Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 55
Текст из файла (страница 55)
шах<~, .—. ~~~ б„бо„(.)' ибо носители функций с, при разных и могут пересекаться самое больпзее по общей грани, где сами функции обращаются в нуль. В силу выбора величин и, имеем и-1 = ~1~у'1оЛ(1+ бе), где бг > 0 достаточно мало, если Л » 1. Отсюда Л о > )1)орп "(1 — бг), где бг мало, если п > пе, Поэтому, учитывая формулу (б), получим е > Со 1 одп о, где Со константа, зависящая лишь от г, поскольку фиксирована вспомогательная функция р. На основании предложения 3 о„<И" (М; 1)) > Се:1!орп". Теорема 1.
Пусть ~;„— один из поперечников, введенных в э'2. Тогда при и > пе 1 — Се<1< р < Со<И (М. 1)) < 1д,~1~ р (7) Доклзлтвльство. Неравенства (2.30), (1) влекут правое неравенство (7) для всех поперечников, за исключением колмогоровского, для которого существует особая оценка. Левое неравенство (7) следует из неравенств (2.30) и (2.31), причем множитель 112 введен, чтобы это неравенство выполнялось и для поперечника Колмогорова. П Это неравенство установлено лишь для чисел п специального вида.
Переход к произвольному целому п > пе делается так же, как и в предыдущих предложениях, и он приводит к некоторому уменьшению константы Се: обозначая новую константу через С„, получим неравенство (4). ел 'З' 7, Опенки поперечников 2. Оценка поперечников классов И'"(ЛХ; 1). Возникает вопрос об оценке поперечников в случае произвольной области Р С хь~.
Как отмечалось выше, теоремы продолжения с сохранением анизотропией константы ЛХ класса пе известны. Но если класс И'" (ЛХ: Р) определить условием ХВИ (М; Р) ь '1; Р + ~ ~Р 'Х:Р',<ЛХ, (8) то оценки (7) останутся в силе с,заменой р па ЛХ,',1 на Р~ и заменой констант на некоторые другие. Вопрос с оценкой поперечников в С(1) класса И„е(ЛХ; 1) несколько посложнее. Мы приведем соответствующие результаты без доказательства, отсылая читагеля за доказательством к [18). Согласно теореме 16 ~ 1, при р > р класс 1И'(М; 1) вкладывается в С:Н и является ограниченно компактным множеством. Ниже будем рассматривать случай (9) р > р р > 1 Теорема 2. Если выполнены унловил (9), то при п > по Ао!зпсо 1" < о„Яр'(М; 1)) < Агдп' о~1~~, где г1о, Аз -- констаангпы, зависшцие только от, т.
Теорема 3. Если выполнены предполоэкенил, теоремы 2, то В„д — - '1 ° <г1„(И„"(М: 1)) <Е,р -"- 'Д . Мы видим, что для сеточного поперечника имеет место потеря показателя, весьма ощутимая в многомерном случае, потому что потере показателя р е соответствует потеря !р г производных. Напомним, что потерю показателя мы наблюдали при приближении функций из И" (ЛХ; 1) р алгебраическими многочленами в метрике пространства С~1~ (см. теорему 16 З 1). Здесь картина такая же, как и в теоремах 15, 16 З 1, и связано зто в данном случае с тем фактом, что сеточный поперечник определяет линейный метод приближения.
Мы выбираем оптимальную сетку, но для всего класса. Метод приближения, связанный с александровским поперечником. сугубо нелинейный, и такой потери не происходит. Из теорем 2, 3 можно сделать принципиальный вывод для численного анализа: при решении многомерных задач, когда решение принадлезюит классу И'„е(ЛХ; 1) (случай р = 2 особенно частый). сетку как в разностном лзетоде, так и в методе коне гнил элементов нужно подстраивать под искомое решение.
В местах большых градиентов шаг нужно брать поменьше, в соответствии с величиной градионта; при доказательстве теоремы 2 именно так конструируются аппроксимирующие агрегаты, по которым строится отображение в и-мерный компакт, Глава о. Элементы теории приблггогеений Теорема 4. Если выполнены, предполоогсения теоремы 2, то Соуп-~-"]1]о < н„(И'„"(М: 1 ) < Суп гел1о, где аг = шах(О, — 1гг2 1/р), а Со, Сг - константы, зависящие только огп т. а поперечник класса И" (ЛХ; Р) соотношением гл„ь(Ие (ЛХ; Р)) =. 1пп Ьо ь(Хь). щ (10) Предложение 5. Пуспгь область Р такова, что существует гпакой интервал 1 с Р, что ]1] > Со'Р] где ]Р] -- объем области В.
Если гг > по и Й фиксирооагго, то Ь„ь(И' (ЛХ, Р)) > Сг]Р] рп где константа Сг зависипг от. Со, г. Доказлткльство. Пусть узлы к', ..., к" таковы, что отображение Эг, ими определяемое, удовлетворяет неравенству впр д(гр ' ор(Х)] < 11о,ь(йв) — 'бо, 1ехе где бо > О достаточно мало. В интервале 1 построим правильную сетку, как при доказательстве предложения 1 с числом малых интервалов т, Мы видим, что метод приближения с помощью наилучшего и-мерного линейного подпространства при р < 2 уже не эффективен, и нужно переходить на сугубо нелинейные методы. Для классов Й'р" (М: Р) щги ощгеделении константы класса, как в соотношении (8), теоремы 2 — 4 остаются в силе.
