Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Пусть 1 с й.' -- единичный куб, С(1) - - пространство непрерывных функций на нем. Оказывается, что любую функцию 1 Е С(1) можно представить в виде суперпозипии функций одной переменной и единственной функции двух переменных функции сложения (и, ь)~ и+и Глава 4. Теория табулировани.оп е-оптропия Теорема 2 (Колмогорова). При 1 > 2 любую функцию 1' Е С[1) можно представить в виде еде функции х,з не зависят от у" и фу!тции уи ц непрерывные. Более того, имеется дополнение к теореме, согласно которому функции 1о, можно взять из класса Ыр 1.
Казалось бы, что приведенная теорема устраняет многие трудности численного анализа: достаточно усилия, чтобы определить функции !о; (из липшицевого класса), и можно свести задачу об определении функции 1' от 1 переменных к определению 21+ ! функций от одной переменной. Но это так только при первом взгляде на проблему. В действительности, какова бы ни была гладкость функции 1, функции у, будут только непрерьсвными и нельзя оудет создать какой-либо алгоритм для их определения. Егц!и учитывать лишь свойство непрерывности функции, то число независимых переменных -- несущественный параметр. Для гладких функций, а тем более для аналитических это уже не так. Для аналитических функций с помощью асили!готики е-энтропии мы различаем число независимых переменных. Для гладких функций определяющей величиной является их гладкость р.
Мы все время говорим о гладких функциях, поскольку мы ориентированы на решение краевых задач математической физики, где гладкая функция естественный объект. Поэтому слова лглалкая функция» и «функция. просто устроеннаяь для нас почти синонимичны. Однако нужно помнить, что нарушение гладкости не обязательно лелает функцию сложной. Типичный пример это функция Ван дер Вардена, не имеющая производной ни в одной точке. Она определяется просто.
ПРИМЕР. Пусть ало. К вЂ” е К имеет период 1 и х, 0<х<112, ,. (,) 1 Положим У(х) = ~4 "ро(4ах). и..-.! Эта функция не имеет производной ни в одной точке и тем не менее просто устроена и легко вычислима, поскольку она с экспоненциальпо малой погрешностью приближается своей частной суммой. Функции вида Р(х) =- ~ а„4 "!р!!(4" х), и=! где 1 < а„, ,'< 2 (п = 1. 2,...). образуют компакт Х, и этот компакт также просто устроен, как компакт из аналитических функций.
Е1 Э5. Некотории нраксаиэоокис. оопрооос работы о таблицами 301 3 а д а ч а 5. Найдите асимптотику -энтропии компакта Х, рассматривая его как подмножество пространства сС1о', (!о = ~О, !)). У нас остался неосвещеинымс вопрос о табулировании классов бесконечно диффвренцирувмых функций. Это вызвано прежде всего твм. что рамки учебного пособия нв позволяют осветить этот вопрос должным образом.
Тут возможна следующая постановка задачи (в одномерном случае): на Те — —. ~-.1, 1, рассматривается класс С(сп„) бесконечно дифференшсруемых функций, подчиненных условиям с со! ~ (С"ш„(п = О, 1,...), гдв С вЂ”... Су —. константа, зависящая от функции у, и (ти) -- последовательность чисел, определяющих класс. Ясно, что оптимальная таблица будет таблицей округленных значений коэффициентов Фурье- Чебышева, а -энтропия будет выражаться через известную функцию Островского ,и Т(г) = эпр —. и>с ш„ Аналогичная задача ставится и для функций многих переменных.
В периодическом случае оптимальная таблица таблица округленных знасессий коэффициентов Фу рье. 3 5. Некоторые практические вопросы работы с таблицами 1. Проверка таблиц иа гладкость объекта. Мы подробно рассмотрели вопрос о составлении таблип, в частности таблиц оптимальной длины. Таблицы это один из важнейших объектов численного анализа, и нам повсеместно приходится с нями иметь доло. При этом мы вынуждены определять, насколько таблица соответствует тому объекту, который она представляет.
