Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Легко видеть,что х.— — у-эг ( .* — у-) (' - — уг г ,<('' т тл4-у .лл ( гх слгу ) х щу ) г поскочьку (лгх„, + гу„, ) ) х, + у . Поэтому :л--лл — дг«-л (хл — дл -'" г < х лг — у,.г хл туг и, следовательно, последовательность (х )„сходится при любых начальных данных к некоторой точке х =- (х, х). Если последовательность (х )с сходится, т, е. 1пв хм = х, то х — неподвижная точка отображения д: (ЗЗ) д(х) — х = О. В данном случае д(х) .=. ((:г —, у)72., гху), х = (х. у)', и это отображение имеет не изолированную неподвижную точку, а целую полупрямую (х, у: х = д, х ) О). Однако сходимость будет глобальной и прн произвольных начальных 128 Глава 2. Мате.иатические основы численнвгв анализа.
данных. Так, например, если хе .—.. 1, ре = соч о (О < а < в/2), то х = 1йп хт = = (я>Я2)Л(о), где К(о) — полный эллиптический ятяпеграл гяерввгв рода: 1 Л(н) .=. / е Полный эллипялический интеграл вглврвгв рода Е(а) можно вычислить, используя Формулу [Л(ся) — Е(о)] = — '[еш о+ Д ~2' ' '( > ' >) ~. >=о Так просто дело обстоит только в исключительных случаях. (:) Предельные точки последовательности (х, )е обязательно должны совпадать с неподвижными точками отображения д. Элвьякнтегньяй пгимкг. Рассмотрим отображение комплексной е-сферы, полученное в результате решения методом Ньютона уравнения р(г) = О, где р(г) =.
гг — бгг — 11. Учитывая результаты З 1, получим отображение гЯ вЂ” бгг — 11 — 4.г Несложно подсчитать, что :3 >, ее + е~/8 1 — Зе>,~2 — ег я>2 ' а поскольку 1( — Ц = 1, то имеется притягивающий цикл (1, — 1) для последовательности (г„); г„,ея = 1(гя„) (т = О, 1,...), если только о лежит в каколя-либо из кругов Кео = (г; г — 1 < р) либо К = (г: ~х+ 1( < р1, где р —.
соответствующая константа. Понятно, что этот цикл связан с неподвижной точкой отображенля 1 (г)У'о 1(г). П Используя терминологию теории динамических систевя, мы будем называть последовательность (х, ), построенную по я)>ормуяяе (32), орбитой точки хе. й!ы видим, что орбита некоторой точки те может иметь в качестве предельного множества некоторую периодическую орбиту отображения д, т.
е. множество точек (ее, д(бв).,,,, д (бе), д (бе) — бе), дь(х) = дода '(х) (й = — 1, '2,...), де(х): — х. Периодические орбиты определяются неподвижнымн точками отображения д" (х): х - д" (х). Исчерпываются ли предельные множества орбит стационарными точками и периодическими ороитами? Нет; в качестве предельных притягивающих множеств могут появиться множества довольно сложной природы. На этом вопросе мы остановимся ниже, а сейчас найдем достаточные условия для того, чтобы изаяированная неподвижная точка отображения д была притягивающей.
Этот вопрос целесообразно рассмотреть в общем виде, когда орбита строится с помощью отображения Г банахова пространства В в себя. Без ограничения общности можно считать, что х .—.. Π— неподвижная точка. Предположим, что отображение 1г сильно дважды дифференящруемо 34. Уравнения в конечных р гностлх и смелсньгс вопросы 129 в окрестности неподвижной точки. Допустим, что спектральный радиус опе- ратора 1, = Е'(0) удовлетворяет условию р(Р) < 1. (34) Теорема 1.
Если выполнены предыдущие условия, то неподвижная точка т. = 0 притягиваюи!ая. Суи!ествует такой шар Т(0, г), что длл любой точки хо й Т(0, е) ее орбита (х, )о . .х„, =- Г(х, с) (гп = 1, 2...) является множеством, сходлы;имея к елочке х = О. Доказаткльстно. По предложению 8 31 Г(х) = В'(0)(х', .+ ~ (1 — !)$ч'(1х)!х, х)да о (35) (Е х — С'у:~ )~Е"х,~ (Е"у) 5х У! с = епР ( епР -!- епР = (х( д )У( ы >о гл „>с гн >о и, наконец, очевидно,что ~,ох(с = и (х~г. Поскольку !пп ,'~А' (/г" = О, то ЛХ = еир ~ Е" ~/г" < оо,н, следовательно, >о (х!)0 ( Лд)х).
Поэтому нормы !, '! и ! )Н эквивалентны. В новой норме ( Ьх! г = епр (!."т'хЦ/г" < г)х) и и, следовательно, )Е,)с < г < 1. н>0 Допустим,что в некотором шаре Т(0, б) норма оператора Гл не превосходит константы С. Из формулы (35) следует,что (Р(х)) с < г~х(с + С)х~(,/2. Пусть г < гг < 1. Если )х~(с ( 2(гг —. г)С, то )Г(х) ~с < гс),'х! г (36) прн условии, что шар (х: 2(гг — г) (С) содержится в Т(О, 5), чего всегда можно добиться уменьшением константы г, — г.
