Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 65
Текст из файла (страница 65)
исходя нз минимума величины (8), пришлось взять э = 60. Для того чтобы вычислить элементы матриц А и В, не нужно вычислять интегралы, которые фигурируют в наших формулах. Ллгебраически наша конечномерная задача (12) тождественна следующей. В уравнении (5) член 35. Некогпормс практические вопросы работы с таблицо,ми 309 д~д/дх~ — огу = О(Л' ').
Если мы заменяем д у/дхг на д"1(х; у)/г(х, то после дискретизации посаеднее г,, а г соотношение приобретет вид ', 1,"( Мл — о'б, —. О(Л-'), л=г (14) и поэтому существенное значение имегот свойства матрицы (1 (хл)) — —. 'т . Заметим, что матрица а„— несимметрическая, и ее спектр состоит только из одного собственного зна гения Л вЂ”... О, которому отвечают лишь два собственных вектора. В самом деле, если Х„б — рб = О, то из этих уравнения следует, что многочлен 1о(х: 4) — р1(х; б) й !У обращается в нуль в нулях много- члена Чебышева Тт Поэтолгу со(х; б) — рг(х; 4) = О, что влечет р1(х; 4) = О, 1о(х, () = О.
Отсюда р = О, го(х; б) = О, т. е, 1(х: ц) .-- линейная функция. Итак, матрица 7„, подобна матрица, состоящей нз двух жордановых клеток размерности по меньшей мере и/2. Это худший случай, который может представиться в задаче на собственные значения, и прв возмущении матриц такого типа мы наблюдаелл исключительно сложную картину, свидетельствующую о крайней некорректности задачи на собственные значения. Систему (14) можно рассматривать как возмущение системы с матрипей '7„, что реально и наблюдается, когда появляется паразитическое собственное значение. Если же заменить Фу/бхг на бгю(х, :у)/Ыхг, то после дискретизшцги влгеа сто (14] получим систему с матрицей 1г„= (и,"(хл)) „,. Эта матрица возникает при дискретизации оператора Й /г)х с нулевыми граничными условиями при х = й1, и поэтому она нашаедгет все свойства этого оператора.
дау/азха заменяем на дзго(х; д)/дхл, слагаемое (2оа -, 'ЛЛ)г)гу/г)хг — на (2ог— + ЛЛ)Н и(т; у)/дх~, слагаемое ло)1(лс(~д/ах~ -- на 1оИ14~1(х; д)/л)ха и, наконец, слагаемое ду -- на 1(х; дд). Попке этого найденное выражение приравниваем нулю при х = х (1 —.. 1, 2,..., и). Полученную систему линейных уравнений, записшшую в матричной форме, умножим слева па И „. В силу предложения 1 это и будет однородная система (10). Прежде чем переходить к изложению полученных результатов, отметим одну особелшость нашей аппроксимации. Дело в том, что мы аппроксимировали слагаемое (2аг — ЛВ)г)гу/дх~ выражением (2о ЛВ)г(ги(х; у)/л(г~, а не выражением (2о~+ЛВ)о~1(х; у)/дх~, как зто было бы естественно после сделанных разъяснений.
Первоначально алгоритм так и строился. Однако при этом получалось, что задача (12) имеет собственное значение Л с очень большим модулем, причелл Ке Л > О. Ясно, что это собственное значение копечпомерной зада ги не имеет отношения к спектру задачи (3), (4), и его возникновение является дефектом аппроксимация. Отметим, что такие маленькие неожиданности подстерегают вычислителя на каждом шаге и делают его работу исключительно интересной, поскольку анализ таких фактов часто бывает нетривиальным и поучительнляль Автор на практике убедился, что, как бы гшательно не планировался алгоритм, почти всегда при его реализации приходится сталкиваться с эффектами подобного рода.
