Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Положим нь = рьй " (й = 1, 2,...), 6(х) = ( — 1)'~~ди !(х), е = О при г четном и й(х) = (-.Ц!' 'Н д!'!(х), е = 1 при !. нечетном. Проверим выполнимость условий предложения 2. Пользуясь интегралом Эйлера, получим оь —.. ! (Ре ) Ж, к —.—. 1, 2, Г(! ),/ о Используя формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, полу- чим Г(г) / 1+ ( 1)г(ре — !)г'* откуда Г(г) / ! ( 1)о(!>е-!) о т.е. условие 1) выполнено. Условия 2), 3) очевидно выполняются, поскольку оь = 0(р!).
В силу предложения 3 найдется тригонометрический полинам 1„к,(х; р), для которого выполняется неравенство (37). П 178 Гласа й. Элементы теории приближхний Е,ьр(Г) =- (пà à †.г р, ьш йг. ьр(Г) — !пГ [У -Гр. гетр ..г Если р = сс, учитывая ранее введенное обозначение, будем писать не Е р(Г), ег„г ( Г), а просто Е„( Г), йг„г (1), Теорема 9. Если р =-.
1, оо, то эпр Ег цр(Г) = ЛГКгп ", г '— 1, 2... Хе и„'(и) В случае р = со теорема (9) доказана Ж. чгавароы [161] и независимо Н. И. Ахнезером и ЛЕ Г. Крейном [162]. То, что реализуется знак равенства при приближении класса в случае р = 1, доказал С. М. Никольский [163]. Из теоремы 7 вытекает неравенство эпр ег„.. кр(Г) < ЛГК„п ( ГИ й!ы не будем доказывать, что в этой формуле в действительности при р = = 1, со реализуется знак равенства; это делается с помощью конкретной функции Го, для которой реализуется знак равенства.
3 а д а ч и. 19. Покажите, что,чля констант К, выполняются соотношения 1 = Кс < К. «... 4/х « ... Кэ < Кг =- хгг2. 20. (Г Бор). Пусть Г б грр" (Лу), 1"(х) — -- ~„(аь соь Ггх+Ьь в1пйх). Докажите, что 1 р ( [1~ ~[ К„гь 21. Постройте функцию Ге е "Ф;" (ЛГ), для которой дгв-г(~о) = ЛХКгп '. 22. Докажите. что если Т е грр'(г > 1), то егь г р( Г) ( 3п пюрЯп; Тое). Здесь юр(б; д) интегральный, модуль непрерывности он вводится по аналогии с определением. сделанным в и. 1 3 2 гл.
2; г юр(б; д) = чпР 1 [д(х —,1) — д(х)[ьда) ге~ — г.г~ Хд о Свойства интегрального модуля непрерывности аналогичны свойствам обычного модуля. Если шр(б; д) ( Лйб". то записывают это в виде д б Ырр(о, ЛГ). Доказательство творимы 7. Пусть Г й узгр"(ЛГ)(г ) 1). Поскольку Мр' С С[ЕЛ[, то РазРешима пРоблема ДиРихле в кРУге Ь пРи гРаничных данных Г. Решение этой проблемы обозначим через Г(х, р). К этой функции применима теорема 8. Перейдем в неравенстве (37) к пределу при р 1 — О. Ясно, что 1пп Г„..к (х; р) = гь г(г;), где 1'„, полинам, определяемый по формур ле (34). ГЗ При р = 1, р = оо теорему 7 нельзя усилить. Введем обозначения 3 1.
Некоторое вопроси теории приближений Предложение 4. Какова бы яп была функция 7'' В И~'(М), существует лтогочлен к В М„такой, что 7 — Р р < К1Лгп 1. (38) Доклзаткльство. чгункцня 7(сов 0) = 6(0) четная, 2я-периодическая. Поскольку 6'(О) = — 7'(сов В) япО, то г г, (6'(0) !" г10 = ~ ~ 7'(сов О) яп В ~" 00 < о а г 1 < г~ ~ 7'(сояО))" ~ япО Ю.—...
2 ~)У (х) ~" 0х. о — 1 По теореме 7 найдется тригонометрический полипом 1(0) такой., что г )6(О) — 1(0))"00 Н;и — ~ ~6.'(0))' 00 о о (39) В силу четности фупкпнн 6 полипом 1 будет также четным. Усиливая неравенство (39), получим г г, ) ею В) ~11(В) — 1(ВЯ" сй < Кггтг " /)6(0)(~ г70, о о оч.куда г я1п0!6(0) — 1(0)) ЙО < К,"и г / !7 (г)!" Вх. о о Делая в интеграле нз левой части неравенства подстановку 0 = агссовх ( — 1 < < х < 1) н замечаЯ, что 1(0) = 2 агсов60, 1(агссоэх) = 2 аь71(х) Е кня, 1=о ь.—.
