Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Последняя вели пина называется и-мерньем поперечником Колмогорова. Замечательно, что поперечники впервые появились в работе П. С. Урысонеи написанной в 1925, 1926 гг. ~112~ и посвященной теории размерности. Важные в численном анализе поперечники Александрова введены в 1933 г. в работе [2], но опять не в связи с теорией приближений, Уже давно в численном анализе выкристаллизовалась точка зрения, что задачи теории приближений — это задачи приближенного представления элементов компакта (вообще говоря, бесконечномерного) с помощью элементов конечномерных компактов. В зависимости от классов конечномерных коьшактов и способов приближенного представления мы получаем тот либо иной способ приближения.
Поперечники характеризуют оптимальную точность приближения, получаемую при выборе класса аппроксимирующих компактов и способа приближения. В численном анализе мы нуждаемся в объективных характеристиках различных способов приближения и определении наиболее оптимсщьного из них. Эту задачу помогает решить теория поперечников. В традиционной теории приближений поперечники еще не заняли надлежащего места. Однако приближение элементов бесконечномерных компактов с помощью элементов конечномерных компактов еще не решает ту задачу приближенного представления функций, с которой мы сталкиваемся в численном анализе.
Делов том, что н а б о р к о н е ч и о г о ч и с— л а п а р а м е т р о в (вещественных или комплексных чисел) -- э т о не объект численного анализа,алишьполуфабрикат. В численном анализе мы всегда имеем дело с конечным числом машинных слов, т.е, со словом в некотором алфавите. Таким образом, в чис.- ленном анализе мы всегда имеем дело с ко н е ч и ой и и фа рм а ц и е й. Следовательно, множества, с помощью которых происходит приближенное задание и приближение функций в численном анализе, состоят из конечного числа элементов. Сушествуег принципиальная разница между способами приближений с помощью конечного числа параметров и с помощью конечного чис; ла слов в некотором алфавэите, потому что в первом случае мы, как правило, имеем дело с бесконечным объемом информ а ц и и.
В середине 50-х годов появилась теория е-эптропии, посвященная изучению аппроксимативных возможностей конечных множеств. Связанная тесным образом с теорией =--энтропии теория табулирования составляет один из фундаментальных разделов численного анализа. Конструирование алгоритмов численного решения краевых задач и исследование их эффективности основывается на теории е-энтропии и теории 159 З 1. Некоторые вопросы, теории ириблихееиий табулировапия. К сожалетппо, большое число задач теории е-энтропии остаются нерешенными, и в последние годы заметно падение интереса к этим:задачам, С начала 50-х годов наблюдается бурное ра:звитие численного анализа.
Численный анализ ставит большое чисто задач перед теорией приближений и, прежде всего, в вопросах развития нетрадицтлонных методов приближения функциональных компактов, элементами которых являются функции многих переменных. Отклика на эти вопросы пока не сльштно. Остановимся на основных фактах теории приближений. 2. Наилучшее приближение и его свойства. Мы уже сталкивааись с понятием наилучшего приближения, когда разбирали решение краевой задачи проекционным лтетодоьт, Пусгь В линейное нормированное пространство и Х Г В "- замкнутое тюдпространство. Обозначим б(х, Х) = тпХ ' х — у .
тех Если эта нижняя грань достигается на элементе у, то тогда этот элемент называется элементом наилучшего приближения, а величина т1) . — величиной на лу"паего приближения с помощью подпространства Х. Всегда ли достигается нижняя грань в (1)? Нет, не всегда. Но если Х конечномерно, то всегда, Теорема 1. ХХтустттт Х = ЛХ" — и-мерное многообразие. Длл любого х е В еуизеттвует в ЛХ" элемента у наилучшего приближенное и поэтому б(х, ЛХ") = ))х — у,(!. Дсзклзлтильпгво. пусть ув -- фиксированный элемент лх". положим Т = 1у б ЛХ":, у — х", < ~~х — уо;).