В з 7 гл. 3 была приведена таблица решения задачи Дирихле: длина таблицы и длина ве отдельного слова находились в противоречии с точностью. Если мы имеем дело с эмпирической таблицей, то преэкде всего необходимо проверить ее на гладкость: отвечает ли эта таблица некоторому гладкому объекту или является случавным набором чисел. Делается эта проверка с помощько составления таблицы разделенных разностей первых, вторых и т. д. Тут трудно высказать какие-либо соображения, и дело решается опытом и чутьем вычислителя. Поэтому остановимся на ситуации, часто встречающейся в практической работе., когда составлена таблица некоторой сладкой функции и каждое число имеет погрешность округления, не зависящую от остальных.
Х!ы не будем останавливаться на теории округления, основанной на статистическом подходе. а отметим, что в процессе работы ЭВМ округление не носит случайного характера. Так, вычисления по одной и той же программе с одними и теми же начальными данными дают один и тот же результат со всеми знаками.
302 Глава 4. Творил та6улирааани.л п с-антрапил Наша цель .-. выяснить, что в данной таблице является лшумога округления», а так же понять, каким образом можно определять единичные погрешности в таблице. Если мы имеем дело с табшщей гладкой функции, то разности имеют тенденцию сначала уменьшаться по величине, а потом увеличиваться, одновременно испытывая сильные колебания. Обычно принимают, что первый столбец разностей, следующий за минимальным, возникает вследствие влияния погрешностей округления.
Разберем два простых численных примера. Рассмотрим таблицу функции составленную так. как если бы у(т) была функцией класса Сз (табл. 1). Шаг таблицы возьмем равным 6 = О, 1. По сложившимся нормам мы разности записываем так, как если Таблица 1. Значения функции р(т) бы запятая в десятичном числе— значении функции стояла после последнего разряда. Исследуя эту таблицу, можно сделать вывод, что третьи разности довольно точно передают поведение рлб( а). хотя сами абсолютные величины тхай не точны. Четвертые разности уже не имеют отношения к поведению р~~(х), и, .очевидно, в их образовании существенное значение оказали последние знаки таблицы, полученные в результате округления.
Тем самым мы доказали корректность таблицы. Но можно было бы с самого начала к округленным значениям дописать еще пять десятичных знаков. Мы этого не сделали, потому что тогда у читателя рябило бы в глазах от обилия цифр. Вычислив последовательные разности по этой новой таблице, мы установили бы, что лхлу обнаруживает случайное поведение в том же пятом знаке после запятой. Отсюда следует, что у этой новой таблицы пятый знак округлен, а остальные знаки излишни. Этот анализ основан на следующем простом соображении. Пусть дана таблица гладкой функции Г1т) с шагом и.
Округленнью значения функции обозначим через )г(ь6) (л = йе, /св + 1,...). Положим 8 5. Некоторые практические ваирасс) рабаты с таблицами ЗОЗ 7(ЬЬ) = 7(ЬЬ) + г(ЙЬ). По формуле (Зсй17) 755|(то) =- 21)",Х(ло) + с~ьг(ло) =- = Ь" ХОО(0 + Мг(ио) где С б (то, то + пЬ). Учтем случайный характер величины г. Поскольку г =, то из формулы а схь).(ио) = ~ ~(--1)" ) г(хо — 'ЗЬ) и-о следует,что с! ьг(хо) =- е2" и если шаг Ь достаточно мал и производнгие функпии 7 не слишком быстро возрастают, скажем как и), то в формуле (1) при и > т главным членом будет второе слагаемое.
Это и означает, что в игру вступили округленные знаки величины г(И). В нашем случае легко подсчитать, что т =. 4. Таблипа 2. Значения функции 9(л) л 9 1,5 0,43319 1,6 0,44520 1,7 0,45543 1,8 0,46407 1201 1023 19 16 — 143 721 — 124 0,47128 0,47725 597 -- 108 19 489 — 80 — 118 117 252 155 119 91 0.49744 — 22 2,8 с „)и) — 2 ')-.1) '( )и.,ь„ )=о (2) 0,49813 ПРИМЗР. Анализ разностей таблицы позволяет устанавливать единичные погрешности в пей. Разберем этот метод на примере.
Возьмем таблицу той же самой функции у(и), но уже на другом интервале изменения аргумента. Из табл. 2 по аномальному поведению третьих и четвертых разностей заключаем, что в таблице имеется погрешность. Четвертые разности демонстрируют сильную отрицатель- пукэ корреляцию. Таблипу распространения единичной погрешности У(ЬЬ) = ебььа (бы. символ КРонекера) легко получить на основании формулы для и-и разностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
