Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ф )и пппЛг при условии, что нижняя грань берется по мпогообрао зню рациональных дробей вида 110), 9. Пусть а ) 1, ггх) = 1г; — а) ', т э [ — 1, 1). Докажите, что Е.У) = 1а —, /аг 1)" Указании, Рассмотрите функцию 'г г 1 — об о — бг где х = 1Ь' -~- 6 '),12, о = а, — ъ'аг — П Используйте внвариантность д относительно замены 6, ь" г, чтобы выяснить структуру д как функции от х. Примените теорему Чебышева.
10. Пусть (Тг,, Г"„) -- чебышевская система функций на отрезке ~а, 6). Докажите единственность линейной формы 2,' сг 1г, наименее уклоняющейся г=! от непрерывной функции 1 1х) в метрике Аг )а, Ь,'. 4. тХебыгпевские системы функций и задача интерполяции. В численном анализе чаще всего используются чебышевские системы (1, х, ..., х" г1 и (1, соэх, ..., соэ1п — 1)х, сбпх, ..., згп1гг — 1)х1 прп приближении функций соответственно из пространств С'а, 6' и С)ог). Существуют алгоритмы построения элементов наилучшего приближения по этим системам )43, 92). Теы не менее лгы рассмотрим способы приближения непрерывных функций, заведомо не являющиеся наилучшими, но имеющие исключительное распространение в численном анализе.
Это приближение с помощью интерполяционных многочленов. В задаче 5 указана общая формула интерполяции для произвольной чебышевской системы. Однако в данном случае удобнее ею не пользоваться, а вывести непосредственно формулу интерполяции. 61. Некоторые попроси теории приближений Пусть заданные точки х»....., х„е (а, 6',, называемые углами интерполяции, удовлетворяют условиям а < х» < хг « ... х„< 6.
п Положим 1„(х) = ]) (х — х ), »:.=1 1 ь(х) = 1„(х)(х — ху) ~!!„'(хь), 6 = 1, 2, ..., п. (12) Много п»ены (12) называются фуяда»ленталънмми много ленами»ттерполяции. Очевидно, что для них выполняются следуюшие характеристические соотношения: 1пь(х») =. дь» (6 = 1, 2, ..., п), где, дг символ Кронекера. Поэтому многочлен р(х; 1) Е оя„, удовлетворяющий условиям р(х,; 1) = 1'(х ) (у = 1, 2, ..., и), имеет вид и р(х; У) = ~ 1(х.)1п.(х) ь=» (13) 1 х ( — 1)»»1(говд»') в1п д » Т„(х). х -- совд '»=» Столь же просто решается задача интерполяции тригонометрическими мяогочленами.
Пусть ( б С'Я~, 'и узлы интерполяции х», ..., тго удовлетворяют условиям О < хч < хг «... хв„.» < 2к. Фундамеятальные многочлены интерполяции имеют вид () ц 1( —,й)/2 в1п(хь -- х»))2 (15) Легко проверить, что г„ь Е 'Хг„». Действительно, произведение в чис- лителе формулы (15) содержит 2п — 2 сомножителей. Группируя их по- парно: Формула (13) решает задачу интерполяции алгебраическими много- членами. Понятно, что с помощью этой формулы определен оператор Р„: С,'а, 6) — ° Оо„, Р„: ) о-о р(х: 1). Очевидно, что оператор Р„проектор. В самом деле, если 1 ~ Уо„, то 1(х) эт р(х; (), поскольку разность д(х) = )'(х) — р(х; )') многочлен степени не больше п — 1 такой, что д(хь) = О (Й = 1, 2, ..., .и).
Поэтому у(х) =- О. Если в качестве узлов интерполяции выбрать нули многочлена Чебышева Тп(х), то получим один из наиболее замечательных интерполяционных л»ногочленов. Итак, пусть (а, 6' = ' — 1, Ц. В и. 5 63 гл. 2 мы установили, что нули многочлена Т„(х) имеют вид х = сов д», д» =- (2у— — 1)хЯ2а) 0 = 1, 2,..., и). Поэтому из формул (12), (13) получаем 168 Глава Я. Элементы теории ириблихглиий и учитывая тождество мы замечаем, что числитель (15) сводится к произвелению и — 1 триго- нометрического многочлена первой степени, т.е. т„ь Е .лаи г. Характе- ристические соотношения т„в(х ) = дь очевидны, и поэтому интерполя- ционный тригонометрический полипом имеет вид 1(х: )) =.
