Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Преждо чем строить интерполяционпый многочлен, определим, к какому классу он должен принадлежать. Формула (1.23) определяет класс многочленов Фа (н = (пы ..., щ), с1!пт 3~а = пы ..., П~). Помимо этого класса рассмотрим еще класс ф~ многочленов вида 235 З 5. Интерполяция гриииций еитгит, перемеииих откуда (т-1)... (т+1) (т+1)! П 1'т1 и В области 1г с Кг рассмотрим Х точек хц~, ..., х~~~ (хб~ —..
(х~~~, ..., хбй)) --- учлов интерполяции -- и найдем многочлен Р(х), совпадающий в узлах с данной функцией 1 й С[0]: Р(хг) = Д(хбг), у = 1, 2, ..., Х. (4) В зависимости от того, к какому классу многочленов принадлежит Р, будем считать., что г1е = сйш Яп либо Х = сйшг4гг„„. Полагая Р(х) = 2, аьхг, систему (4) запншем в виде ь аь'хбг)~ = у(хбй), г = 1, 2, ..., Х. (5) и, чтобы эта система была разрепшма, исобходимсч чтобы матрица 11 = — ((хбг)ь) была неособая.
Поскольку с1е10 алгебраический мног,ь гочлен от х1Ц, ..., х1мг, не равный тождественно нулю, то зтот детерминант обращается в куль лишь в исключительных случаях, а именно в пространстве еь~г переменных хц~, ..., хауге~ он может быть равен нулю лишь на многообразиях размерности, не большей Х1 — 1. Поэтому принципиально возможен такой выбор узлов, чтобы система (5) была разрешима и требуемый интерполяционный многочлен Р(х, уе) существовал.
Понятно, что построенный интерполяционный многочлен является проектором (неортогональным) иа конечпомерное подпрострапство .У с. С[ХХ, где .К либо фгы, либо Я„. В самом деле, если два многочлена Р, Я ~ й совпадают в узлах хг О = 1, 2, ..., Х), то для их разности Р(х) — Я(х) —.. 2 5ьхь будугвьшолняться уравнения и ~ Ьь(хй1) = О, 1' = 1, 2,..., М, ь и, следовательно. Ьь = О.
Пусть Ь,(х) = 2 аь хь многочлен, удовлетворяющий условие ям (5), где Г" (хбг) =- б, . Многочлены Ем ..., Ьгг образуют фундаментальную систему, и интерполяциопный многочлен Р(х, 1) запишется в виде (6) Глава Я. Эллл(виты теории врвбл(злслиий По аналогии с одномерныл( случаем норма проектора Р: С(В] — .У, Р( 1 Р(., 1) определяется по формуле 'Р', = Лн = п(ах ~ 11(л) ~. иеп 1=1 (7) Нонстанта Лебега Лм играет ту же роль, что н в одномерном случае. Так, если Е(() — —. 1п1 ~( -- Р)... то на основании предложения 2 () 3 (о ( Е.'Х ядре) имеет место неравенство 2. Интерполяция в многомерных интервалах и торах, общая постановка задачи интерполяции. Итиеется приятное исключение из сказанного: когда Р--либо интервал 1 —... (л е Рь(: а, < л < Ьч 1 = 1, 2, ..., 1), либо тор Т'.
В обоих случаях можно построить фундаменпм(ьные многочлены интерполяции как тензорное произведение одномерных фундаментальных многочленов. Рассмотрим случай алгебраических многочленов. На отрезке а < л < Ь:, рассмотрим узлы л, ..., л 1Ц 1ш1 (у = 1, 2...... 1). В результате па интервале 1 получим множество узлов т1'1=(л ° л( ) ('=(и(,, (), '=1,, „у=1,2,:1) Понятно, что число ух~он равно п(, ..., гч.
Фупдамвнтальный мпогочлен, отвечающий узлу лп'1, будет иметь вид и и( х,— л, где 1з~ — -- и,, ' фундаментальный многочлен интерполяции. гю (и о( ь=з ьД, Понятно, что построенные миогочлены Е (л) удовлетворя(от характери- стическому свойству Е (л") = (1,„. Теперь мы подошли к существенному моменту всей теории.
В одномерном случае мы видели, сколь тонким был вопрос выбора узлов интерполяции, с тем чтобы получить медленный рост константы Лебега. В многомерном случае для произвольной области ТУ с гладкой границей мы не располагаем какой-либо теорией, на основании которой можно было бы выбирать узлы интерполяции и определять порядок роста константы Лебега.
Следует ожидать, что при случайном выборе у.злов константа Лебега Л(т будет зкспоненциально расти с (з '((. В силу сказанного практическое значение такого рода интерполяционных многочленов крайне незначительно. 237 '«'оЦ 11тттпсрполлиил фтдтткцтлй лоятеит, перел«еинтлх Сам интерполяционный многочлен будет определяться по формуле Р(*, Л) = ~ ~(*")7.(*). и (6') Лп — П Лп, (хзц; «хз ) где Л„,(х, ..., х ' ) константа Леоега одномерной интерполяции ОО 1пдт с узлами х ~ (Й = 1, 2, ..., и ). Беря в качестве узлов нули многочлена Т„,(х ) либо (1 — хз) 6тп, з(х,), получим ннтериоляцнонный многочлен, константа Лебега которого Л„= П(1ип„).
Таким образом, мы построили весьма качественные интерполяционные многочлены, которые находят широкое применение в численном анализе. Аналогично строятся тригонометрические интерполяцнонные многочлены на торе Т'. Приведем лишь форьиулу для тригонометрического многочлена с «равноотстоящихтит узлами. Положим х. — — а + ОО л- 2кйтт(2п — 1) (/г = О, 1, ..., 2п — 2, 1 = 1, 2...., 1). Искомый многочлен имеет вид 1п(х, ~) = ~ ~~(х~) П Вп,(х — х ').
