Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Легко описать структуру множества сплайнов. "« Пусть в ) О. Введем функцию х' = [шах(х, О)], с помощью которой легко представить аналитически любой сплайи из ю,„ы Рассмотрим вы- ражение в — 1 т ~ ао»х' .1 ~ ~ а1,(х - х1)', . 1=:1»« =:т - ~-1 Ясно, что функция (11) -- сплайн степени т дефекта й. При фиксированных узлах функции вида (11) образуют линейное пространство раз»«ерности т + 1-, (п — 1)1ь Покажем, что в виде (11) можно записать любой сплайн из 1й ы В самоа«деле, пусть о (х) ~ 1з 1,. Ясно, что на [хо, х1:, т Ь' (х) =~ ао,х', «=О где ао«константы. На [х1, хо[ ил«еем т )и от(х) = ~ во»х'+ ~ а«,(х — х1)'. «.=.0 »--О (12) Так как от, -- сплайн дефекта 6, то а1, = О (в = О.
1, ..., т — 1). Поэтому представление (11) для сплайна 5'„, имеет место на отрезке [хо, хз), так как в формуле (12) можно (х — т1)' заменить на (х — х1)', и она будет верной на [хо, ха[. Продолжая этот процесс, получпъ1 представление (11) для от(х). Как следствие мы получаел«, что с1ип 15ть = т+ 1+ Й(п — 1). 245 'Э 6, Свмийн-интерполяция Введем еще так называемые В-сплайны.
Они возникают в задаче о представлении разделенной разности в виде интеграла. Заметим. что если г' С Ичв(1), то формулу Тейлора (2.2.1) можно записать в виде Д(х) = ~~ (х — а)" -, ~(х -.1)~ (< ~(1)<Ы. (13) т-1 ОО ь=о а Обозначим через рь(х) многочлен пав (х) = П (х -- ) э=в Используя формулы (13) и (4.5), получим формулу. для разделенной раз- ности ь )(('; хь °, ха+ ) = Х~' ' Х~ (5)г1Ю.. (14) з=ь Ядро в этом интегральном представлении называется ядром Пса~о. Положим пать ( В ~(хь,...,х ть;х)=В з(х)=т~~, +: (15) ь( э) р'.(х ) эта функция называется В-сплатшом степени т — 1. Ясно, что при х > х ьь имеем В ~(х) = О.
Если х < хь. то правая часть формулы (15) лишь множителем т отличается от ш-й разделенной разности функции (1 — х)'" ~ (г б (хы оо)) и поэтому равна нулю. Стало быть, впррВ,„э(хы ..., х,ть, ) =-,хы хь „). Если х Е (хь, хл+„,), то В ~(х) > О. В самом деле, если (~ ~ > О, то из формулы (4.9) следует, что ы(у; хш ...., хьт ) > О, если только )г"О:й О. Ноесли имеется точках ~ (хь, ха+ ) такая, что В„, з(х,) ( О, то, очевидно, имеется целый интервал (о, В) С С (хь, хьэ ), на котором В ~(х) ~ О. Поэтому можно найти такую функцию у, что эпрргОЮ = —.
(о,,35 (~ ~(х) > О при х е (а, р), для которой интеграл (14) отрицательный. Полученное противоречие показывает, что В э(х) > О. Аналогично доказывается, что В,„~(х) может иметь на (хь, хь+ ) лишь изолированные нули. Формулу (14) можно записать в виде 1 /' (У;*,, ..., ь„) = —,~ В„,,(х,,,*,;5)У1-~(1)аб а Глава Х Элелеенти теории ириблихееиий Полагая 1: — х™, получим в силу формулы (4.9) Во-1(хы, хьэт, Ц~~1 = 1.
а Уточним полученное неравенство Вт 1(х) > О и докажем, что В, > (х) не может иметь локального минимума на (хаи хе ). Допустим противное; тогда найдется такая точка х Е (х„х. 1), что В,'„г(х") = О. По теореме Ролля на (хы хаааа,) функция В' 1(х) будет иметь по крайней мере три нуля. Так как В„', (хь) = В' 1(хь ) =- О, то вновь, применяя теорему Ролля, получим, что В„", 1 имеет на (хы хе+ ) не менее четырех нулей. Продолжая это рассуждение, получим, что функ(т — 2) (т — 2) ция В имеет на (хы хе т) не менее ш нулей.