3. Аппроксимативная характеристика наилучшего метода приближений. В практике численного анализа распространен такой способ приближения функций, когда в узлах учитываются не только значения функций, но и некоторое количество производных, допускаемых функциями класса. Можно модифицировать сеточный поперечник и на этот случай. Итак, предположим, что в области Р с В.' даны узлы кг, ..., к" и строится отображение класса Иге (Л1, Р) в В."ь следующим образом: в узлах и' берется значение 1'(ж') некоторой функции класса и Л вЂ” 1 значений ее различных производных. В итоге получаем точку с п)е-мерггого пространства и отображение р: 1)се (ЛХ; В) — ~ К"а, которое определяется соотношением ео: 1 е-г с.
Модифицированный сеточный поперечник компакта Ль = И" (М; Р) сг (1' Е С[Р]:,Д] < 1,) определим соотношением Лил(лс,) — - 1п1 гпр д' го ())],. Хехс, 263 'Э'7, Оценки поперечников причем потребуем, чтобы и+ 1 < т < п(1+ д), где д . достаточно малое число. Это всегда можно сделать, если п > по. В интервале 1 по крайней мере один из частичных интервалов не будет содержать внутри узлы жз, ..., л". Пусть это будет интервал с номером еб как и в предложении 3.
построим функцию 6 (д), причем константа е будет удовлетворять неравенству (12) е > Се~1 Р1зп Р. Если (' пРоизвольный элемент Хш то 1 и 1 + ЦУо пРи отобРажении зо будут иметь один и тот же образ с. Поэтому 1', 1'+ 11„Е зр (с) и е1!д ~(с)~ > - '2. Отсюда Л„ь(Хь) до > е12, и в силу произвольности де имеем Ьнд(Хь) > е/2. Учитывая неравенство (12) и то, что ~1 > Со~Р1 получим неравенство (11). П Итак, используя в алгоритме значения ие только функции, но и ее производных, мы добиваемся не столько улучшения порядка аппроксимации, сколько удобства в построении локальных аппроксимационных формул, имекицих эрмитовский тип.
В п. 4 З 2 с помощью формул (32) была введена важнейшая функция п,(е; Х, В), характеризующая аппроксимативные свойства наилучшего метода приближенного задания компакта из данного семейства методов. Мы условились использовать обозначение г'(е) = д(е) при =- З О, если при и < во справедливо В < ',1'(в)/р(в) < А, где константы А, В не зависят от . Лналогичное обозначение будем использовать и для того случая, когда параметр стремится к ж. Из того замечания, что результаты теоремы 1 остаются в силе для класса 1Ч' (Л1; Р), получаем п,(в; И ' (31; Р), С~РД = Л~РЦ.)з ~р.
(13) Для классов И'„г(М: 1) имеем соответственно оценки п<(е; И'„(М: 1), С(1!) = 1',(1з/е) 1Р, где ь' = о, В, рг и р > 2 в случае поперечника и. Если 1 < р < 2, то и (е; И' (М; 1), С'1 ) ~1~РДР ~мв) ДР и, наконец, и ( И (в1 1) С~1') (1 РРДРР П( ~е)РДРР И (13) Лналогичное соотношение будет иметь место и для попере~ника 11„ь 3 ад а ч и. Изучение асимптотических свойств поперечников, или, что то же самое, функции пе(е), для численного анализа очень важно. Поэтому лзы сформулируем несколько задач, ответ на которые не известен и которые представляются довольно трудными.
Глава Я. Элвл1енты теории приблвесвниб 1*. Выясните, существует ли предел ~1ш с(ю и'" (м; Гй с;1))(-Хр)'".ХГ' Вычислите этот предел, если он существует. Здесь (' — любой из поперечников о,и, 6,Ь. 2*. Выясните те же вопросы, что я в предыдущей задаче, но для функции пс(-, 11р(ЛХ; 1), С(1)) когда С .—.. о, 6. Различны ли пределы для этих поперечникову 3*. В случае еопервчника Колмогорова большой интерес представляет вопрос о существовании предела 1пп и (;, 1Р„"(М; 1), С!Г)(в)р)М'" '~1~вне в 0 и — -1,2,. и = 1. 2..
этгп — 1 —" Игп~ мгп 1 = Хт'„Мп где Хт„-- константа, определяемая по формуле (1.36). Для класса 1)г',(ЛХ; 1е) (1о — — ( — 1, Ц), состоящего из непериодических функций, его поперечник Колмогорова в С~1е) дается соотношением „= Н Кви -". (16) Из соотношения (16) следует, что п1и(е; И~" (61: Хе), С:1о)) = -'~ -'К„ЛХ) Если сравнить этот результат с соотношением (1.48), то мы видим, что точность аппроксимации оптимальным подпространством в 2/ т раз пре- восходит точность аппроксимации с помощью алгебраических многочле- нов. 4. Пример: насыщаемость разностного метода решения задачи Дирихле в многомерной области. Дадим гй>именение полученных результатов к исследованию разностного метода решения краевых задач.
Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в интервале 1 С Рс11 дгн п~(ю) г + Ч(ю)п 1 ппн Ээ 1=1 '1" 1 (18) где ы =. 1пах(0, — 1/2+ р 1). Докажите существование предела и вычислите его. В связи с предлагаемыми задачами отметим ряд точных результатов о поперочниках (108]. Для класса 'Ф'",(ЛХ) поперечник Колмогорова в С(У) вычислен точно и показано, что З 7, Оценки поперечников и (х), ~ 3 ~6 азй (пй, о 2пй + пй — е ) 3 — 3 3 а.й 1 (63 — ~1) 'дои(хи+11~ ) 2 ~,'г / дх <Й, 3 1 3 й '3 где у3 — -- (О, ..., О, 1 О, ..., 0)' вектор, у которого 3тя компонента равна 1, а остальные нули Таким образом, после подстановки в уравнение (18) получим 3 — — '3 (ий-е, — 2ий+ цй — е,) + ейцй = 1й тгй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
