Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 48
Текст из файла (страница 48)
-- 1, где и = Л, и., удовлетворяющий соотношениям у=г ррй(ху г')=~(~)(х), А=О,1,....п,— 1, 1'=1,2,...,т. (26) где нижние грани берутся по всевозможным наборам узлов на У. 3 а д а ч н. 9. Используя результат задачи 16 з 1, докажите неравенство Л. Л.Маркова: хн,— 1,1', 223 многочлена от интерполпруемой функции Наряду с этими неравенствами большое значение имеют приводимые ниже теоремы, в которых то же уклонение оценивается через соответствующие производные интерполируемой функции.
Эти оценки получаются на основаини следующей теоремы. 'Георема 3 (обобщенная теорема Ролла). Пусгпь ! й Сто г]1], 1 =- = ]а, о], и иа отрезке ! иментисл т точек, х, (~ = 1, 2,..., т), в каждой из которых ! имеет пуль порядка и, причем 2, 'и =. Х. Тогда г=1 иайдетсл такая точка 1 й ]о., Ь~, юто !1гг г~(б) = О. Допустим, что ! й С"'1 . Выберем узлы интерполяции х: а < хд < (~ ... ~( х„< 6 и пусть р(х: 1) интерполяционньш многочлен Лагран- Предложение 9. Пусть 0 < з < п. з — целое число. Сучцествует миогочлеи Еп,(х), нули которого лежат иа отрезке ! и старший коэффициент равен 1, такой, что (ОО(б ) !00(х) „ы>(х. 1) ! (б*) Е (30) где б с 1.
Если з —. О. то 1.„(х) .— 1п(х) —.. Д(х — х ). Доклзягкльство. По построению функция р(х) = !(х) — р(х; 1) имеет на 1 не менее и различных нулей. Последовательно применяя теорему Ролла, получим, что функция 1ойй(х) имеет на ! не менее п — з различяых нулей. Мы выберем из ннх и, — з различных пулей (1 = 1, 2, ..., и — з) так, чтобы О = х. (1' = 1, 2, ..., и), если з = О. Положим и — я --(х)=П(х- ) г=ч Рассмотрим функцию ф(х) = рбй(х) — АЕ„,(х), причем константу А выберем из условия чти(хо) — АХ„-,(хо) = О, где хо -- произвольная гочка отрезка 1, отличная от нулей Е„ ,(х).
Таким образом, ф имеет на 1 не менее п — з + 1 различных нулей, и по обобщенной теореме Ролла (Х вЂ .. — п — з + 1,пг = 1) найдется такая точка сл, что иг" '1(б „) = О. Замечая, что фб~ — э1(х) вой(х),((п .. з) ~ (Ьд(т) 4(п з) ! получим А = !"("1 (бг,)Яп — з)), и поэтому ввиду произвольности хв ~ 1 из формулы (31) следует формула (30). П Глава Х Элемента теории приблихееиий Теорема 4. Пусть 1" Е И'"(ЛХ; 1), О < в < п, в — целое число.
Тогда )и — е '11О(х) — рбй(х; 1)~ < М, х Е (а, Ь|. (32) (и — в)! Доклзлгкльство. Если 1 е С" /1/, то из формулы (30) следует, что у1п1 уч"1(х) — рбй(х; 1)! < (Ь вЂ” о)" ', (и — в)! (33) поскольку нули многочлена 1„е ложат на 1, и, стало быть., шах 1„,,Ы' < (Ь вЂ” а)" еет Если 1 Е И' " (Л1; 1), то, используя определение класса и учитывая предлогкение 2 Ч 2 гл. 2, найдем последовательность (дь) функций, сходящуюся к 1, такую, что 1пп д ' (х) —. 1ОО(х) н д " ~ < М (Й вЂ”.- 1, 2,...).
Применяя (33) к дь и переходя к пределу, получим неравенство (32). П М, !,1(х) — р(х:, ~)/ < —:1„(х), х Е 1. и! (34) В связи с этим уместно поставить вопрос о наивыгоднейшем расположении узлов, с тем чтобы С норма правой части — была минимальной. Ясно. что 1„(х) должен быть многочленом, наименее уклоняющимся от пуля на 1, и, согласно замечанию и. 3 э'1, (Ь .- а)и (2х — а — Ь) Поэтому, если узлы интерполяции на 1 совпадают с нулями многочлена Т (ах †а в) 1- (;Л < ('-')" — ", (35) Из теоремы 4 вытекает следствие, имеющее большое значение в вопросах численного дифференцирования.
Пусть пы ..., пл -. произвольные вещественные числа; обозначим через т1 вектор (Оы ..., Ои)', и пусть р(х; в1) иптерполяционный многочлен такой, что р(х",в1)=пд (~ = 1, 2, ..., и). В п. 3 мы ввели константы Ли,(а, Ь) и константы Ли„ полученные при подобном перенесении узлов с отрезка (а, Ь) на ( — 1, 1). Злмие1анин 1, При в = О вместо норавенства (32) целесообразно пользоваться неравенством 225 53.
Иптерполлц я Теорема б. Пусгпь / Е И'" (М; 1), О < г ( п, г — целое число. Тогда г1(5 п — з ,'/ОО(х) — Р~')(х: и)! <, -~- ( ) Л„, шах'/(хЗ) — г1г!. (36) Доклзйтвдьство. пусть с = /(х ) — г1 (г' = 1, 2, ..., и), — (сд...., сп) . Заметим, что р(х: г7) = р(х; /) — р(х; ц), н поэтому /(')(х) -- р(')(х; г)) = /(Ю(х) — ррй(х, 1) — р(О(х: ~).