У'меняв исправлять дефекты алгориглгов или улучшать алгоритм, казалось бы, мелкилли ухищрениями дается опытом и составляет технологический багаж вычислителя. В дашгом случае ситуация довольно простая. Если,,:Л, )) 1, то уравнение (3) после деления на ЛВ сводится к уравнению 310 Глава 4. Теория табрлирааапая и е-энгарапил Матрица )'„' существует, спектр матрицы га простой и лежит в полуплоскостн Ее < Л (это резушьтат вычислений), причем примерно и/2 ее собственных значений близки к собственным значениям дифференциального оператора.
П оэтому теперь вместо соотношен1ш (14) мы получим К,б — и Р = О(Л '), откуда следует, что 4 = О(Л '). Перейдем к анализу результатов вычислений. Задачу (12) можно привести к стандартному виду алгебраической задачи на собственные значения, умножив соотношение (12) слева па матрицу А"'. Существование этой обратной матрицы устанавливается численно. Существенные упрощения в копечпомерной задаче возникают нз следующего наблюдения; собственные функции задачи (3), (4) либо четные, либо нечетные, и поэтому собственные векторы (51,..., 5 )' зада ги (14) обладают свойством четности, когда 6 —.. 6„1эг, либо НЕЧЕтНОСтн. КОГда 61 = — ба 1+1 (2 = 1, 2,..., ~ П)2 ). Эта ПОЗВОЛяЕт рабазатЬ с матрицами половинного порядка. В лю1юм стандартном математическом обеспечохцп1 имеется набор программ для решения алгебраической задачи на собственные значения.
Воспользовавшись одной из таких программ (конструкцию алгоритмов отыскания собственных значений матрицы будем рассматривать ниже), мы вычислили все четные собственные векторы зада пг (12), так как собственная функция, отвечающая собственному значению с максимальной вещественной частью, четная. Собственное значение с максимальной вещественной частью при о=1,02 и й = 6000 оказалось равныь1 Л =- 0,00036 — 1 0,26741; соответствующий собственный вектор обозначим через 1р = (рг....., р )'. Посмотрим, соответствует ли набор величин рг,, рв таблице аналитической функции.
Ведь собственный вектор задачи (12) ищется итерационно, и нет гарантии, что мы хорошо решили эту спектральную задачу. Для того чтобы произвести такую проверку таблицы рг,, р„на аналитичность, нужно поступить следующим образом. Один из способов восстановления функции по таблице состоит в том, что мы строим интерполяционный многочлен 1(х1 1р), 1(хэ,' 1р) —. рг Ц = 1, 2,, л). который воспринимаем за объект, воспроизводящий нашу аналитическую функцию. Многочлен 1(х; 1р) четный, и поэтол1у ,'2 — 1 1(х; р) = ~ авьузь(х), (15) Коэффициенты авь находим по формуле (3.3.!5); граничные условия (4), ко- торым должна удовлетворять функция 1(х; р), да,тут соотношегп1я ч12 — 1 12 ° 1 глм — -- О, ~ агьТаш(1) — '" ~ 412 аж — -- О.
1-:1 Ь:.1 Ь:.-1 Конечно, эти соотношения будут выполняться лишь приближенно, н невязка будет характеризовать качество аппроксимации. Приведем в табл, 3 часть коэффициентов аш, когда 1 = 1 ль 46 (5). Даже по этой небольшой таблице, в которой величины приведены с округлением, можно сделать вывод, что вначале коэффициенты ааь убывают в соозветствии с тем, как это происходит у аналитической функции. Но примерно при Л = 28 мы достигаем предела и уже при й > 28 сказывается влияние погрешностей округления; коэффициенты а21 не убывают, а принимают хаотические значения, имея один н тот 1ке порядок 10 2. Случайный характер 35, Некоторые практические вопросы работы с таблицами 311 Таблица 3.
Коэффициенты Фурье-.Чебышева функции 1(х; 1о) (приближенной собственной функции задачи (3)., (4)) коэффициентов можно проследить и по значениям сумм ь ь г оь=-~ аи, то=~ 41 ам г: —.о «(х) = ~ аиТи(х) .- — Тт(х) -1- — — огэ„ ~=о (16) принимая, чте аги ти, он Суть величингя ОрдинарнОй точнегти в машгпге БЭСМ -6.