Из неравенства (36) следует существо- вание такого шара Т(0, е), что если то 6 Т(0, е), то !!х,.!! < !!х )1, < г",!1 о!1, < Лдг',"(!хо~), где х =- Е(т . г) (т .=- 1, 2,...). П Эта теорема, несмотря на ее элементарность, имеет исключительное значение., так как на ней основываются итерационные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений, используемые в численном анализе. Положим ! = Е'(0)., и пусть число г таково, что р(Е) < г < 1. Если ),! ~ > 1, то введем в В эквивалентную норму, приняв в качестве новой нормы произвольного элемента х б В величину ( х! с = епр !', 1,"х,),сг".
ь>о Нетрудно проверитгч что ~, '',~с -- действительно норма, поскольку ~х(~с > О, и так как 5х) г >,')х,'), то соотношение !'х5г = 0 влечет ! х)~ — — 0 и, как следствие, х = О. Далее, 13О Глава М. 1г1ате.иатическис вснввьг численнагв аналивв. Злгякчлниш Если выполнены условия теоремы и отображение Р имеет внд 1г(х) = 7 -, 'бх. где 1 — некоторый элемент пространства В, то, какова бы ни была начальная точка хе б В, имеем 1пп х„=- б, причем ]]х — с]]> < 31>' ]]го — Ц>. В самом деле, если 1 =. 1' — Аб, то Р(х) — 1 .=.
Ь(х — 1), и, следовательно, ]].г,„ — 1 ]] †... ]] 1.( х „, > — 1 ]], < ]]х > — б ]],, откуда следует (3 7) . (37) Л- у. - Л--1 — Л--В- .. ]]х г] ]Л] ' ]уо — Л т>б -~- Л е>б ' е]', и поэтому ]у.~] = Л(ебпЛ)ш ' У (1-е О(Л "' ')). Если уо = О, то х б при т сю. Таким образом, надпространство Я является устойчивым многообразием для отображения Р, а надпространство У -- неустойчивым многообразием. Для произвольных начальных данных хе])х„,] — > ж при т оо. Если Р— нелинейное гладкое отображение, то нарисованная выше картина сохранится в малой окрестности неподвижной точки, поскольку Г(х) = = Р>(О)'х] + 0(,]х ]]), если считать. что точка:г = О неподвижная. Поэтому в малой окрестности точки х = О у отображения Р будет иметься устойчивое многообразие конечной коразмерности,касательное к надпространству У, и неустойчивое многообразие конечной размерности, касательное к надпространству У.
Слечовательно, пока ]]х ] настолько мало, что можно пренебречь нелинейностью, будет иметь место картина эволюции последовательности (хш), нарисованная выше, но, как только возрастет ]]га„~], вступит в строй б. Неподвижные точки и бифуркации. Если р(б) > 1, то неподвижная точка у>хе не будег притягивающей.
Возникает вопрос о том, каков характер орбит точек хо, лежащих в малой окрестности неподвижной точки. Ясно, что точка х„„вообще говоря, при достаточно болыпом т покинет окрестность неподвижной точки, и при и> оо либо х — ~ оо, либо точна хгл будет стремиться к некоторому притягивающему инварнантному множеству отображения Р. Ситу.ация наиболее проста, когда Р— линейное отображение: Рх —.. Вх -, 1. Пусть оператор Г имеет собственное значение Л: ]Л, > 1, которому отвечает конечномерное инвариантное погшрсктранство 1', и для простоты предположим, что базис в У образован собственными векторами оператора П Тогда надпространство У дополняемо и В = 1'~ У. Предположим, что остальная часть спектра оператора В лежит в круге (Л: ~Л < г < Ц.
Обозначим через Р проектор на надпространство У: Рх — —. у, если х = у+ а, где у Е Е, г Е Е, Известно, что операторы Р и У перестановочны, и, следовательно, 1 (Я) С Е. Рассматривая ограничение оператора 1 на У„ хгы гюлучим оператор, спектр которого равен п(В) 1(Л) (доказательство см. в ]93, с. 444 †4]). Таким образом, без ограничения общности будем счнтатгь что если - Е У, то ~]Аг], '< г,] г],:, где г, < 1. Поэтому, если хо = уе — го —, Е где б -- решение уравнения б = 7' —, 11, то из формулы х =- Р(х„. >) полу пня по индукции х б -~- Л уо 4- ь~ ге Следовательно, если уо ф О, то ]х,], '— оо, причем 24.
Ураененил а ка>леч>>ма разностях и смелсныс попроси 131 нелинейность и картина резко изменится. По-прежнему может быть реализована возможность, когда х, —. оо при >и оо, но монсет быть так, что последовательность (1х (~) будет ограниченной и точка г„, будет стремиться к некоторому притягивающему инвариантному множеству отображения Г. Замнчаник. Мы рассмотрели характер неподвижных изолированных точек отображения Г в двух предположениях: когда неподвижная точка х =- 0 при лгиеающал, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
