Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Введем функции ехр(г(юг+ к)х) 1,(1,т)=~ *=о считая, что и =- 1, 2, ..., п — 1. Положим при г =- О, 1,... г и — 1 п,(о') = и + и ~ г!ьг(й„(н, х) + ( — 1)' 1,(п — й, — х)) х х [!.,(1., 0) + ( — 1)'~'г (п — 11 О)) где г!ь = ехр(2тгк/гг). Если г четное, то будем считатоь что п нечетное; тем самым функпин пгп будут корректно определены, В силу определения гггп(х) й С(Я",. 8. Докажите, что функция т„,(х) обладает следующими свойствами: 1) о г(х) -- вещественная функция; 2) п„г(хь) = бзь (у, (г — —.
О, 1,..., и — 1); 3) функция поз(х) непрерывно дифференцируема и — 1 раз; на любом интервале (хг, хгьг) существует г!"п,гг(х))г!х" и является константой. Таким образом, на любом интервале (хг, хгнг) функция о„г(г) —. многочлен степени г. 9. Докажите, что искомый сплайн гь', (х) Е "Ф",„интерполирующий функцию !(х) б С В), имеет вид г — г Я (х) = ~ ((х )и„!(х). 10. Покажите, что оо,(х) = и„о(х — хг) 0 = 1, 2, ...и — 1).
11. Рассматривая снлайн огг(х) как оператор Ьгг: С[Я') — г С)Я'), покажите, что его норма вычисляется но формуле о — 1 ),5„( = игах ~)п„!(х)). о«г ! "г=о 12. Докажите, что ~'Я ~' =- — 1п(г . 1) -' О(1). 2 13. Докажите, что если ! Е "Ф',",е'(ЛХ), г — нечетное, п — любое, то ~,(нг —.~рг~ <А,лу -"-"', 0<1<, где А„г — каис санта, зависящая только от и, !. 14. Докажите, что если г -- четное, и -- нечетное, то впр ~ (~Ю вЂ” .збг ~ >ж СоЛХ > О. уе гг' гмг 1б.
Докажите, что если г — чегное, и — нечетное, то ~,("' — яцг~ < В„,Ми-'~', 0 <1< г. 256 Глава Я. Элементы теории ирибли,млиий 16. Докажите., что результат задачи 13 не может быть улучшен какова бы ни была гладкосп функции Е, т. е. докажите, что метод приближения с помозцью нелокальных сплайнов -- это ъютод с наоми!ением и что классом насыщения для рассматриваемых сплайнов является класс Ф'"+'(ЛХ). Мы рассмотрели сплайп-иптерполяцию в той мере, как это нам требуется в нашем курсе.
Ниже мы коснемся более подробно тех областей численного анализа. где сплайн-интерполяция играет значительную роль. Если читатель хочет более подробно ознакомиться с ее теорией, рекомендуем ему работьз !3, 103]. Результат задачи 12 был получен в !!47) в 1966 г. и независимо -" автором в 1972 г, !не опубликовано); уточнение сьь в ~142). 3 7. Оценки поперечников !т!) 1. Оценка поперечников классов И"' !М! Е).
Оценим сверху. поперечники Ьа и зс„класса И" !М; 1). Для этого воспользуемся предложением 2 з 6 и следствием из него. Предложение 1. Если и ) по, та Ьа(11",(М; 1)] < В д 1,'ап (1) ! аде )1) = П !Ьз — а.), В, — константаа зависящая только от т. а=1 Докйзлткльство. В интервале 1 возьмем ту же сетку, которая была построена при доказательстве предложения 2 зб, но шаги Ь О = 1, 2,..., 1) выберем соответствующим образом.
