ЧЕРЕЗ Л„м Лги 1л. ВОСПрОИЗВОдя дОКаэатЕЛЬ- ство предложения 1, получим 219 Ь 3. Интерполлпс л По аналогии с проблемой Бернштейна лсожно поставить экстремальную задачу для констант Л„, и положить Л„", = 1сз(л„„з > 1, (20) где нижняя грань берется по всевозможссым выборам узлов на отрезке ' — 1, 10 В отличие от проблемы Бернпстейна экстремальная задача (20) полностью решена и известны экстремальные узлы.
Задача (20) тесным образом связана с известной задачей Менделеева о вычислении впр Х»'р~ Х'Др. —. Л1„,. Решение этой задачи дается теоремой ге Я„ В. А. Маркова. Теорема 1. Длл произвольного многвчленв р Е,У„имеет место соотношение ~Х»'р~ < Т„' (1)'р~, т. е. Л1„, = 7'„с(1). Приводить доказательство этой теоремы мы не будем. Заметим, что неравенство М„, < Л„', тривиально. В самом деле, пусть узлы 1 (» = 1, 2, ..., п) таковы, сто константа Л„„определенная для этих узлов, удовлетворяет неравенству Л„, < Л„", + е, где " > 0 сколь угодно малое число.
Для произвольного многочлена р 6 9'„имеем О'р~ = О'р(;р) < Л,снах р(хг)~ < (Л„", 4 е) р~ ., откуда ЛХ„, < Л'„, 1 е. В силу произвольности е получим неравенство (21) ЛХ„, < Л„',. Неравенство противоположного знака доказывается более сложно (30). Для задачи (20) известны экстре сальные узлы они являются корнями многочлена (1 — хг)ХХь(х).
Константу ЛХ„, нетрудно подсчитать. С этой целью мы докажем Мнвгвчлен '1ебьппевв Т„(х) удввлеспворлет Предложение 8. тозссдеству (. ' — 1)т1;'П( )+ (йз — 1) Тов( ) = ~ ' — ( — 1)'~Т1'-'с( ), (22) Доказлтвльство. напомним, что в 33 гл. 2 установлено дифференциальное уравнение (46), которому при о = с» = -.1сс2 удовлетворяет многочлен Чебьппева Тп(х). Последователысо дифференцируя соотношение (46), получим (22).
П Положив в (22) т = 1, получим рекуррептное соотношение Т~'~(1) .= Т~' ~с(1), з — —. 1, 2..... и. 2з — 1 Гласа Я. Элементы теории приблиясеиий откуда го (и - 1)...(п —.(в- 1) ) 1 3... (2в —. 1) Следовательно, (23) ио = - во Л' =М (п — 1) ((и, — 1) — 1)... ((п, — 1) — (в — 1) ) 1 3... (2в — 1) в = 1, 2, , и. - 1. (24) Целесообразно сравнить теорему.
1 с результатом задачи 16 З 1. Используя неравенство из этой задачи и производя повторное дифференцирование, мы получим, что для произвольного полинома 1 Е '7в„1 выполняется неравенство ~!Э'1~ ( (и — 1)'~1 (25) Отсюда непосредственно следует, что гпглзо — цл .э (и 1) гг1г лап..л, ~ — р(х) ~ ( п шах(р(х)( где р — произвольный алгебраический многочлен степени не больше п. 10. Используя лагэванжевый интерполяциопный многочлен с узлами в пулях многочлепа (1 — х )И„а(х) (и > 3), докажите, что для любого р б 9'„ выполняется неравенство ~О'р( ( 2'Ы,„~р~ Указании. сначала докажите неравенство ~рио(1) ~ ( т~'~, (1),р,', а затем примените его к многочлену е(х) = р [+а'(1 — ' х) — 11, где 0 ~ (1 ( 1. 11.
Докажите, что если р б!У„, то ~р~ю(0)( й (и -- 1)* швк~р(х) ~. )3<1 Из этой оценки следует, что при неограниченном увеличении степени алгебраического многочлена порядок роста в-ой производной в любой внутренней точке отрезка ( — 1, Ц будет 0(оИМ), где М вЂ” максимум модуля многочленл на ,"— 1, Ц. 4. Эрмитоиа интерполяция. Наряду с лагранжевой интерполяцией широко распространена интерполяция с кратными узлами или эрмитова интерполяция. Так, пусть в узлах х (1' =- 1, 2, ..., т) задаются величины ~„ь (ху) (й = О, 1...., и — 1). Найдем многочлс» ри(х: у) сте- ОО пени не болыпе и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