~~~ )(ху)т„(х). (16) Непосредственно проверяется., что Е> г(0) —.- п — 1гг2, 11„г(2х)гД2п— — 1)) .—.. О, если )г — — 1, 2, ..., 2п — 1. Возьмем равноотстоящие узлы хь = о+ 2х1егг(2п — 1) (!е = О, 1, ..., 2п — 2) и построииг полипом 2 2и — 2 1(х:, У) = ~ ~й е)О - (х - хв) 2п--1 (18) В силу отмеченных выше свойств ядра Дирнхле 1(х; !) = 1(х ) (~ = О, 1, ..., 2п — 2). Рассмотрим подпространства пространства С(Яг), состоящие из четных или нечетных функций. Интерполяцию в этих подпространствах целесообразно производить соответственно четными или нечетными полиномами. Пространства четных и нечетных 2х-периодических функций будем рассматривать ца отрезке (О, х) и обозначать соответственно через С, (О, я) н С О, х). Х!ежлу пространствами С( — 1, Ц и С' (О, х) можно установить изометрический изоморфизм, если любой функции ! е С( — 1, Ц поставить в соответствие функцию д(1) —...
= г"(сов!) Е С "О, х) (1 Е 'О., х]). Поэтому, полагая в формуле (14) х = = сов 1 и делая замену 1 х, получаем формулу интерполирования четных функций 1 ч (--1)о ' ((хй)вшх р(х,: у) = — ~ з ' ' сових, п сов х — сов х, '1=1 з где х. = (2! — 1)я,Г(2п) О = 1, 2, ..., п) узлы интерполирования. Данная формула определяет оператор Ха. 'Сф ) лап — 1> Тп °,г г(х З) Понятно, что оператор Т„ -- проектор, Т~ =- Т„. Доказательство этого факта такое же, как и дзя алгебраических интерполяционных многочленов. Приведем примеры интерполяционных многочленов. Пусть еза Г(Х) ядрО ДнрИХЛЕ (СМ. П. 1 ВЗ ГЛ.
2): гйп(п — 1гг2)х 2 вш(хгг2) З 1. Некоторие попроси теории приближений Для нечетных функций рассмотрим интерполяционный многочлен с равноотстоящими узлами ху = яу/п (у = 1, 2, ..., п — 1). Если т' Н С [О,х[,то без труда проверяется,что полипом 1 ( — 1)о 1вшх. д(х:,() .—.
— ~ ~(хи) ' гйппх и сов х — сов х . 1=1 у (20) удовлетворяет соотношениям д(хт: 1) — — 1(х ) О = 1, 2, ..., и — 1). Нам остается убедиться, что о(х, з") в действительности тригонометрический полипом, Поскольку сов х, нули многочлена Го(х), то в1п п атосов 1 Г„1(Г) Л вЂ” Р(б — сов х, ) 1 — соз х, есть многочлен степени п -- 2, Делая подстановку 1 — -- созх, убеждаемся, что з1п пх,1(совх — сов 2 ) нечетный тригонометрический многочлен степени и, — 1. Прн интерполировании четных функций в случае произвольных узлов О < х1 < Хт « ...
х„< х НЕтрудно прОвЕритгн ЧтО фундамЕнтаяьные интерполяционные многочлены имеют вид -П сов х — сов х н„ь(х) = соз хе — сов х . ' 1=1 а интерполяционный полипом имеет вид 1(х; 1) = ~ 1(хь)ось(х) (21) 2п Еи(Х) т-т . Х. -Х1 Х --ХЬ П в1п сов Гй [(х — хь) 112,:, 2 2 зкс В случае четного числа узлов несложно построить интерполяционный тригонометрический полипом минимальной степени. Однако такой многочлен, вообще говоря, не единственный. Пусть О < х1 < хт « ... 2о < хтп < 22 -- узлы интерполяции; положим е„(х) = П гйп — *".
