Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Таким образом, если Х с К~ - - компакт, имеющий внутренние точки, то Н(ш Х) < 1!п(1/е) -!- 0(1). Отвлечемся от нашей основной темы и вспомним некоторые элементарные факты из теории конечномерных банаховых пространств. Будем рассматривать К как 1-мерное аффинное пространство. Введем в нем норму!:х!!в = шах (х(! . Тогда единичная сфера в этой норме, т.е. 1<о<! (х н ль~: ',х в < 1), будет еднни|ным кубом. Произвольное множество Х С К называется выпуклым, когда из условий х, у Г Х вытекает, что ох+ 1Зу Е Х, если о 3 .—.. 1 (О < ее < 1). Выпуклое множество называется выпуклым телом, если оно замкнуто и имеет хотя бы одну внутреннюю точку. Множество Х с В~ называется уравновешенно выпуклым, если из условий х, у Е Х вытекает, что ох ~,Зу Е Х для произвольных сб ~3 таких. что 'о~ — 3 < 1.
Пусть 1' произвольное уравновешенно выпуклое тело в К~. Оно порождает в В. некоторую норму; а, если его принять в качестве единичной сферы. Эта норма определяется формулой ))х!(з —.-. !и! о. ауавр 279 Э2. е-внтповпил компактов Наоборот, любая норма ' !! порождает некоторое уравновешенно выпуклое тело, которым является единичная сфера 1к ~ те~; !)к; < 1). Все эти нормы эквивалентны, и поэтому для любой из них можно найти такие константы А, В, что А)!к()о < 'к(! < В!(к !о. Геометрический смысл этих неравенств состоит в том, что для любого уравновешенно выпуклого тела можно найти такой куб, который будет в него вписан, и такой куб, который будет содержать в себе это выпуклое тело.
Поэтому, какой бы нормой ни было снабжено пространство Н', оценка (4) остается в силе для компактов, содержащих внутренние точки. Пусть В некоторое оанахово пространство. Если множество Х с В содержит бесконечное количество линейно независимых векторов, то опо называется бесконечномерным, Предложение 2.
Если Х вЂ” выпуклый бесконе.чпомерный компакт, Х с В, то 1пп = оо, Н(е: Х) (5) .- ! й(1й) Доклзлгйльстно. Каково бы ни было целое и, в компакте Л найдутся линейно независимые векторы лы ..., к„. На эти векторы натянем линейное пространство Е", образованное векторами вида ~ ье л, =1 где б произвольпыс всщсствсппыс числа; очевидно, что гйшЬв =-. и. Норма и В индуцирует норму в Ев, а тем самым и норму в аффинном пространстве Н"', определяемую выпуклым телом — единичным шаром: (б) Симплекс в силу выпуклости компакта Х принадлежит Л. Но его же можно рассматривать как симплекс в пространстве Н" с единичным шаром (6). Согласно (4), Н(е; В) !пп = и.
— о 1ой(1/е) Поскольку Н1: Х) > Н(е: Я), то Н(е, Х) 11ш гз 7з, — о 1ой(1Й) и в силу произвольности и отсюда следует соотношение (вг). 280 Глава 4. Тсорнл табулирооанил н в-энтропия Следствие. Если длл выпуклого компакта Х с В (7) то дшг Х .— —. г ( оо, и компакт. Х еомсоморугсн эалтнутому подмноже- ству пространглпва Вз' ~~. Доклзатильсгво. Если выполнено условие (7), то компакт лежит в некотором подпространстве Е", и, следовательно, бшгХ < и. Вторая часть теоремы — следствие теоремы 7 З 1 гл. 2.
П Итак, по сложности задания самый простой объект зто конечное множество, затем более сложный объект — замкнутые ограниченные подмножества и-мерных пространств. Из бесконечномерных компактов наименьшую сложность имеют компакты, злементами которых являются аналитические функции либо функции, особо просто организованные, состоящие, может быть, и из разрывных функций (ниже мы бегло рассмотрим классы функций такого типа). 8 3. Табулирование классов аналитических функций и к-энтропия этих классов 1. Табулироваиие компактов аналитических функций. Предположим, что О -- компакт, В = СЮ и Х С В -- некоторый компакт. Следующее почти очевидное, но важное предложение вскрывает связь между табулированием компактов и е-знтропией. Предложение 1 (А.