Напомним, что й = !бз — аз)Еп и и возьмем в вцде п =;!б — а )Л1 'Ла~" ч у'=1.,2, ....,1, где Л» ! — вспомогательный параметр. Заметим, что общее число узлов ! п .— —. П !и -~- 1); делая подстановку вместо п„получим з=з и .= П~(Ь вЂ” а )М 'Лгу"' з'- д ] а=1 где ! < д, < 2. Отсюда "" П~ +д.(1.-")-',""Л '"] у=з Если Л зз Ло то каждая из скобок, фигурирующих в произведении, будет мало отличаться от 1, и поэтому < 6,1~р'1 Л, !2) где о некоторая константа. 257 З 7, Оценки поперечников Рассмотрим отображение ~р: С".1) — й.", р:,~ ь (Х(и ), . 1(к")) где 1 е С(1), а ж~, ..., жи узлы в интервале 1, занумерованные в некотором порядке. Допустим, что два элемента д., 6 е И" (ЛХ; 1) при отображении Зо имеют один и тот же образ точку С б р(И" (ЛХ, 1)). Тогда — д -- 6 й И" (2ЛХ: 1) и Х(хь) = О при й =- 1, 2, ....
и. По следствию из предложения 2 З 6 д -6, '< 2А,~ЛХ 6",'; учитывая, что 6 Ьг пг < И-1~., Л--Р1;, и ~г получим ~д — 6 . < 2А,16 Р. С другой стороны, с помощью неравенства (2) отсюда получаем д — 6'„< 2А„1дРД~1еп Р. Учитывая определение сеточного поперечника, получим 11„(И«(ЛХ; 1)) < 2А„1до~1~~рп Это неравенство справедливо лишь для чисел п вида П (и. — 1), где пго э=1 определены выше. Учитывая предложение 5 З 1, можно утверждать, что для любого е > О в любом отрезке 'п(1 — е)1'(1-««), и) найдется хотя бы одно число т такого вида, если и > и, Поэтому в силу монотонности поперечника как функции индекса имеем Л. (И'" (и:, 1) ) < Л.,(И'" (ЛХ; 1)) < 2А,1д'ДРд -' < < 2А 1дР( ) ~1~~1тп Полагая В,.
= 2А„1дР( — +=.), получим неравенство (1). 12 Яи(И (М: 1)) < п«Р~1' и 1 Доклзлтйльотво. В интервале 1 возьмем ту же сетку и сделаем тот же самый выбор шагов, что и при доказательстве предыдущего Предложение 2. Если п, > по, то колмогоровский поперечник оценивается следующим образом: 258 Глава д. Элаивити теории приблиамсиий предло«кения. Рассмотрим отображение Ь: Нп С(1], 1,: 8 « — «Цл, С), где 1(л, С) . многомерный Дагранжев сплайн, определенньпг выше. Ясно., что Ь(1ь") линейное подпространство, так как ь(л, ««С — гдт1) =-- = пал, С), рь(л, гг), причем 81ш ЦИ") = и. Обозначим для удобства ЦН") = .У". Если 1" Е И" (ЛХ: 1), то очевидно, что 'гп1 / У вЂ” д!. < ) ( — Ц, гу) ! где «г = 1(лг) (у = 1, 2...., а).
В силу неравенства (6.8) ш1 ()' — д, :< А,~ Л1«Л", «=г откуда в силу выбора п«п получим гг«1 ~~ — д~ < А,ада 1 гпп аст* ' Отсюда в силу определения поперечника на получаем неравенство и„(11г'.(М; 1)) < А,1д:.1, гдп-«2 Проводя то же самое рассуждение, что и в конце доказательства предыдупгего предложения относительно перехода от чисел и специального вида к произвольным положительным и, > по, получим неравенство (3). сз Дадим оценку снизу александровскому поперечнику.
Докажелг одно вспомогательное предложение, являющееся простым следствием теоремы 8 гл. 2. Пусть 1„« — и 1-мерный куб с ребром Л Допусти««, что дано отобРажение йг: 1а 㫠— Х, где Х вЂ” компакт, лежащий в пРостРанстве В. Потребуем, чтобы отображение ьг удовлетворяло условиям: 1) оно является гомеоморфизмом 1„, на юь(1„+г); 2) для любых точек и, у е 1„,, их образы тн х -,У~, «г".. у «1"р удовлетворяют неравенству )и — у < ((( — 1„((; в частности, в атом соотношении всегда может реализовываться знак равенства. Тогда мы будем говорить об изометричном вложении куба 1„=,.