Применяя то же рассуждение, гто и для произведения (15), получаем, что е„(х) -- полипом степени п. Из связи между алгебраическими многочленами и тригонометрическими полиномами, установленной в п. 3, вытекает, что любой тригонометрический полипом бп степени и, имеющий узлы х1, ..., хт„своими нулями, удовлетворяет соотношению 1(х) гт Со„(х), где С константа. Заметим, .что дробь оп(х)/1й,(х — хг-),12~ поливом степени п,поскольку 170 Глава Я. Элементы теории прпближхпий Полинам 2п 1„'(х,..() — - ~ 1(хе) ", —: Свп(х) 210((х — хт))2~ в„'(х1) решает проблему интерполяции, поскольку го (х: 1) = )'(х ) (1 = 1, 2, ..., 2п), какова бы ни была константа С.
Ее можно выбрать из некоторого дополнительного условия, зафиксировав, например, фазу старшей гармоники. Используя формулу Эйлера, имеем 2п и если о определено из условий 0 < гт < 2п., .1 2, хг — ' ягг = о( пгос( 2п), Ь=1 тО Вп(Х) =. 2 гп 1(СОВ(ПХ --О) — ...), ГдЕ МНОГОТОЧИЕМ ОбОЗНаЧЕНЫ СЛаГЗ- емые с младшими гармониками. Выберем константу С' из условия и. 1 1~ (Х; 1') + Сап(Х) = ап Вгн(иХ вЂ” О) -;- ~ (ав СОВ 1ЕХ, 61 ВШ йХ), м.о где коэффициент и„, не обязательно неотрицательный.
Соответствукнцее значение коэффициента С обозначим через Со и положим гп йп(Х; () = ~~ ДХп) . " .1 СОВп(Х). (22) 210 (Х вЂ” Хь)гг2]В' (ХЬ) В классе тригонометрических полиномов степени и вида р(х) =- Ьп вгп(пх — и) —... полипом Гп(х; 1 ) еДинственный. ПРеДположим пРотнвное, н пусть полипом 11(х) решает ту же задачу интерполяции, т.е. о(хь) = 1(х1.) (Й = 1, 2,..., 2п). Тогда д(х) — 1п(х; )') = Лвп(х), а из сравнения коэффициентов при сов пх и вш пх следует, что А =- О. 3 ад в ч и. 11. Пусть 21,..., х„узлы, 0 < хг < хг « ...
:еп < г н 1 й С (О, я). Докажите, что нечетный ннтерполяцнонный полинам степени и имеет вид 1(х; 1) .=- ~ ~г"(хв), а„ь(х). 12. Покажите, что интерполяпнонный полипом Е е .22„1 г. узлами в точках хв =- (о — Ьг)/11 (й .—. 1, 2,..., 2п — 1) имеет внд 1(х; Т) = ~~ ( — 1) 1(х1). Гйв(ПХ вЂ” а) х 1 Вгп(ПВГ'(2П)) '111 вгп (х)2 — о,г(2п)) ~~ ейп(хгг2 — (хй -'- о)1'(2п)) З 1. Некоторые вопроса теории приближений 13. Пусть в(х) — произвольный надином степени не больше и, в(х) —.— = а„в1п(пх — а) + Ьо сов(пх — а) + т(в:)(т и тзо г). Покажите, что в1п(пх — а) в(х) =- С(хг в) + ~~г ( — 1) в(хв) + о„в1п(пх — а).
2отй[ХГг2 — ОД2П)] „ 14. Используя результат предыдущей задачи, покажите, что а' + к 1 отг в(:сг,) в ( ( 1 г о 2 2 ) 4п ~ шпР [т(21 — 1Я4~)] 15. Докажите, что Ы о ' '[ (23 — )гг(4 )] 16. (нерввенство Бернштейна). Докажите, что если в(х) — тригонометрический произвольный полипом степени не больше п. то [в[ <п)в, 17. Пусть | Е Сг (О, к), 7(х) = Ява + 2,' аь сов йх, и допустим, что а ) < < СЙ (/с = 1, 2,...). Докажите, что ости р(:с: 1') . - полипом, определяемый формулой (19), то ~(ге) — р(х; У) = 2 сов пх ~т,Зо+ ) Бь сов йх] [2 ь=г (23) где ов = 2„( — 1) аь, 12гтг| г=о 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