Множество Т вЂ” пересечение шара с конечномерным подпространством и, следовательно, компакт, Но 1пХ, .т -- уг .— "- шХ 'гх' — у', Функция у ы~ 'гх — у ' непрерывна на Т и по ием" ' иет теореме Вейерштрасса принимает свое минимальное зна тонне в некоторой точке у . Поэтому зпХ ((х — у(! =,'х — уи~~. П тем" Ниже наилучшее приближение элемента х с помощью конечномерного многообразия Лрп будем обозначать через е1х; М"), а если это не вызовет недоразумений, то через еи(х). Если В = С~а, Ь), ЛХи = Я'и, где У„лииейзное подпРостРанство алгебраических многочленов степени не больше и — 1, то наилучшее приближение элемента Х е С~те, Ь' будет обозначаться через Е„(,Х). Если В .— — С)У), а ЛХги .—..
Тз„з, где Тз„з -- линейное надпространство тригонометрических многочленов втзда 1(х) = т (аь сов йх + Ьв ып йх), г=о то наилучшее приближение элемента Х ~ Сфз] оудем обозначать через 8 „з(Д. 160 Глава Х Элементы п>еврии приближений Приведем некоторые простейшие свойства наилучших приближений с помощью подпространства: 1) еп(ах) .—... ~а,е„(х), если а К, К поле скаляров; 2) е„(х -ь у) < е„(х) + еп(у); 3) е„(х) < д~(.
Доказательство этих свойств элементарно, и мы предоставим его читателю; в случае приближения с помощьк> многообразия свойства 1) и 3) изменяются. 4) Множество элементов нанлучшего приближения выпукло. В самом деле, если уы ут элементы наилучшего приближения для т,, то при О < о < 1 е„(х) < ,')х — (оу> + (1 — о)уз) / = /ло(а — у>) — (1 — о)(х — у )! < < оЦх —. у> , '—, (1 -- о) Цх -- у> = оев(х) — (1 -. о)е„(т) —..
е„(х) (2) и во всей этой цепочке выполняются равенства, Возникает вопрос; всегда ли элемент наилучшего приближения будет единственныму Нет, не всегда, но можно указать достаточно общие условия единственности элементов наилучшего приближения. 5) Если пространство В строго нормированное, то для любого х элемент наилучшего приближения единственен (см, п. 3 ч' 1 гл. 2). В самом деле, полагая в (2) о =- 1?2, получим, что х — у> — —. Л(х — уз) и так как ~х — у>: = х — ут((, то Л = 1 и у> = ую 3 а д а ч и. 1. Пусть св — пространство носледовательностей вещественных чисел, с>ремящихся к нулю; х б св, если х = (х>, ..., хв,...), то х„О при п — оо.
Пусть ? х1 = >пах ~т,„. Постройте в св замкнутое надпространство б., обладающее тем свойством, что для любого х т' Ь в подпространстве б пег элемента наилучшего приближения. 2. Приведите пример двумерного банахова пространства В и одномерного надпространства й такого, что для любого х ~ й имеются неединствеиные эзегленты наилучшего приближения, 3. >(окахеите, что нормы пространств й>(0) в С(>л) не строго выпуклые. 3. Теорема Чебьппева об вльтериаисе.
В случае. когда В = .=. С!1Л), 1> с Нн, выбор в качестве многообразия Ип подпространства алгебраических многочленов является классическим. Будет ли в дание>м случае единственность элементов наилучшего приближения? Если 11 = 1 = (а,?>), а ЛХ" =,У„, то элемент наилучшего приближения единственный. Аналогичный факт имеет место и для приближений в 1 >(Е). ь1тобы сформулировать результаты о единственности, .введем определение. Непрерывные функции ),: 1Л вЂ” > Ы, х ~ — ~ ),(х) = 1, 2, ..., и) образуют на 11 систему Чебышева, если при любых поп стоянных с, (~ =- 1, 2, ..., и) линейная форма 2,' с ?' (х) имеет на 11 не более (и — 1) различных нулей.