Но В„„ломаная нз т звеньев, обращающаяся в нуль на концах интервала (хь, хьлт), я поэтому она никак не может иметь ш нулей, если только на каком-то интервале хп х~ 1 или нескольких интервалах она не равна тождественно нулю. Но тогда х' х О, ...р'(хо) хС[хпх~ откуда Ьлеп 1 1 В|(хы ..., хьлт) = ~~~, = О, Ва(хы ..., хьэт) = ~, = О.
1 .э.р'(хо) ' ', ьр'( ) и — 1 аВ (х), 3= — т (16) Если вместо узлов х ввести узлы у (у = )Ч 1 + 1, ..., к+ ш) в предположении, что х — у , '< е (у = )е, Й + 1, ..., Й вЂ” т), где > О достаточно мало, то 51(уь, ..., уе, ) .=- О, Яз(ры..., рьл ) =- О, поскольку В,в 1(уы ..., уал , .х) будет иметь по-прежнему локальный минимум, Но Я~ и Яа рациональные функции своих аргументов, и поэтому Я1 = О, Яз = О. Мы можем проварьировать узлы так, чтобы получить в итоге равноотстоящие узлы.
Но тогда одна из сумм Я1 либо Яс будет суммой зпакочередукицихся, монотонно изменяющихся слагаемых и, значит, будет отлична от нуля. Таким образом, Ви, 1(х) на (хь, .гь т) имеет единственный локальный экстремум -- максимум, и, стало быть, В 1 > О при х й (хь: хь-; ). Из доказанного вытекает, что сплайны Вт(хь, ..., хеэтэг' х) и В (хп ..., хьь В х) при (е ~ 1 линейно независимы. В-сплайны образуют базис на множестве астм В самом деле, введем дополнительные узлых,„(... (х 1(хе=них„лл (... (хи,„,хи ~х„.:и ипостроим сплайныВ (х)=В (х,...,х.,„, Их) Ц= —.ш, гп — 1,...,:и- 1); затем рассмотрим совокупность сплайнов степени ш дефекта 1: 247 'З 6, Сплагтзз;згзгтерполнцин 3. Интерполяциониые кубические сплайиы.
Рассмотрилг интерполяционные сплайны. На множестве узлов Х = (хо, ..., х„) зададим функцшо б: Х Н, с; хь з (ы Сплайн Я„,(х) и бзззь назовем иитерполяциоггггылг, если выполняются соотношения Я (хь)=бы 1=0,1,...,п. В частности, еслгг сь = »(хь) (1 .— — О, 1з ..., и), где»' б С(1], то будем говорить, что сплайн Я является иитерполяциоииим сгля функции 7. Основное значение для численного анализа имеют сплайны невысоких степеней, поэтому мы ограяичимся подробным рассмотрением кубических сплайнов дефекта 1. Этот сплайи определяется п + 3 параметрами, а уравнений (17) всего и+ 1. Таким образом, два параметра остаются свободными, и нужно ввести два дополнительных уравнения для их определения.
Нужно отметить, что ггеполнота системы (17) характерна для всей теории сплайн-интерполяШги, и имеется единственный случай. когда уравнения (17) естественным образом дополняются. Этот случай интерполирования периодических функций, когда необходимо, чтобы Яз(хо + 0) = Яз(хп — 0) Язз (хо -з- 0) = Язз'(згп — 0) (18) В непериодическом случае дополнительные условия (так называемые краевые условия) берут в виде ЯЦко — О) = г1о, Яз(х„— О) = 0 ., либо Яа(хо -.
О) = без ,Яга(хзз -- 0) = ~п, либо в виде линейной комбинации Яз и Яз на обоих когщах; величины г1о, г1„, (о, ~п некотоРые заданные константы. Найдем аналитическое представление сплайна Яз(х). На отрезке т„ г, х.) вторая производная Яз(х) линейна, и поэтому Яа( — ЛХ ' —; 17 Ь, лв ' Ь, хб(х, г,х )з где з'гг = х» — хз г (» = 1, 2, ..., п). Интегрируя дважды это соотношение где а,„, ..., а„г —.
