Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 53
Текст из файла (страница 53)
8). Замечая, что ~А! = 3, получаем, что сонс1А < 3 (см. З1 гл. 8). Как 250 Глава Я. Элементы теории приблихеений дв = 35~ (В,), у =. 1, 2,, п — 1, (27) где  — некоторая точка интервала (х, ы х т1). К соотношению (27) мы еще вернемся, когда будем заниматься вопросом построения кривых. Рассмотрим вопрос о близости сплайна к интерполируемой функции. Предложение 4. Если Х' е: 1Ъ'л (АХ: 1), Ь1 = ...
= Ь,„= Ь вЂ” равноетштоящие узле, и дополнительные краевые условия имеют, шлд (22), где йо =-- Х'(хо), еь — Х'(х ), то '8,"'(х)-Х10( ) < ЛХЬ'-'. 1=0,1,2,3. 2'(3 — 1). Доказлткльство. Заметим, что на [х, ы т,[ имеем Язв(х) = (ЛХ,— — М, 1)ХЬ . Положим озн(х) — -- оз если х Е [х ы х.[.
Преобразуем систему (22), (23), последовательно вычитая уравнения одно из другого в следующем порядке: вначале из (23) при у' .=- 1 вычитаем первое уравнение (22), затем из (23) при у = 2 вычитаем уравнение, отвечающее Х = 1, и т. д. и, наконец. из правого уравнения (22) вычтем уравнение (23), отвечающее Х .— —. п — 1.
Если затем в этих уравнениях вместо величин ЛХэ перейти к величинам о, то получим систему (1 — Л,) Ь„, + Л,Ь,, = д, — д„ (1 —,р +А,)Ьл, л +йл Ьл + =д. — д„ у — -1, 2, ..., и — 2, да 1Ьв 1пв 1 т (2 — 1„...Г)Ь„Ов = дв -- д„.п (28) ГДЕ да = — „', (4тв:,1а — ОО), дв = — „'„(Уа — '" „С;" '). Разделим уравнения (28) последовательно на Ь| — Ь~., Ь1 †' Ьи + + Ьз, ..., Ь„ з — Ь„ 1 + Ь„ и Ь 1 + Ь„.
Вновь получим систему и уравнений с трехдиагональной матрицей С, причем несложно проверить, что сумма элементов строк матрицы С равна 1. Новые правые части обозначим через ру (в' = О, 1, ..., п — Ц. Полагая и = (он ..., ов)', систему (28) запишем в виде Со = р, где р =- (р1...,.. .ри)'. Отсюда С(п — р) = (Х вЂ” С)р.
(29) мы увидим ниже, такая низкая граница для числа обусловленности приводит к тому, что при решении системы (23), (24) влияние погрешностей округления будет сказываться крайне незначительно. Но есть один неприятный момент вид правых частей. А именно, если Ху = Х(ху) (у = О, 1,...), то правую часть уравнения (23) можно записать в виде ду = бш(Х; х, ы ху. хал1). Поскольку Яз(х ) = е = Х(хз), то д можно еще записать в виде д = бш(Яз, тл 1, хм х, 1), откуда, согласно формуле (4.9), 251 '46, Спли11плангперполлцил Поскольку матрица С имеет вид О 1 — Зо Оо Ж 1 — Р1 — з З1 1.'и — 2 ~ дп.2 ~п-2 Оп- 2 13п-1 1 — 11п-1 О то вектор (1 — С)р илзесг вид ( ~о(рг — Р1)~ З1(Рз" Рг) Р1(рг Р1),, 1п-2(рп — Рп — 1)— Рп — 2(рп — 1 рп — 2) 13п — 1(рп Рп,— 1)) ° (3О) Если теперь 61 = ...
= 6п = 6, то уо = 1,14, 1) = 1 = 1,16, (у — — 1, 2, ...., и — 1) и Рп 1 =. 1114. Применяя к системе (29) предложение 3, получим ',и — р . ( 3~(1 — С)р,' (31) Рассмотрим более подробно вектор правых частей. Если ~у = Х(ху), то, поскольку ду = бь2(Х:, х 1, х., х 1), получим р = бю(Х; х, 1, .гу, х, 1, хг г), 1 = 1, 2, ..., и. — 2. Заметим, что тепеРь мы должны положить Оо =. У~(хо)., 11 =- 12(хп),, и поэтому 6 Х.Х(хз) — У(хо) Уо = — ( 6(, 6 — У (хо)). Следовательно, 1 1 6 р1 =- — ~6оз(1; то, х1, хг) — 62 (1(х1) Х(хо) — 111 (хо))]; и если воспользоваться формулами (4,11), (4.15), то получим Р1 з (1(х1) Х(хо) 6,Х (хо) У (хо) 1 1 и-~-12 / ~ / Х (хо+226)~61 122 Хзз].