161 З 1. Некоторие испроси теории приблиэ1сеиий Это условие равносильно требованию, чтобы для любых попарно различных точек ху Е 11(~ = 1, 2, ..., и) выполнялось неравенство В)з'1, ..., („; х1,...,,ти) = 11е1(1 (х,)), у'= О. где ')1(х ) ... 1'„(х ) г1ег(1 (х,)) ,'Л( ) " Х(х)' Приведем примеры чебышевских систем функций. Пусть Е? = !а, 6), Г' (х) = хт 1 Ц = 1, 2, ..., п). Ясно, что получим чебышевскую систему, так как многочлен степени не больше и — 1 имеет не более и — 1 нулей.
Если 11 =. о1 (окружность), то функции 1, совх...., соз(п — 1)х,. вшх, ..., Ош(п — 1)х образуют чебышевскую систему порядка 2п — 1. В самом деле, применяя формулы Эйлера, произвольный тригонометрический полинам степени и — 1 можно записать в виде и — 1 6и 1(Х) = ~(ав СОО 6Х Ч- 6Ь СОВЫ) = Ь=О е ' е — (аь . '61,. ) =- и=О и — 1 и — 1 — (аь —. 161)в ' —, — 2 (аь '- 16ь')е' 1 „. 1 -ь 2 2 1 — — О Ь=о 1 Ги -1 и-1 „,, (у и,-ис " ' '+у (и,— иск ' '~, с=в Ь=О где я = ехр(ех). В квадратных скобках стоит алгебраический многочлен от г степени 2п — 2, н он может иметь не более 2п — 2 различных нулей.
Если «О такой нуль и се~ = 1, то на У имеется единственная точка хв, отвечающая О (св = ехр(1хе3). Следовательно, 1и 1(х) может иметь на о1 не более 2п — 2 различных нулей. Заметим, что если с помощью невырожденного линейного преобразования, определяемого матрицей А = (ао), от системы (т1, ..., Зи) перейти к системе функций (,с1...., у„); сн(х) =- ~ ам Цх), 1 —. 1, 2,, и 1=. 1 то мы получим снова чебьппевскую систему функций. В самоь1 деле, матрипу (1р (х,)) можно записать в виде (;о (хе)) ., = (Л(х,)) .,А', 162 Глава Х Элементы теории приближений где Л' —. транспонировапная матрица к матрице Л. Поэтому с1ес(р (х,))"., = с(еС(у,(х,))", с!ес Л., откуда следует, что система 1грг, ..., гр„) чебышевская. В силу сказанного корректно следующее определение. Будем называть п-мерное поднросгрансгво Е" с С[Р', чебышевск м, если в нем имеется хотя бы одни базис, образующий систему т1ебышева.
Теорема 2 (А.Хаар) [6,43[. Для того чтобы для любой функции 1' б С[Р[ в подпространстве Е" имелся единственный элемент наилучгиего приближения, необходимо и достаточно, чтобы Е" было лебыщевским подпространством. Существование чебышевской системы из п > 1 функций налагает жесткие ограничения на компакт .Р. А именно, справедлива следующая Теорема 3 (Дж. Мэрхьнлбер) [138[. Для того чпигбы пространство С[Р[ имело нспгривиальное чвбыгаевсков подтлространсплво раэмгрности и > 1, необходимо и достаточно, чтобы .Р было гомеоморфно подмножеству окружности Яг. Если и четное, то Р гомеоморфно собственному подмножеству У (л).
Предложение 1. Пуспль а < хл < ха « ... х„г < Ь вЂ” проэволъно взятые точки интервала 1. Суисествует линейная форма 1 .—.. и а, уо обращагощаяся в нуль только в этих точках, так что ари э=1 переходе через каждый нуль х она меняет знак. Доказательство. Требуемую линейную форму. можно представить в ви- дс Л'г(х) " л" (т) лг(хг) ... л„(хг) Л (х.-г) " У ( - ) Р(х, хг,, х — г) = В самом деле, разлагая этот определитель по элементам лгервой строки, получим линейную форму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