о получим ~7 — к)г < Е"М "гг где к(х) = 1(агссоэ х). 6. Влияние гладкости функций на скорость убывании их наилучших приближений (непериодический случай). Рассмотрим приближение функций класса И'„"(ЛХ; 7) алгебраическими многочленами. Достаточно изучить случай, когда приближение осуществляется па отргике 1 = ( — 1, 1. В этом случае будем обозначать класс просто через И'„'(М).
Норму в 7р',— 1, 1;, как условились вьппе, обозначим через )р. Простым следствием теоремы 7 является следующее 180 Глава З'. Элемента теории ориг!лиокений Теорема 10. Пусть 1" ~ 14'"(ЛХ). Еслгг и ) г, то существует, многочлен !с(х) б Рг„такой, что к~я < 4 ЛХп (40) причем в качестве. константы Аг мое!оно взять величину К."гг ' сг(г— ..
1)! ДОКжчятнявптВО. ПОСКОЛЬКУ ГС"-'Г Н Игр'(М), та ПО ПрЕдЛОжЕНИЮ 4 сущеетвует многочлен гг! й 9', такой, что (У' П вЂ” я, ~, < КгЛРт-'. Кроме этого, чгэ(х) =- ГС" ~г(х) — 1 кг(1) с11 Е Иг(ЛХ), причем оценка (!пэ( — 1 дается предыдущим неравенством. Вновь применяя предложение 4, найдем многочлен яя й Ег е! такой, что ~У" (х) — яг( < Кг(т+ Ц (Кгт Л1) = К! Л1[т(га+ Ц~ Применим это рассуждение повторно. Всякий раз степень многочлена будет возрастать на единицу, и неравенство на 1-м шаге будет иметь вид ~УС' !(х) — яг~ < К~~ЛГ(пг(т - Ц... (т.~-1- Ц) (4Ц причем к! й,".гг ч! !. Пусть 1 = г, п = т —, г — 1: так как гп ) 1, то и, ) !.
Заметим, что п" (п(п — Ц... (п — г+ Ц~ < г"1'г!, и поэтому неравенство (4Ц влечет при 1 = г неравенство (40). С Теорема 11. Пусть 1 б ур'„е(М). Суи4ествуеп! .мкоеочлеи 1 б б 'Хзг! ! такой, что 1'р < К ~ ЛГуп (42) где константа, К, зависит только ога векгаора г, а~ р — норма пространства 1,р(Г! ).
7. Связь гладкости функций и скорости убывания их наилучших приближений в многомерном случае. Теоремы 8, 10 можно перенести на многомерный случай, правда. не в столь совершенном виде. Наиболее просто это сделать для периодических функций. Мы не будем приводить доказательство формулируемых ниже теорем, поскольку они для нас носят служебный характер. Пусть мультиипдекс 2п— — 1 = (2гг! — 1,..., 2пг — 1); обозначим через 'Хя„! подпространство тригонометрических полиномов, определяемых формулой (26).
Ясно, что с)1п!'хая ! — - П (2п! — 1). !.:! З 1. Нвкоторыс вопросы теории приближений и, —.- М,. "Леду ', у' .—. 1, 2,.... Е (43) Обозначим через 911 множество целых чисел сп, представимых в виде т = П (2п — 1), где п, определены по формуле (43) при 1 < Л < оо.
г=1 Предложение 5. Для любого > 0 на любом отрезке (х(1 — в), х(1 + в)] найдется хотя бы одно число миоясества Ж, если х > х,. г.(оклзлткльство. ПосколькУ пг = МП"~ Л"г" + дп где О < дг < 1, то ! т = П(2п, — 1) = П[ М пзЛгпп(1+ (йд — Ц. 2 Лу ~ 'Л "~"'Ц = г=1 г=1 = 2'рпеЛЯ~11 -(д, — 1)2)Ц '"'л "'1. Если Л ) оо, то рмеЛ ( со, и позтому П(1 (с1, — 1,С2)Л1, '"'Л-'" ~ г=1 Следовательно, еслсл положить Л =- хр ив 2 ', то при х > х, соответствъюшее целое число т будет удовлетворять неравенству х(1 — г) < т < х(1+ г).
