Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Дальнейшие рассуждения будут аналогичны рассуждениям предыдущего пункта. Очевидно, что оптимальной таблицей функции этого класса будет таблица ее коэффициентов Фурье. округленных надлез>са>цим образом. Поскольку все свелось к последовательности (а„), которая удовлетворяет неравенствам (18) аналогам неравенств (5), то, полагая еь = г и учитывая,что теперь таблица будет в два раза длиннее за счет величин аг как с положительными, так и отрицательными индексами, мы получим следующую теорему, сз З 3. Табулировавие классов аналитических 4ункиий 291 Предложение 4.
Если с"„— один из введенных нами поперечников, то при и > па ба(Х(Э„. 1о, М) ') = Мг -". (20) Аналогичное соотношение имеет место и длл компакта "Ф'(М, Ь) с за- меной г на е". Доклзлтндьство. Проведем его гюдробно для компакта Х(Эг, 1о, Л1), поскольку для компакта из периодических функций оно является почти дословным повторением. Из неравенств (8) следует, что оа(Х) < < 2Л1г "(1 — г а) ~, причем для краткости вместо Х(Э„1а, ЛХ) пишем просто Х, Пусть х, (~ = 1, 2, ..., и) -- нули многочлена Т„(х).
Если г" б А(Э,; Л|) и г"(х ) =. 0 при д' = 1, 2,..., .и, то 1(г)1Т„(г)-- функция, регулярная в Э, По принципу максимума шах~Дх)~сТ„(х) < шах (~(г)(Т (=) . (х)<1 хеаэ, Но на дЭ„выполняется (((г) < Л1, а (Т„(х), '= ."+ г "~/2 > (гав — г ")/2, и поэтому )~, '< 2Л1г "(1 — г в') г. Отсюда следует, что Ь„(Х) < 4ЛТг и(1 — г а")"'~, Рассмотрим многочлен у Т„(х) — (. — х,)Т„(х,) (21) где у . - произвольные числа. Очевидно, что на дЭ„ р( ) ! < — (г" + г ") ~ шах >у. '. 2 (. — х )Т„'(х ) Заметим, что где д. = (21 — 1)к/(2гс). Последняя сумма оценивается некоторой константой, зависящей лишь от г.
Поэтому, если е дЭс, то ~р(г)' < С„г" гпах у,,~. где а произвольно, то получим таблицу асимптотически в два раза длиннее оптимальной. Выводится этот результат дословным повторением соответствующих рассуждений для класса А(Э„, Ы). Остановимся па взаимоотцошопии между поперечниками и асимптотикой е-энтропии, Приведем вначале оценки убывания поперечников рассмотренных классов. 292 Глава Х. Теория табуяироааиия а г-эятрапат Следствие. Из соотношения (20) вытп,екает, что 1 ЛХ пс(г; Х) =- 1оя — + 0(1), 1оа г (22) где Э вЂ” любой из поперечников. Аналогично дяя компакта "ХХ'(У; ЛХЧ 6) получим 1 ЛХ пд(г„'и (Я~; ЛХ, 6)) = 1ОК вЂ” -Ь 0(1). (23) Л 1ойе Доклзлтьльсгво. Сравнивая формулы (13) и (22), мы видим, что Н(г: Х(Э,, Хо: ЛХ)) ЛХ г Л1, = 1ой — -~ О~ 1ок1ок — ).
и-(г; Х(Э,, Хо, ЛХ)) (24) Поскольку пд(г) минимальное число параметров, требуемых для того, чтобы можно было с точностью г задать произвольный элемент компакта, то соотношение (22) показываот, что при оптимальном дискретном способе описания элементов того же компакта требуется израсходовать в среднем !ой(ЛХ/г) я-О(!ой 1ок(ЛХ/г)) битов на один параметр. Это очень важная характеристика, поскольку она показывает, грубо говоря, какое соотношение существует между числом узлов и длиной машннного слова при правильном способе табулирования аналитических функций. Очевидно, что эта величина сохраняет силу н для компакта М (Я~; ЛХ, Ь). П 4.
Табулнрование функций многих переменных. Полу юнные результаты допускают простое обобщение на функции многих переменных, Пусть г = (т, ..., г~). Э, — область в плоскости комплексного переменного =- х, — гум ограниченная эллгшсом с фокусами в точках — 1, ! н суммой полуосей гэ, н пусть Э„= Э„х ... х Э„,.
Через А(Эьп!И) обозначим класс функпий, аналитических в области Э, и ограниченных по ъюдулю константой ЛХ. Функции этого класса будем рассматривать на интервале Хо = (х —: В.: х = =. (хм..., х~), т, ' ( 1). Введем метрику р(У, д) = тах]Х(х) — д(х)] = ]Х вЂ” д,, Х, д б А(Э,4 ЛХ), и полученный компакт Х(Э„Хо, ЛХ) естественно считать подмножеством пространства О!Хо]. Если 1д ) .
точка и-мерного куба Х„с гранью 1 = С' ~г "ЛХ, то р б А(Э„; ЛХ). Многочлен (21) определяет отображение вложения куба 1„ в Х. Поскольку,р] > шах]р ], то выполнены все условия предложения 3 '37 гл. 3. Поэтому п„з(Х) > С„зг "ЛХ. Полученные неравенства и неравенства (3.2.30), (3.2.31) влекут соотношение (20). Б 'з 3. Тадулировавие классов аналитических функций 293 Теорема 4.
