Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 71
Текст из файла (страница 71)
с1то же взять в качестве приближешюго решения? Один из возможных подходов к решению поставленной задачи следующий. Если погрепп|ости измерения носят случайный характер и известны их вероятностные характеристики, то можно попытачься устранить инструментальный шум, сгладив первоначально заданную функцию >' и гюлучив новую правую часть >'э, с которой уже и следует решать уравнение. Сглаженная функция )в должна принадлежать классу корректности. Для некоторых задач такой подход достаточно хорошо развит, и мы ограничимся лишь кратким упоминанием о нем. Далее будем рассматривать некоторые вопросы дискретизации некорректных задач. Отметим, что по затронутым в этом разделе вопросам имеется огромная литература (см., например, [69, 70, 109, 171]).
3. е-энтропии при некорректном отображении. Пусть Х С Р, У С С, Х, У компакты и отображение А: Х вЂ” У непрерывно на Х, причем У = А(Х). Как и выше, мы считаем, что Г и С не метрические пространства. Отметим, что и некорректные отображения следует 340 Глава ос. Обагве соойстоа оычыс,литсльаых олгоршвмоо рассматривать на таких компактах, на которых они непрерывны.
В противном случае мы не сможем построить алгоритм приближенного решения задачи о вычислении отображения Аэ" на данном элементе э' С Х. Посмотрим, каково взаимоотношение между е-энтропиями компактов Х и 1' в случае, если отображение А некорректно. Разберем этот вопрос вначале на примерах. Пгимиг. В первом примере, рассмотренном в 8 2 настоящей главы, Н(с; Х) и (ЛХэге)Пс(6 —. а), Н(с; У) м (ЛХ/е)~дс "~(6 — и), и мы видим, что Н(в; Х)/Н(е; 1 ) — О, е г О. (16) Такое соотношение между с-энтропиямп типично для некорректных за- дач. Наоборот, для корректных задач типично соотношение Н(-', Х)7'Н(е: 1')- сю, с„'О.
(17) Так, в задаче о вычислении определенного интеграла, рассмотренной выше, имеем Н(г: Х) 7Н(э: У) .—. (Лэ/г)'7('4'+01. П Пгимиг, Следующий наш пример относится к смешанной задаче для уравнений теплопроводности и обратной те~лопроводности. Рассмотрим в интервале 7 = (х, П 0 < <т < <х, 0 < <1 ~~ Т) две краевые задачи: ди- дзиу — — О., Гэс дха иа(0, 1) = иД~т, ~), 0 < 1 < Т: п,(х, 0) = со(х), (18 ь) причем и (х, 6) репэение прямой задачи теплопроводности, а и .. (х, 6)— решение обратной задачи теплопроводности. Если со(х) = Л аь э1п йх6 а=э то формально ит(х, г) = ~ ~иьехр(ТИ 1) эйэйх. ь=1 Обозначим через УЛ'" (ЛХ) подмножество нечетных функций класса М(' .
Ясно, что это подмножество -- компакт, э1ы положим Х = Фтсе,(ЛТ), и пусть А: х г-э и-(т,, Т), 1 = А(Х). Отооражение А непрерывно, взаимно однозначно, и поэтому А — гомеоморфизм. Рассмотрение обратного отображения А ~ отвечает некорректной обратной задаче теплопроводности. Оценим с-энтропию компакта У, Предложение 1.