(12) о<ь<зп — я э=1 где, как и выше, неравенство й < 2п -- 2 понимается покомпонентно: й ( 2п — 2 (т' =- 1, 2, ..., 1). Для тригонометрической интерполяции остается в силе аналог формулы (7) для подсчета константы Лебега, а также неравенство Лебега (8). ЗАмечАние.
Успешное решение проблемы интерполяпни для тора, несомненно, связано с тем, что это —. замкнутое многообразие. Однако играет роль пе только факт замкнутости многтюбразия, по н строение его фундаментальной группы. Так, для двумерных многообразии, гомеоморфных сфере с д ручками (д р' 1), мы не знаем, как корректно ставить задачу интерполяции. Болыпое число прикладных задач возникает на таком многообразии, как сфера.
Понятно, что проблема интерполяции на сфере должна решаться на базе сферических функций. Этот факт и обескураживающий результат в случае произвольной области наводят на мысль о том, что следует отказаться от многочленов как от основного строительного материала. Очевидно, для данного класса областей либо многообразии это должны быть функции некоторого специального Из (6') вытекает, что константа Лебега, отвечающая датшому выбору узлов, будет определяться цо формуле 238 Глава Я, Элелеентм гаварни приблиаюеиий вида.
Таким образом, обобщенную проблему интерполяции следует сформули- ровать следующим Образом. В области»» нужно построить Х непрерывных (глвдких) функций г»(ш) (» = 1, 2, ..., 5?) фундаментальных функций интерполяции — и Х узлов шб1 (1 = 1, 2,..., Х) таких, что ев (шрб) = д ь (», й — -- 1, 2, ..., Х). Интерполяционньгй агрегат возьмем в виде Р(*,У) = ~ У(ш»)уз(*).
в=1 (13) 1„( ) еи„,(р-в,ь) П„,(В-В,ь л)1 2пв+11„'(г )" г — е г — 'г (14) Искомый интерполяционный агрегат имеет вид Рн(а .() =~,»(д ь)Ьл(з) (15) Заметим, что, хотя мы н указываем у функций 1ъ и Рн аргумент щ онн нс явлин>тся аналитическими функциями переменной ю Ясно, что мы получим некоторый линейный метод приближения, причем формула (13) определяет отображение Р: С11») — й, где А Х-мерное и подпространство с базисом (уел ) 1(аким свойством должна удовлетворять подобного рода интерполяция? Целесообразно предъявить все те свойства, которыми обладает классическая интерпОляция.
1. Норма Р, оператора Р как функция Х должна слабо расти. 2. Должен выполняться аналог неравенства Лебсга, Это требование можно заменить двумя равносильными: метод приближения г. помощью агрегатов (13) не должен иметь насыщения н на классах дифференцируемых функций, порядок приближения должен отличаться от наилучшего в 0(~Р~,) раз. Пгимкг.
Рассмотрим пример, в котором решается задача интерполяции в такой ослабленной форме. Пусть П вЂ” круг в В.~, »» — (т, р: шв —, ув ( 1). Считая, что п =- 2О четное число, обозначим через г1 ) ... ) ге > О произвольные неотрицательные числа такие, что вч ~( 1. Положим гее, = — ге е 1 (е = 1, 2, ..., Ч) и 1а(г) = Ц (г — ее). е=е На окружности С = ( = т+ 1р: ~д = г ) возьмем 2п. + 1 равноотстоящие точки е ь = г, ехр(16 и), где д,ь = 2лИ/(2п, 1) (к. = О, 1, ..., 2пд), Таким образом, получим?У? —.. 2 (2п.-1) узлов. Систему фундаменталь1=1 ных функций интерполяции возьмем в виде 239 'г 6, Спяайн-интерполяция Свойства интерполяпии, .определяемой формулой (15).
мы сформулируем в виде задач. 3 ад а ч и. 1. Пусть т = тт(пп ..., пг, п -- 1). Докажите, что если Х(я) = Х(гь р) е 'згг„„то Рэ(г. ф) = Х(г). 2. Докал<ггге, что если гг (у = 1, 2, ..., 2е) нули многочлена Тг„, то (16) Рх, < Лгг гпах йаи 1<г<1 Рассмотрим класс функций Н (лг; Р) и С[Р:„удовлетворяющих в круге Р условиям ~ь-и Х ,~(йХ, 1+1 ' м 3. Пусть узлы гп те же, что и в задаче 2. Докажите, что при соответствующем выборе пм..., пю если Х" Е Н' (ЛХ; Р).
то ~Х вЂ” Р (, У) ~ < С23ХН" "г 1ойг.У, где С„ константа, зависящая только от и. Замечание. Результаты задач 1 — 3 показывают, что предлагаемая интерполяция при соответствующем выборе узлов г„обладаег всеми теми свойствами, которые выше были предьявлены к обобщенной процедуре интерполяции. Пусть Р с й.г -. произвольная односвязная область, и пусты, = ш(г) функция, конформно отображающая круг (г: г~ < 1) на область Р, ф: (г: ~г~ < 1) — Р.
положим э,ь = м(г,ь),,г,ь =. Х (б ь), построим по этим значениям агрегат (16) Рм(,,Х). Тогда Рм(й '(ч), Х) дает решение обобщенной задачи интерполяции в области Р. 4. Предполагая, что гранина области Р принадлежит классу С, сформулируйте и докажите аналог теоремы аппроксимации, данной в задаче 3. ° й 6. Сплайн-интерноляция 1. Основные свойства Лагранжевгмх сплайнов. В численном анализе довольно давно и широко используется прием кусочно полиномиальной интерполяции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