Имеет место соотношение О(', Х(Э„Хо; ЛХ)) —,,', (!Од — ") + Л О((!ой — ) !оя!оя — ). Столь >ке естественно обобщается н теорема 3 на многомерный случай. Класс ">Х>(Т; Л1, Ь) состоят из функций Х! Т! С, где Т! = У х ... х хб' — 1-мерный тор, допускающих аналитическое продолжение в полосу (х = (х>, ..., е!) ! а> —.-Хх> -е >у>, !у>) ~( Ь>, — со < х> < оо, Х = 1, 2, ..., !) и ограниченных там константой ЛХ. Как н выше, на классе "!Хс(Т~; М, Ь) введем метрику, положив р(Х, д) = тах!Х(х) — д(х)! = ,'Х вЂ” д, Х, д б "Й7(Т; М, Ь), Теорема б.
Длл е-энтропии компактна'Ж(Т'; Л1, Ь) имеет место формула 2>т! ЛХ ЛХ ' ЛХ + О((!об — ) !оя !оя — ). Теоремы 4, б могут быть выведены из некой общей теоремы либо независилго. Оптимальная таблица лля класса А(Э,, 1о! ЛХ) состоит из округленных значений коэффициентов кратного ряда Фурье — Чебышева; для класса 'д>(Т~: Л1, Ь) — из набора округленных значений коэффициентов Фурье. 3 ад ач и. Пусть 1 б А(Э, 1о; ЛХ), и =" (п>,... п!) - мультинндекс. Условимся обозначать произведение Т„,(х!)...
Т,(х!) через Т„(х). Кратный ряд Фурье — Чебышева имеет вид Х(х) = ,'.'"1'(: ), езо где и > 0 обозначает покомпонентное неравенство, а штрих у знака суммы означает, что слагаемое берется с коэффипиентом 1>>2, если какой-либо из индексов п>, ..., п! равен нулю. 1. Покажнто, что коэфф>щненты ряда Фурье-Чебышева определяются по формуле 2 ! Г "= (-„) / Х(*)Т.(*)П(1-х,')-"' *, >б >.-.: ! >а Если какой-нибудь из индексов п>,..., п>, равен нулю, в эту- формулу нужно внести очевидное изменение. 2. Покажите, что имеет место многомерный аналог неравенства (5): !а»( ( 2'ЛХг, "'...
г! ~!, п > О. (25) Глава 1. Теория табряирооани,я п е-энтропия 3. Пользуясь предыдущим неравенством, оцените уклонения в С(1о1 функции 1" от ее частной суммы ряда Фурье — Чебьпвева боя(х) = ) а„Т„(х), тл рб ч><> где ш — некоторый мультниндекс. 4. Пользуясь предыдущими результатами, оцените длину таблица и дайте оценку сверху для -энтропии компакта Х(Э„1о; ЛХ), 5. Дока>ките теорему 4. Заметим, что, как я в одномерном случае, оценка е-энт1юпии сводится к рассмотрению последовательности коэффициентов Фурье-Чебьпвева. Поэтому в периодическом случае доказательство теоремы 5 отличается от доказательства в непериодическом случае лишь деталями.
6. Докажите аналог неравенства (25) для периодических функций и выведите из этого неравенства теорему 5. 3 4. Табулироиание и х-энтропия функции конечной Гладкости 1(" -')'Ь« ~ =' (1) г! 2 Согласно предложению 1 56 гл. 3, фх) — 1,(х; г') < . Но нам не нужно запоминать все величины 1(х>). В самом деле, допустим, что яам известны значения 1(х ) при у = /с, Ь вЂ” , '1, ..., Ь+ г — 1. На отрезке (хю хьэ,.; построим инторполяционный многочлен Лагранжа р(х), принима>оп>ий значение 1" (х ) в узле х, прн >' = К, й + 1, ..., (с —. г — 1.
На основании теоремы 5 5 3 гл. 3 г«Л« ~~(х) — р(х): ( Л1 -~-, х Е (хю ты>', г! 2Лг' (2) 1. Метод табулирования функций конечной гладкости. Опяшем метод табулирования компактов функций конечной гладкости, который даст оптимальнью по объему таблицы. Этот метод табулирования базируется на принципе зкономии старших разрядов. Он основан на том простом соображении, что значения гладкой функции в соседних узлах между собой коррелированы.
Поэтому старшие разряды не надо запоминать, а их можно вычислить. Проведем вычисления для класса Н«г (ЛХ; 1), причем вначале разберем случай 1 = 1. На интервале 1 возьмем лагранжев сплайн А(х; С), построенный в 56 гл. 3, положив С = 1(х>), где Г'(х ) приближенное значение табулируемой функции в узле х — х . Пусть ) 0 —.- требуемая точность таблицы.
Значения 1'(х>) возьмем так, *побы 1'(х ) — 1'(х>)~ < «/(2Л„), где Л„-. константа Лебега, отвечающая равноотстоящим узлам. Число узлов и .—. (Ь вЂ” а),1Л возьмем минимально возможным, при котором выполняется неравенство з4. Табулирооаниг и г-онтропил функции конечной гладкости 295 где Л, - константа Лебега данного интерполяционного многочлена. Согласно результату задачи 8 3 3 гл.
3, Ло < 2" — 1. Учитывая неравенство (1), из (2) получим ,'Т"(х) — р(:с) < (( ) ' —; — = о„е, (3) где о„= —, (! — ) + ~" ~. В силу предложения 5 33 гл. 3 и элементарного неравенства ( — ") — — (1 т „— ) < 2е получим о, < е+ 4(г — 1) У (г — Згг2). (4) Полагая в (3) х = хьо„, получим, что ,Дхь.~г) — р(хь,)~ < о,е. (5) 1о8 " ~ + 2 =,!ок(2Л,о„) , '+ 2 =,3,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