о о о Полагая в формуле (13) х = хз, т = 4 и затем делая подстановку в пре- дыдущую формулу, влзесто Х(х1) получим ,Х (2.)+дЛ16, (32) 5 7 ~рг — р1~ ( — 661+ ~д ЛХ6 ( — ЛХ6. 2 2 где ~д~ ( 1. Отсюда аналогичным образом, представляя ~(1; х1, хг, хз, х4) с помощью формул (4.11), (4.15) получим 252 Глава Я.
Злажевты тиеарии приблиисаний Аналогичное неравенство справедливо н для, р„— ра з ~. Поскольку р тз— — р. = 24 Ььл ( Х; х, ы ..., хуз з), в силу соотношения (4.9) имеем р з — р.~ < МЬ, у = 1, 2, ..., и — 2, и поэтому чебышевская норма вектора (30) (см. 3 1 гл. 8) не превосходит (7/8)ЛХЬ, и, значит, по неравенству (31) 21 т — р < — ЛХЬ. (33) Пусть х е (хз ы х.,'' (у = 2. 3, ..., и — 2); тогда р, — Х'а(х) = бш (Х; х, з, хю хзем хзез) — Х"'(х). Если воспользоваться формулой (4.8), то правую часть последней формулы можно записать как кратный пнтеграл от разности Ха'(х з+Ь(Зз+ + зя + Хз)) — Ха'(з): пРименЯЯ фоРмУлУ конечных пРиРащений, полУчим Если х е !хо, хз~, то нз ссютпошенпя (32) следует рз — Ха'(х) < 2ЛХЬ, и, очевидно, что аналогичное неравенство будет иметь место на отрезке (ха ы х„,.
Поэтому из неравенства (33) вытекает, что ~8, (х) — У'а(х) ~ < — ЪХЬ Применяя к функции Нз(х) — Х(х), обращающейся в нуль в узлах х (Х =- О, 1, ..., и), предложение 1, получим неравенство 23 — С )Н,"'(: ) — у<О(:)( < — ЛХЬ'-', г =О,1, 2, 3. з ' ' (3 1)~8 3 а д а ч и.
1. Докажите, что если вьшолнсяы условия предложения 4, но шаги непостоянны, а удовлетворяют соотношению Ь,ХЬ, < о, то ~С '~~ < (1 — ,' з Указание. Представьте матрицу С в виде произведения С = РСН, где Х; Н вЂ” диагональные магргщы, а матрица С трехдиагональная, удовлетворяющая условию предложения 3 с константой 3 = 1. 2.
Пользуясь результатом предыдушей задачи, докажите, что фз~ ~ — Х~ ~(хЯ < С~МЬ , .1 = О, 1, .2,. 3, (34) где константа С~ зависит лишь от Ь о. 253 $6, Сплийв-интерполяция 3. Покажите, что неравенство (34) остается в силе для периодических краевых условии и краевых условии (24), где Ло = д„= О, если эолько соответствующим образом выбрать НО и ц„.
4. Построите интерполяцвонный параболический сплвйи, предполагая, что узлы сплайна и узлы интерполяции не обязательно совпадают друг с другом. В следующей задаче дается характеристика экстремальных свойств полиномиальных сплайнов. Л1ы предположим, что узлы сплайна т (д =- О, 1, ..., и) удовлепзори!От условиям о ( ло «у1 « ...
«у ( Ь, 5. В пространстве И", (Х) пандите решение экстремальной задачи ) ХО1(х)) дл шх а при условии, что Х(х ) =- х Ц = О, 1...,. и) где х — заданные вггичины. Докажите, что экстремальная функция ХО(х) единственна и является сплайном Хе(г) = Вз,. 1(т) степени 2г — 1 дефекта 1 с узлами в точках к О = О, 1, ..., и), удовлетворяющая дополнительным краевым условиям ,суз~„~ 1(т) т— и 0 (х с (а, то) О (т, б), 1 = г, 1' 1,..., 2г — 2). Обычно этому свойству сплвйнов придается большое значение, и из него делается вывод о некотором оптималыюм характере сплайн-интерполяции. Значение теории сплайп-интерполяции мы разъяснили выше, а сейчас сделаем некоторые выводы из результата предыдущей задачи. Рассмотрим случай 1 = 2, так как раныпе для него мы вывели все необходимые формулы. Правые части системы (23) имеют вид д, = б«2(Хо:, тз 1, яз«1), т.е.