произвольные постоянные. Сплайны такого вида образукгт линейное пространство размерности т-п, .и так как з!1ш !5,„г = =- т + п, то это пространство совпадает со всем !5 г. Таким образом, любой сплайн Яы(х) ~ Ь г можно представить в форме (16). Завершим этот пункт замечанием о том, что лагранжев сплайн имеет максимальный дефект. Гласа Я.
Элемеити теории ириблиоюеиий и вычисляя константы интегрирования с помощью (17), получим дв()=М,,(' ) -М,(х 66; ' 661 ( 6 ) 61 ( 6 ) 6, (ху — х) (х — х 1)- э 1 .7 ЛХу — ЛХ, й (20) Отсюда находим ~з(хз 0) ЛХ1 1 6 Яз(хх + О) = — ',~ ЛХ 3 111,„,Х, 47 41 — 1 3 ' 6, 11 е1 ЛХ уое1 ро Принимая во внимание эти соотношения и учитывая, что оз(х; — О) = = оз(ху + О) при у' = 1, 2, ..., г1, — 1, получим п — 1 уравнений , 61-~ба,1 ЛХ 6о-1 1Х Ь-1- "1 6 41е1 у' .=. 1, 2, ..., и — 1, для и+ 1 неизвестных Ме, ..., ЛХ„. В периодическом случае се = с„, ЛХе = ЛХа и (21) можно записать при д = и, считая при этом, что ЛХ„1 = ЛХ1, диэ1 — — д1, и поэтому система (21) замыкается. В непериодическом случае условия Ьз(хо + О) = ~о, Яз(хи — О) = 11е дадут уравнения ( - по)., ЛХ 1+2ЛХ = ( ~~ чл 1) 6 Ич 6„ л 6, — р, —.1 — йп .1 + ОЕ1 эо-1 '41 41 со-1] 6.т1 6 мы можем уравнения (21) записать в виде ц Ц 1 + 2МХ+ ЛуЛХоэ.1 = д, у = 1, 2,..., и, — 1, (23) а дополнительные краевые условия — в виде выражений (24) 2ЛХо + ЛоМ1 = до 11„ЛХ„1, 2ЛХ„= д„, Другие виды дополнительных краевых условий приводят к аналогичным соотношениям.
ПОЛ01кив 249 'З 6, Силайн-интерполяция охватывающих различные случаи задания дополнительных краевых условий. Мы будем предполагать, что О < Ло < 1, О < рв < 1. 34атрица полученной системы трехдиагональная, и существуют эффективные методы решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, известные под названием прогонки. Мы разберем метод прогонки в главе, посвященной решению краевой задачи для обыкновешюго дифференциального уравнения второго порядка, Докажем одно простое предложение о системах уравнений с трехдиагональной матрицей, Предложение 3, Пусть длл системы линейных уравнений с трехдиагональной лгатрицеи" аохо+ сох1 = до Ьгхь, ь агхг — сьхь 1 =- ды Й = 1., 2, ...., и —.
1, Ь„х„1 -'. а„х„=.- д„ выполилкнасл неравенства аь — Ьг! — !сь! > 5 ((г =- О, 1, ..., и), если считать, "впо Ьо = с„= О. Тогда |пах!хь! < 4 1 шах!дь . (25) Доказатклыс гво. Пусть шах!хь! .— -- т,!; если 1 < у < п — 1, то, ь взяв уравнение, отвечаюп1ее й = ~, получим !а.!;х — !Ь ! 'х, 1! - сг, '!х, 1! < !д., и так как !х г! < ~хз,',:ху 1 < ,'х !, то 5;тз ! < !д,! < шах дг .
Если у = О, то из первого уравнения аналогично получим !ао! хо — !со, '!хз! < до! откуда хо! < 5 ~ шах 'дь!. Случай у = и ничом не отличается от предыду цего. П Применим это предложение к системе (23). (24). В этом случае Ь = 1. и мы имеем (26) шах 'ЛХ„! < пзах !ду . Тем самым мы доказали разрешимость системы (23), (24), существование кубического интерполяционного сплайна и его единственность. Если через А обозначить матрицу системы (23), (24), то неравенство (26) означает, что !А 1, '< 1, где ! чебьппевская парма матрицы (см. 3 1 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