Г. Витушкин). Длл пгоио чтобы некоторый способ табулнрованил элементов компакта Х имел то"тосте е, длина таблицы Ж д'олжна удовлетворять неравенству Х > Н(в; Х). Доказательство. Выше мы отметили, что множество таблиц злементов компакта, длина которых не больше гг, определяет -сеть для компакта Х. Так квк мощность множества таблиц -- двоичных слов длины не больше Х вЂ” не превосходит 2", то 2м > Ж(в: Х, В), откуда гх' > Н(е: Х, В) — —. Н(в: Х).
Это предложение разъясняет важность характеристики Н(в; Х). Именно Н(е; Х) -- длина оптимальной таблицы, позволяющей восстановить злемент компакта с точностью в, Теперь мы перейдем к рассмотрения> вопроса о табулировапии компактов, злементами которых являклся аналитические функции. Читателю может показаться, что аналитические функции зто изысканный ~ 3.
Табулирооонио клооооо аналитических функций 281 объект и что в численном анализе не обязательно использовать такое тонкое свойство,как аналитичность. В действительности дело обстоит наоборот. Аналитические функции зто очень широко распространенный объект, и многие естественнонаучные проблемы приводят к аналитическим функциям. Игнорируя аналитическу.ю природу решения при построении численного алгоритма, мы не только резко сужаем свои возможности, но и действуем расточительно. 11режде всего следует отмотитгч что многочисленный отряд специальных функций состоит из аналитических функций; так, Г. Бейтмеп составил список более чом тысячи специальных функций (см.
]78, с, 26]), Читателю, вероятно, известно, сколь много труда вложено в табулирование специальных функций, и мы не будем перечислять имеющиеся многочисленные таблицы. Далее, в задачах на собственные значения, особенно для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также в многочисленных краевых задачах мы часто сталкиваемся с тем, что собственные функции либо решения краевых задач -- функции аналитические. Прпмкр.
Приведем единственный, но яркий пример спектральную задачу для уравнения Орра — Зоммерфельда. Эта задача возникает при исследовании устойчивости течения вязкой жидкости в плоскопараллельном канале. Уравнешю Орра -Зоммерфельда имеет вид Х у — рирг1СХу — В ну) — РтЛХу = О, где Х, =- Й /г)л~ — а- —. дифференциальный оператор à —... 1 — лз. Для этого уравнения на отрезке Хв =,— 1, 1, рассматривается однородная задача у],= у'],= 0. Требуется найти значение спектрального параметра Л с максимальной вещественной частью и исследовать его как функцию параметров о и ХХ. Здесь Л болыпой паРаметР, Н = 5 10зоо10', и а = 1.
Легко видетгч что собственные функции этой спектральной задачи аналитические. Если игнорировать этот факт при дискретизации этой задачи, скажем перейдя к разпостной аппроксимации четвертого либо шестого порядка точности. мы построим неэффективный численный алгоритм. Можно привести еще примеры задач, где, по существу, приходится пользоваться аналитичностью нли очень высокой гладкостью решения. Поэтому нужно научиться правильно табулировать функции таких классов -- в этом залог рационального подхода к дискретизации соответствующего класса задач. сЗ В основе теории табулирования классов аналитических функций лежит следующая теорема 1.
доказанная независимо в ]8] и ]44]. Пусть С односвязная область н й(С; АХ) класс функций Х, регулярных внутри С и удовлетворяющих условию ]Х] )] < ЛХ (е б С). Рассмотрим в С компактный односвязный континуум К. Допустим, что конформпый радиус двусвязной области С ~, К равон г. Двусвязную область можно конформно отобразить на кольцо. Если г1 < ги — радиусы граничных Глава 4. Тоорил табулирооани.о и е-энтропия окружностей кольца, то величина гэ)гг называется конформнмм радиусом.