Эта функция удовлетворяет граничным условиям (4), и если ее подставить в соотногиение (10), то получим, что максимальное значение ~гь~ не превосходит 7 10 о. Нужно отметить, что это замечательный результат. Таким образом, многочлен у(х) дает хорошее приближение к собственной функции задачи (3), (4). Основываясь на этом многочлене и производя небольшие вычисления, можно строго указать величину погрешности в вычисленном собственном значении и строго доказать факт потери устойчивости. для различных значений Е При й = 28 сумма ть принимает минимальное по гяодулк> значение, причем о э —. — 1,06897 10 о — 4 2,45901 10 '", тгэ = -3,13729 10 ь — г 7,89121 10 Поэтому в качестве приближения к собственной функции задачи (3), (4) можно считать следующий многочлен: ГЛАВА 5 Общие свойства вычислительных алгоритмов й 1.
Алгоритмы для приближенного вычисления отображения А: Х вЂ” э Ъ 1. Введение. Возвратимся к задаче, сформулированной в п. 6 З 1 гл. 1 и обсуждавшейся в п. 2 'з'3 гл. 1. Любой алгоритм численной реализации соотношения А; Х э У основан на дискретизации элементов компактов Х и У и на соответствующей дискретизации оператора А.
Обычно все теоретические исследования численных алгоритмов, как, например, вопросы шп11>оксимации, сходимости, изу.ченне свойств оператора, аппроксимирующего оператор А, проводятся на уровне предтаблиц. Предгааблаца . - набор параметров, осуществляющих приближенное задание элементов компакта; она выступает как поле, где производятся теоретические исследования данного численного метода. Дальнейший переход к программе решения задачи на машине тоже в основном базируетгя на записи алгоритма в терминах элементов пред- таблицы. Татько при решении задачи на ЭВМ производится переход от предтаблицы к таблице.
Этот переход вынужденный., если мы решаем задачу численно, и он является важным моментом. В самом деле, только после такого перехода мы становимся на почву финитности, и формулы, по которым мы должны проводить вычисления, можно превратить в неформальное описание алгоритма. Таким образом, создание вычислительного алгоритма невозможно без перехода к таблипе. Далее из этого перехода следует, что уже все арифметические операции будут выполняться нето.шо, и огромную роль приобретает вопрос о росте погрешностей округления. Однако переход к таблицам существенно упрощает ряд вопросов численных методов и позволяет некоторые из ннх решить до конца.
Мы уже отметили, что вычиг ~игольный алгоритм это программа для некоторой ЭВМ с бесконечной памятью и неограниченным временем работы (в качестве вычислительной машины можно взять нормальный алгоритм Маркова плп машину Тьюринга). Однако работать на таком уровне детализапии численного алгоритма крайне затруднительно. Ниже мы полностью отвлечемся от того, что алгоритм содержит некоторый блок или систему блоков, осуществляющих управление его работой и имеющих для этого, может быть., свой язык. Для нас только важно, что на вход в алгоритм подаются сигналы информация, подлежащая переработке: на выходе из алгоритма в выходном канале могут появиться сигналы, представляющие результат работы алгоритма.
Поскольку мги ограничиваемся классом алгоритмов, предназначенных для приближенного вычисления отображения А э1. Алгоригомы длл ириблио>сенного оь>ч»елгнил отоброзеышл 313 на элементе т, то будем считать, что на вход в алгоритм подается таблица Т элемента т, а на выходе из алгоритма получается таблица элемента й .= Ал. Часто по условиям задачи требуется знать не всю таблицу эдеме>гта р, а липп ее незначительную часть либо какие-то ее характеристики. Поэтому будем считать, что на выходе мы потенциально получаем таблицу элемента у; в действительности вывод будет содержать лишь ту информацию, которая требуется по условию задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