Применяя теорему 4, отсюда получим иеравенгтво М(Ь вЂ” о)"-" //('(х) — р('~(х: г1), <, + Л„,(а, Ь) шах!/(х ) — г1./., из которого в силу (19) получим неравенство (36). 3 а д а ч и. 14. Докажите, что остаточный член в интерполяционной формуле Эрмита можно представить в виде (37) где рч(х; 1) определяется по формуле (28), а 1(х) = )) (х — хг)'и. г=! 15. Дайте обобщение предложения 9 на отучай эрмитовой интерполяции. Злмкчлннв 2. Соотношения (30), (37) не следует рассматривать как основу для получения скорости приближения функции интерполяцнонным многочленом при и —, ос.
В самом деле, .делая эти соотношения более грубыми и переходя к неравенствам типа (35), мы видим, что оценка будет зависеть от величины ~/го~ /п!, и в худшем случае нужно требовать, чтобы ф" ~ ~,/и! ( А", где А некоторая константа. Таким образом, 1 должна быть аналитической функцией на 1. Л это слишком жесткое ограничение. Правильное представление об убывании остаточного члена интерполяции дает неравенство Дебега (5) как в случае функций конечной гладкости, так и случае аналитических функций.
Злмвчлннг. 3. Ыы выяснили, сколь велика роль констант Дебега, в численном анализе на примере задач интерполяпии функций. Важнейшими характеристиками любого метода приближения являются порядок уклонения функции от приближающего ее агрегата и аснмптотика констант г)1ебега. Для конкретности рассмотрим глучай периодических функций многих переменных. Пусть / е С(Т~~, и пусть разложение этой функции в ряд Фурье имеот вид (38) /(х) = ~~ с ехр(2химх). геи' Глава Я. Элелченти теории приближений Одним и:з широко распространенных способов приближения периоди- ческих функций является приближение с помощью частной суммы ря- да (38). Возьмем так называемую сферическую частную сумму Яп(ж: !) = ~ ~с„ехр(2я1мж), (39) „г<пг Л вЂ” пц — ц!2 (40) В то же время приближение с помощью прлмоуеольныл частим е сумм Я„(ж; !) = ~ с ехр(2х1ма) (и,(нп приводит к константе Лебега Л„, для которой имеет место оценка 2 ! Лп < ( — йпп — С), (41) вытекающая из предложения 6 ~ 1.
Столь вопиющее различие в асимптотиках констант Лебега говорит не в пользу метода приблиокения с помощью сферических частных сумм. Если рассмотреть приближение с помощью тригонометрических полиномов более общего вида Ял(ак 1; О) .—.. ~~~ с~ ехр(2х1мл), ело где 0 уравновешенно выпуклое тело в К, то константа Лебега данного способа приближения будет расти степевшым образом с ростом Л, если на границе тела 0 имеются участки, где еауссова кривизна отлична от нуля Аналогичная картина будет иметь место н при приближении алгебраическими многочленами, Именно поэтому мы отказались от рассмотрения общих семейств многочленов многих переменных, а ограничились рассмотрением семейств вида (1.25), (1.26) и (1.25'), (1.26') (см.
замечание в п. 7 3 1). 84. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона. Разделенные разности 1. Разделенные разности и ньтонова форма ннтерполнционного многочлена. При ручных вычислениях существенное значение где м2 = и2 —... + и2. Соотношения (38), (39) определяют линейный метод приближения, и соответствующая константа Лебега определяется по формуле Л„= впр Я„(ч !) .', где норма в С!1ч]. Сравнительно ~! <г не<шожный подсчет (11] приводит к соотношению Ь4, Интпериолнционнна лоновочлен о форме Ныотпона 227 имела форма записи интерполяционного многочлена Приводимая ниже форма записи интерполяционного многочлена в случае равноотстоящих узлов по традиции приписывается И.
Ньютону (1687 г.), хотя она уже была известна Дж. Грегори (1670 г.). Заметим, что произвольный многочлен р Е Яи можно записать в ви- де р(х) —. ао .~- а1(х — хо)+ -- аэ(х — то)(т — х1) ~ ... — аи 1(х — хо)... (х — х, и), (1) где хо, ..., хи и произвольные точки отрезка 7 = (а, Ь), ао,... ...,аи 1 некоторые коэффициенты. Не ограничивая общности, будем считать, что а < хо « ... хи г < Ь. Коэффициенты а, можно определить, накладывая на р(х) и условий. В частности, потребуем, чтобы р(х ) = пр у = О.
1, ..., и — 1, (2) пРичем пРеДположим, что х„я < хи 1 < Ь. В РазвеРнУ.той фоРме УРавнения (2) записываются в виде ао и- а1(хо -- 11о) т ... — ао(хо — хо) .,(хо — х,...1) = й~н у = О, 1, и, — 1. (3) Система линейных алгебраических уравнений (3) всегда разрешима, так как матрица системы имеет ниж1пою треугольную форму с диагональными элементами, отличными от нуля. Определив коэффициенты а, из системы (3), получим, что многочлоп (1) будет совпадать с ннтерполяционным многочленом Лагранжа (1,13): и-1 р(х) — ',> 014 (х) 1=О Вычислим 1пп р(х)/хи 1,используя обе формы многочлена. Тогда (4) и — 1 и — 1 -1 ''Ф ' о,; ' — ) — — ~ ~Х( 1.)11 и(; — 1)~ д=о 1 1.-о Я фа (5) Поскольку матрица системы (3) треугольная, то формула (4) прпгодНа ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕ ТОЛЬКО ИетаРШЕГОО КОЭффИЦИЕНта аи 1, НО ПРИ СО- ответствующем изменении и произвольного коэффициента аы Для этого в (4) нужно сделать замену и ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