Предложение 3. Если существует опгобраглсение «~п 1„+г — Х, удовлепгворлющее предыдущим условиям, гпо оа(Х) > Л Доказлткльство. Обозначвм через 9Л компакт гг.'(1„тг). Допустим, что оп(щ1) < 1. Тогда существуют такие и-мерный компакт Л и отображение р: Ж вЂ” «Л, что и д[«р «(С)) < Г(С е щ1), а Г < но Г > оп(дг1). Найдем достаточно малое > О такое, что существует с-покРытие (аг )гг««компакта К, кРатность котоРого не болыпе п+ 1, и д ~ р ' (аг )~ < Г ' б, где Б > О.
Г+ б < Л Каково бы ни было б > О. такое в 259 Э 7, Оценки поперечников найдется. Множества Эо ~(ы ) (~ = 1, 2,..., Ж) образуют покрытие компакта Ж, и о невидно кратности покрытий (ыз) и (Эо (ы )) совпадают. Поскольку ~~ гомеоморфизм, то покрытие (~ ~(ш )) компакта!% индуцирует покрытие (о Д куба 1„~ той же самой кратности.
Мы считаем, что о. гомеоморфно;о '(ыу). Если оц у Е о„то ~х -- у, < — (и~~ < с1~р- (иц)~ < à —: оц Поэтому покрытие (о )и куба 1„~ таково, что ни одно из множеств покрытия не пересекается с противоположнымп гранями куба. Поэтому по теореме 8 гл. 2 его кратность не меньше чем и —; 2. Это неверно, и, стало быть, о„(911) > 6 Поскольку У1 Г Х, то о„(Х) > 6 П Предложение 4.
Если п > по шо о,„,(11" (М; 1)) > С,.д(1~оп Доказатвльство, Построим в И" (ЛХ; 1) конечноъшрпый компакт, являющийся изометричным образом куба 1иэз с ребром е. Зависимость е от и будет установлена в процессе построения. Пусть Эо Е С~(- ос, со), ~р: 1 г-~ 'р(1) вспомогательная функция, удовлетворяющая условиям: 1) Эо(О) = 1: 2) р(1) = О при 1~ > 1; 3) О < Э < 1:, 4) у(1) < 1 при 1 ф О. Примем обозначение дп гп — шах д, 1.=-1,2,...,6 Возьмем на интервале 1 ту же сетку., что и прп доказательстве предложения 1.
Интервал у нас разбит на и - 1 =- ) 1 и, конгруэнтных интер=1 валов со сторонами 6ы ..., 6ь Занумеруем эти интервалы в некотором порядке, и пусть у" - центр и-го интервала (и = 1, 2, ..., и+ 1). В и-ом интервале рассмотрим функцию Отметим, что носитель ф„совпадает с о-м интервалом.
КонстантУ е подбеРем из УыовиЯ, чтобы (е/2)си Е 11".(ЛХ: 1). Заметим,что Но в силу выбора шагов 6,, — ( — ) < — (2""ть)И.ЛР(1- д (6 — Ц) И Р'л лI"'] ' 260 Гласа Я. Злелеенти теории приблияеений где 0 < д < 1. Поэтому, если положить е.=- 2Л о [шах(2"'ть)] (1 з- о) (б) где б > 0 малое число„ то при Л » 1 =.уб е И'~(31; 1). Рассмотрим множество функций < Ьел г ь - -'„=...+ ), (6) где С„произвольные вещественные числа. Куб 1„ег =-. 1С С Н" з: ~~,~ < е/2, и — — 1, 2, ..., и, —; 1) изометрично вкладывается в И" (ЛХ: 1), н его образом являегся множество (6). поскольку ет1 'С;, =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
