Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 20
Текст из файла (страница 20)
— хс .=. Ь и воспользуемся формулой Тейлора (36), в которой предварительно положим х — х., Тогда г хг — х =- [Г'(хо)] /(1 — 1)Г«~(.ге+ СЬ)'16 6]да в Отсгода, вычисляя норму, получаем ~ хе — х ~ < ЛХ(хо — т. ~'~2. Таким образом, хг б Т., и, значит, можно сделать следующий шаг итерационного процесса, а гак как мы нигде не пользовались тем, что и, = О, то х определено при любом и > О и (~~х„-- х,(, < ЛХ(х„г — х, (~/2.
11олагая «„= ЛГ (х„, -- х (Ь/2, имеем «» («„и откуда «„» («е ., или, переходя к величине 1х» — х,'~, получим з г" неравенство (49). П Из двух неравенств (43). (44), повлекших за собой существование решения х, у.равнения (37) и сходимость ньютоновских итераций, наименее существенным является неравенство (44], если только предположить, что оператор Г'(х) обратим в достаточно широкой области. Приведем критерий существования решения уравнения (37), носящий нелокальный характер.
Для функций одной переменной это легко сделать, Допустим, что 7 б С [а, 6], [7 (х)! > В (В > О) при х б (а, Ь), и пусть еа — '. 6) Ь вЂ” а Тогда на (а, Ь] уравнение У(х) =- 0 имеет хотя бы одно решоние. В самом деле, считая, что У((а+ 6)/2) > О, Г(х) > О, по формуле конечных приращений имеем (а+ Ь) Ь вЂ” а, ~а+ Ь) Ь вЂ” а — И )В )' Следовательно, на [а, (а — Ь)/2] имеется корень уравнения Т(х) = О. 1( сожалению, на общий случай зго рассуждение не переносится. Тем не менее имеет место.
Предложение 12 [126). Допустим, чтв в шаре Т(хо, 2г) птвбравюенае Г: В, В дважды сильно дифференцируемв и ЬГ»(х)( ( Х < оо, а в шаре Т(:гв, г) оператор Г'(х) вбрапгим и ~~[Г'(х)] [~ ( д. Пусть ~ Г(хс)~ < ыо; тогда если В о < е /2, гпв уравнение (37) имеет решение в шаре Г(хо, 2т). Доклзлткльптво. Приводимые рассуждения могут составить основу алгоритма, находящего решение уравнения (37). Позтому формальную часть доказательства мы облечен в форму, принятую при описании алгоритмов. Указании 1.
Установить Ьв В~ывЛ' и»» — 0 и выбрать некоторое число е б (О, 1/2); перейти к указанию 2. Указании 2. Если Ь, < 1/2, тох, — хорошее начальное приближениедля ньютоновских итераций, и наш «алгоритм» работу заканчивает; в противном случае перейти к указанию 3, 3 1. Теоремы товологпгг и фупкциопольпого ополиоо Уклзлиие 3. Установить Л, г — (1/2 — е)/6, г! (50) Т',(х)» — Г(х) — Г(х!) —, Л; Г(хз): перейти к указанию 4. Уклзлнив 4. Применяя метод Ньютона, найти решение х, д уравнения (50); перейти к указанию 5. Уклзлнив 5. Установить иг,»д г..
~Г(х,;.!)~ ! и 6., д — д3 хг! дХ; перейти ,г к указанию б. Уклзлник б. Установить г г -у 1; возвратиться к указанию 2. Докажем корректность этого «алгоритма». Прежде всего заметим, что из (50) следует ол д = (1 — Л,,)иг! = ига П (1 — Ль). Покажем по индукции, что ~~х, -- т, д:~ ( 23Л. диг.