они пропорциональны вторым разделенным разностям посчедовательнос'ти бо, ..., б„, и при малых шагах и случайных членах этой посаедовательности величины д, будут принимать большие значения разных знаков, а в силу формулы (27) будет не менее п--1 точек, в которых Вз'(л) принимает большие значения. Отсюда следует, что график функции д = Вз(х) будет иметь большое число максимумов и минимумов и представлять собой волнистую кривую, проходящую через заданные точки. Эту картину, далекую от наших представлений о С' -гладких функциях, мы реально наблюдаем, ко- 2 гда строим кривые, проходящие через заданные точки, используя для этого сплайн-интерполяцию.
Ответ на вопрос о восстановлении функции по ее значениям в ил 1 точюгх получен; его легко было предсказать без вычислений: если велячины (6«1 — 6 бз — 6- ) Хз Уз«1 Кз Яз Зз — 1 по модулю ограничены «нобольшойь константой ЛХ, т, е, величины б, фактически являются округленными значениями функции Х д И' (ЛХ; Х), то мы получаем гладкую функци1о. В противном ш1учае, когда эти разделенные разности велики и знаки их случайны, получаем сильно волнистую кривую, которую трудно воспринимать как желательный объект.
Если по смыслу задачи мы не должны проводись гла21кую кривую через точки (зоч бз), а можем варьировать их ординаты, то возникает следующая экстремальная задача: в классе Иг" (Х) найти решение задачи ф ~~ — «ш( 254 при условии, что (Х(х!) — б!) ( в (у = О, 1, ..., и). Соответствующая задача в пространстве И'г (Х) проще и формулируется в следующем виде. 6. В пространстве 11/г'(Х) найдите решение экстремальной задачи (Х'/(х)) с(х 1пХ и г о при условии, что 2,' р,(/"(х,) . — 5,) ( вг, где р, > О (! = О, 1, ..., и), Х,' р, = 1. =о *=о Докажите, что экстремальная функция Хо единственная и является сплайном степени 2г — 1 дефекзл 1.
7. Пусть г = 2. Докажите, что экстремальный сплайн определяется с помощью величин М! = Яо(хг) (/ = О, 1,..., и). которые удовлетворяют системе уравнений (35) а„г,„зЛХ„э+ао ! о-гЛХо — г+ао — зл! — гМо-! = д!-г, М! = Мое! = О. Здесь правые части до такие же, как и в системе (23), а коэффициенты а, х,, даются формулами г„се Л вЂ” множитель Лагранжа, определяемый из уравнения (36) а Лг, д! такие же, как и в уравнении (23). Систему (35) и уравнение (36) надлежит решать вместе.
Поете того как определены неизвестные ЛХ/ —. О, 1,, ЛХ,т!) и Л, вычисляются величины о ! о Ьг!! 67 Обычно в вычислительной практике используют сплайны невысокого порядка. Но в периодическом случае можно построить удобные формулы для сплайн-ингерполяции произвольного порядка. Рассмотрим пошзномиальные с!тайны из класса г//" (ЛХ) (г — целое число), имеющие степень г и дефект 1 аг,!-!-! а!,/ — ! а,!,!эг оси Глава Я. Элвлсвитм теории вриблиоювиий ЛХ вЂ” ! = ЛХо.— -О, амМ! ташМг+агзМз —.-дз, г Е алхч ьМ,т ь .=. д, Х = 2, 3, ..., п — 2, ь= — г 2+ 6Л '(6! — Ь!э!) '((6, —, Ь!+г)(р, + рг !) — р, 6, '6, — ! — ! 6Л (Ь!е! —, /г!) (рг зЬ!э! 6! г) 6Л '(6,!! —,6,) (р, гЬ/61 !) ,-МՄ— М, Л/, — и,,— ' ! ., г/г Л=е ~р г=о /гг~! 6, 255 $6, Сплаби-иигиерполнцил и интерполирующие произвольную функцию ! й С(о' ~ в равноотстоящих уз- лах хо = гй (!г = йг)п, 1' = О, 1, ..., и — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