Конформный радиус -- инвариант. Две двусвязные области можно конформно отобразить друг на друга тогда и только тогда, когда равны их конформные радиусы. Примем в качестве метрики на А(С: М) величину Н(е; Х(С, К; ЛХ)) =- 1ойе — + о(1ой~ — ). 1 .,ЛХ,ЛХ 1ойг е е (2) Отметим, что в доказательстве (8) предполагается, что К область, хотя для метода доказательства зто ограничение не существенно, Примвр. Приведем наиболее часто встречающийся и практически важный пример применения теоремы 1. Пусть К = 1о = ( — 1, Ц, а область С ограничена эллипсом с фокусами в точках -. 1, 1, имеющим сумму полуосей г ) 1. Эту область будем обозначать через Э,. Соответствующий класс А(С: ЛХ) обозначим через А(Э,; ЛХ), а компакт через Х(Эо, Хо: ЛХ), который будем рассматривать как подмножество С(Хо), В соответствии с этим норму будем обозначать, как обычно, через Нетрудно убедиться, что функция Х = ( + = ~)Х'2 отображает кольцо (з: 1 < ', ( < г) на двусвязную область Эг ( 1о комплексной Х-плоскости.
Для этого достаточно проверить, что граничные окружности кольца отображаются в компоненты границы области Э„'1 1о. Действительно, если в = е'т (О < Эо < 2х), то Х вЂ” —. (е'и+ е и)Х'2 = сову., причем отрезок Хо проходится дважды, когда оо изменяется от О до 2я. Если л = ге'о, то 1 1 1 = — (г — г"' )совоо 11 — (г -- г )з1пр. 2 2 Л это параметрическое уравнение эллипса с полуосями (г + г )/2, (~ — г ')Х 2 и фокусами — 1, 1. Таким обраюм, конформный радиус двусвязной области Э, ~ 1о равен г, и формула (2) дает в этом частном случае асимптотику е-энтропии.
Л1ы приведем доказательство этой формулы для данного конкретного случая. П В и. б 33 гл. 2 мы показали, что многочлены Чебышева первого рода образуют полную ортогональную систему на 1о относительно меры до(л) = (1 — тэ) чтил. В силу з3 любую функцию из Х.э(Хо, и) можно разложить в ряд по полиномам Чебьппева; ! Х(л) ~~. аьТь(х), ь=о (3) р(Х, у) = шах!Х(л) — д( )!, Х, д й А(С; М). При таком определении метрики класс А(С; ЛХ) будет компактом, который мы обозначим через Х(С, К; ЛХ). Теорема 1. Длл е-энтропии компакта К(С, К, М) имеет место формула Глооо 4.
Тоорпл тобулирооаяия и -эптроп, л Злмечлние. Появление многочленов Чебышева в рассматриваемой задаче не случайно, а имеет глубокие основания. Дело в том, что если К вЂ” произвольный ограниченный континуум, содержащий более одной точки, то можно естественным образом определить для континуума К его окрестность К„ и систему многочленов, называемых мпогочлоаоми Фоберо, таких, что произвольная аналитическая функция в К„всегда разлагается в сходящийся ряд по многочленам Фабера.
Если К = 1о, такими окрестностями будут внутренности эллипсов дЭ„, а многочленами Фабера будут многочлены Чебышева. Неравенства (5) лежат в основе метода табулирования рассматриваемого класса аналитических функций. Читателю полезно вспомнить табл. 1 2 1. Опишем устройство таблиц и подсчитаем их длину. Заменим неравенства (5) на более грубые неравенства Неа„~ ( 2Мг ",,!ша„(281т ", и = О, 1, Далео заметим, что из (5) вытекает важное неравенство (7) п — 1 оо / гЗп(1') ( шах 7(я) — ~ аьТь(я) (~ ~ ~аь~ < 2Мг "(1 — г г) ~. (8) о;его ь=е ь=п Поэтому, если мы хотим построить таблицу, имеющую точность, выбе- рем минимальное и, удовлетворяющее условию 2Л1~ п(1 — г ) ( ('2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