д, (х, — ха'~ < г. (а1) При г = 0 для функцгп! Га(х) выполнены условия теоремы 17, и поэтому имеется решение хд уравнения Га(х) = О, прячег! )хд — ха ~ ~ (23Лаига (так как 5 —. 3Лаига), и, стедовательно., ( тд — ха'~ < г. Допусти:я, что неравенства (51) справедливы и 6„> 1/2. Из (50) получаем 3~6г!'Г,(х,)~(д = Л,Згдг!о, = Л,6, = 1/2 — е, 23(,Г,(х,)) д =- 23Л,ш, < 23ы! < 23 га < г. В силу второго неравенства (51) Т(х„г) с 7 (ха, 2г), и пснтому точку х, можно взять в качестве начального приближения ньютоновских итераций. По теореме 17 найдется решение хыд уравнения Г,(х) = О, причем ~~азад — х, ~ ( < 2г3Л,иг„и поэтому первое неравенство (»П ) справедливо! если в нем г заменить на г .~- 1. Далее имеем г-!- д (х,+д — ха~ < ~у,~хь — хь д( < 23(Л,ш! —,.
— , 'Лама) < 23((1 — Ль д)ш! д'- а=! -'с Л, дш, д 3-...] .=- 23(иг, д — Лг — гюг — г 4- ) = . = 2/)Лома < гз т. е. и второе неравенство (51) имеет место при замене г на г+ 1. Если спРаведливь! неРавенства (51) и!г, < 1/2, то, посколькУ 231Г(хг)1д = = 2дю, < 23иго < г и Т(х„г) С Т(хо, 2г), применима теорема 17, и ньютоновские итерации с начальной точкой х, будут сходиться к решению уравнения (37).
Итак, остается доказать, что пикл, начинающийся в указании 2, закончится через конечное чгкло шагов. Заметилг, что 1/2 — е 1/2 — е 1/2 — е зггУиг, 32!У(1 — Л,,) г 32Х Поэтому ю, < (1 — Ла)'гоа. А это неравенство влечет неравенство 6, < 1/2, как только 3гйцша(1 — Ла)* < 1,г2. Пгдскольку 0 < Ла < 1, то при достаточно болыпол! ! будет выполнено предыдущее неравенство.
П 84 Глава 2. Математические основьг числевногв анализа. 8 2. Теоремы анализа 1. Модули непрерывности. Пусть Р— метрический компакт. Рассмотрим непрерывные функции на Р Х; В -- К, где К вЂ” либо К, либо С. Введем обозначение [Х[ = пгах[Х(г)[, причем в сгллу теоремы 2 51 мы лиген тем тах, а не еир. Множество непрерывных функций, определенных на В, глановится банаховым пространством. если на нем определить норму [, . Это пространство будем обозначать через С[В;. Если Р— отрезок веягественной оси (Р— — [а, Ь)), то ото пространство будем обозначать через С[а., Ь). пусть р(гы 1г) — расстояние между точками гг, гг с Р; положилг д = евах р(ви гг), На отрезке 10, д) вещественной прямой гь введем функцию г,,го оп 6 ьч ю(б), положив ю(6) = вир [Х(11) — Х(1г)[.
Эту функцию будем называть Дц хг1<г лчодулем пепрерьгвпести функции Х н, чтобы подчеркнуть зто обстоятел~ство, будем также применять запись ы(6; Х) вместо ы(б). Перечислим некоторые свойства функции ы(д): 1) ы(0) = О. 2) ы(б) не убывает на [О, д[. 3) ы(6) 0 при б, 0 (зто свойство — иная запись теоремы Кантора о равнолгерной непрерывности функции непрерывной на компакте [61, с. 119[). Пусть компакт обладает следующим свойством: для любых точек 1г, Хг С В в их любых сколь утодно малых окрестностях Сч и Ог можно найти такие точки ты тг, что р(тм тг) < р(гы гг). тогда имеет место следующее свойство модуля непрерывности: 4) ю(д) С С[0, д, (докажите зто свойство самостоятельно).
Рассматривая модуль непрерывности при фиксированном д как функционал от Х, очевидно получим сведующие свойства: 5) ы(д: Х) < 2Х 6) ю(д;,Х -Ь 9) < ы(д; Х) -Ь ю(6; 9). Будем говорить, что функция Х с С[Р) удовлегпверлет ус.ловит,Липгаица порядка и с константой ЛХ, и записывать зто в виде Х С убр(о, ЛХ), если ы(д; Х) < ЛХб 2. Теорема Арцела н лемма Ерохина. Рассмотрим вопрос о критериях компактности подмножеств Х с С,Р). Пусть Х замкнуто.