П Из теоремы 11 вытекает следующая 'Хеорема 12. Допустим, что 1" б "Ф'„'(М). Если и > то, тв наадется надпространство х тригонометрических полииомов такое, чтв с(1ш х < т, и полипом 1 С 'х такой, что (44) 1' — 1 р < Е,.дт Оценка (42) не связывает непосредственно с(1ш хги с с величиной погрешности приближения. Чтобы установить эту связь, нам нужно выбрать подпространство 'Хзп с так, чтобы при заданной его размерности правая часть неравенства (42) была бы минимальна. Это типичная ситуация, возникак1щая при приближения функций многих переменных, когда мы должны из аппрокс:имируюших подпространств выорать оптимальное.
В данном случае в нашей власти выбор величин пм прн условии, что задано произведение П (2п, — 1). г=1 Поскольку с(1ш'Хги с число целое, то для выбора пм ..., пс остается мало возможностей, н шгзтоъсу пелесообразно не фиксировать величину П (2п — 1). Пусть Л > 1: положим г=1 182 Глава Я.
Элементы теории приблиоюений п, о>з ЛХ, 'Лопз, то 2 А!тп, ' ( 1Л ", а гак как Л о = 2'оут о(1 -; е)о, т=т то, фиксируя е и гюоагая Ь„= К„2 о(1, )о, получим из неравенства (42) 1р неравенство (44). П Аналогичные теоремы для приближения алгебраическими много- членами доказываются несколько сложнее. Мы сформулируем эти теоремы. Пусть сгн ьтножество многочленов, определяемых формулой (25).
'Георема 13. Пусть ! й 11"(М; !е), где !е = (х й В~; х ( 1, У' = 1, '2, ..., 1). Если и > г, .то сУществУет .многочлен Я Е Ели такой, что ~! — яр < Аг~Мп у=т где' ,|„норма пространства Е„[1в',. Константа Аг зависит только от т. Понятно, что из этой теоремы вытекает аналогичная теореме 12 'Георема 14. Пусть ! е 14'„"(ЛХ: 1е). 11айдется подпространстпво ,У с Рн алгебраических лтогочленов такое, что ейтн ор < тп, и такой лтттогочлен тг ~ ог, для которого выполняется нераветытво !" — я[, < (Верти о, где константа Вг зависит толькоотг, еслитполькот>то.
3 а д а ч и. 23. Используя ядро Фейера, постройте ядра К„„(х), удовлетворяющие следующим условиям: 1 1)К,(х)ЕТг т, 3) — / К дх=1; г 2) К (х) > О:, 4) — / ,'х~'Кн„йх < Снп 1 1, где копстыпа С Зависит только от г.
24. Докажите, что если 1 и Мг" (й!), то интеграл ( ) 1 ) К ( и ) Х ~ ( ) ( Ц ! ( + 1 5 ) д с=~ (45) определяет тригоноиетричеекий полинам т й Хго 1 для которого имеет меСто неРавенство ~ГМ вЂ” Рм~ < 4гн51п " ' (О < з < г). Доклзлткльство. Искомым подпространством будет 'Тг„т, .где и = (пт, ..., т), а пт определяются по формуле (43), причем Л н т связаны соотношением т = 2 р тоЛ(1-ге), Тогда, согласно предложению 5, с1пп'Хг т,р — 1)[ (2пт — 1) буде~ леткать на отрезке [(1 — г)пт)(1 + е), т]. Поскольку т=т З 1.
Некоторые вопросы теории приблиеюений 26. Используя результат прелылтщей задачи, докажите теорему 1!. Введем на интервале !е = (х б хт': ~х»~ < 1, ! = 1, 2, ..., !) меру бо = 1 = П (1 — х )»»!х и рассмотрим пространство функций Ею (Хо', с нормой »=1 »а Возьмем множество функций Х б См (Хо), подчиненных условиям )ХХ ' Х! < ЛХ, (Х = 1, 2, ..., 1).
Замкнем это множество в метрике простран- ства Хт, (Хе). Получеппый класс фу.пкций обозначим через И; (ЛХ; 1е). 26. Пусть и —..— (п», ..., и»), и ) г. Пользуясь конструкцией задачи 24, докаясите, что если Х б И»р" (М; 1е), то су»»!ествует меогочлен л а сг„такой» что Х вЂ” л р, < Аг 2 ЛХ»п, ', где Аг, зависит только от»'.
»=» 27. Докажите теорему 13, Указании. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи, предвари- тельно произведя продолжение функции класса И',",(ЛХ: 1е) на интервал 1 Э Хе. Сравнивая теоремы 7, 9 с теоремой 10, мы видим явную незавершенность оценки (40), Поэтому представляет интерес следующая задача, 28. Пусть Х С И',г.(ЛХ). Если г > 2, »» > г, то ,3 Е„(1) < К„п "((! — х )"! А — ~ЯХ, и (46) где К, константа, определяемая формулой (Зб), а А .— абсолютная константа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