Будем говорить, что функция ы[0, д[ В., удовлетворяющая условиям 1) — 3), является маоюорантньгм модулем непрерывности для функций, принадлежащих множеству Х, если ы(д; Х) < ю(д) Ч Х Х. Теорема 1 (Арцела) [61, с. 128). Дчл того чглобы замкнутое мнеысество Х с С[Р) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно быке огуаниченным, т. е. Х ьь < С чуХ 6 Х, и чтобы срществовал мааюоуанпгньгй модуль непрерь~еностгг, ЗАМКЧАНИК 1. Условие ограниченности множества Х назгявают еще условием равномерной ограниченности, а свойство существования мажорантного модуля †.
равностепенной непуерьтностыт ЗАкяечАние 2. Если Х не замкнуто, то условия теоремы 1 необходимы и достаточны для предкомпактности Х. З 2. Тсорвмьь анализа Предложение 1 (лемма Ерохина [44]). Пусть Х вЂ” компактное пвдмножсествв С[11] диаметра Рл. В С[О] существует элемента Хо, удаленный вт всех элсмеювов пвдмнвэкества Х нс более чем на г.
Доказаткльство. Пусть Х вЂ” произвольная точка компакта ХХ. Положим Х(ь) =. впр Х(1), Х(1) = !пХ Х(Х). Пусть ы(6) — мажорантный модуль непрерывХех — Хех ности для компакта Х. Покажем, что Х, Х б С[ХХ~ и их модули непрерывности мажорирует ы(о), В самом деле, если Хр(1ь) —: Х(П), то при р(йм Ьэ) ( 6 !пп(Х„(ь~) — Х (1ь)) ~ (ээ(6), и — ~ со, а с другой стороны, !нн[Х„(ьь) — Х„(1э) ] =- !!т Х„(1г) — !ппХ„(Хэ) ) Х(П) — Х(Хэ), и оо.
Меняя местами точки хм Хм пазучим Х(ьа) — Х(Хь) < ы(6), откуда [7(Хь)- Х(ьэ) [ ~( < ьэ(6), т. е. ьэ(6, Х) ( ы(д). Аналогичное рассуждение применимо к функции Х(Х). Положим Хо(1) = = [ Х(Х) т Х(1)] 1 2. Для произвольной точки Х й Р имеем Хо(1) — Х(Х) = —, [7(1) — Х(Х)] — — [Х(1) — Х(Х)] < грл = УХ й Х.
1 1 1 2 2 — 2 Отсьода же следуе~, что Ха(Х) — Х(1) > — г. и, значит, [Хо(Х) — Х(Х)] < г. В силу произвольности Х [Хо- Х] <г ьХ.ХЕХ. П 3. Ххлассга гладких функций. Рассмотрим некоторые подмножества пространства С[О], состоящие из дифференцируемых функций. Пусть В = 1 = [а, Ь]. Через С" 1] обозначим пространство г раз непрерывно дифференцируемых функций с нормой [:,Х[= ~ тах[Х'"(1)[. ь=о Введем классы И'р"(ЛХ; 1) (1 ( р < со). Рассмотрим в С" [1] множество функций Ыр(ЛХ; 1) = (Х б С'[1,: [,Х [ ~( ЛХ), где ] [р — норма пространства бр[ХЕ ь ьэр [Х[р -— — Ц[Х(Х)" [дь), 1 < р < ос; [Х[ = хга!впр[Х(Х)[.
ьег Замыкание множества Й)'„(ЛХ; 1) в норме пространства бр[1: называется классом И'р" (ЛХ; Х). 32. Теоремы анализа где о — сопряженный показатель (см. п. 3 3 1). По предположению бг и поэтому )в~р ~ (Сы а из неравенства (2) стедует, что двор ~ (Сг, Поэтому из формулы (1), примененной к 1'„и неравенства треугольника вытекает, что р „< Сз (и. = 1, 2,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