Длл и-энтропип компакта У имеем слсдуюищю ойепкуг Н(е; У) < Т 'э~(1о — ) О~ Т ча!о8 — 1о81о8 — ). (19) с г 3 3. Решение некоторых некорректных за0ач Доказлткльатво. Для любой функции «б У построим интерполяционный полипом ее ~ (х; «"), определяемый формулой (3.1.20). Воспользуемся формулой (3,1,24) для оценки погрешности уклонения е„~ (х, «") от функпии «1 Заметим,что ,((х) =- ~аь екр( — й Т) з!пйх, Ь=1 где (о ь ) — коэфф~щиенты Фурье некоторой функпии из компакта Х. Согласно предложению 3 3 2, иь < ЛИ ' (й = 1, 2,...). Обращаясь к формуле (3.1.24), заметим, ,'А~ < М~~~ (1+(21 1)п) ет1з( — ТЯ+(21+1)п) ) < ~=е (21 - 1)" < Л«п екр( — 1с Т) ~ ~ел~~( — Тпз(21 тл 1)з) Отсюда, считая, что Т < Те, получим ~~ь !,«ь! < 3«п "~~> ехр( — й Т)~ ~(21+1) "екр( — Тп (21 1) ) < а=о а=а ~=е < С Мп 'Т Ы еар( — о~Т) при пТЯ«з.
Позтому ~да,(х; 1") — «"(х)( < С,Т «и "екр( — пеТ)М. Зададим в узде х = к «/и функцию 1 с точностью д, и пусть о„~(х; г") — интерполяционный многочлен, построенный по приближенным значениям функции «в узлах. Тогда Имеет место оценка 1 ч ~з1ппхз1ппх, ~ (С1пп, и ~созх — созх с=1 е вывод которой мы предоставляем читателю, Позтому ~д ..~(х; «) — 4 ..~(х; Д~ < СсПпп. Если е — погрешность таблицы, то мы выберем минимальное и такое, что С„Т Пз х и 'ехр( — и Т)Л« < е/2, а 6 определим из условия С61пп = е«2. Позтому ~оч ~(х; Г) — «"(х)) < с.
Таблицей элемента «будет набор приближенных значений = 1, 2, ..., и') функции «' в узлах> а расшифровывающий алгоритм — алгоритм 342 Глава 5. Общие евойвгпоа, вычиелигпельных олгоритмов вычисления значения многочлена о з(и; Х). Подсчитаем длину таблицы. Поскольку при г > ! ( ЛХ) й 'ехр( — й Т) ( ОЛХе в=1 то для запоминания величины Х(яз) требуетея слово, длина которого не пре- восходит !ок(МХе) -!. О(Ц. Таким образом, длина таблицы 1(Т,) < ( — Ц [! ц — -Ь О(Ц~ = Т-Н'(! — ") + + О(Т-"'(!езб — ") '" !об !ой — ), П а отсюда следует оценка -энтропии 3 в д в ч а 1.
Докажите, что имеет место следующая формула: Н(е; 1 ) — "" (!об — ) ~ О(, !об — 1об !об — ), (20) Таким образом, таблица, построенная в предложении 1, примерно в (3~'2) !оке раза длиннее оптимальной. Сравнивая е-энтропии компактов Х и у', мы видим огромное различие в их асимптотике, и это различие порождает ряд существенных трудностей при решении как пряьюй задачи, так и обратной. Если мы решаем прямую задачу, то по теореме 1 2 1 погретпность оптимального алгоритма определяется величиной е(У: зз')., которая, согласно (20), равна ; 2/3 е(У; Хз) = ЛХ ехр( — ( — !обе) Т'ХзЖз'з -!- 0(Т "НвММз !обЛХ) ). (21) Как же получить столь малую величину погрешности? Понятно, что это можно сделать лишь при условии, что алгоритм решения задачи будет специфическим.
Нужно на входе в алгоритм взять таблицу коэффициентов Фурье функции д(т) и запомнить каждый коэффициент с соответствующим числом знаков, причем, чем меньше номер коэффициента, тем большее число его знаков нужно запоминать. Если же используем алгоритм вы шгления, основанный на применении какой-либо разностной схемы, беря па входе в алгоритм, скажем, оптимальную таблицу функции л(х), то мы в лучшем случае получим и (т, Т) с той же точностью, с которой заданы начальные данные. Если Л'„и Хте — длины таблиц на входе и на выходе и е = ЛХ,!№ - - точность таблицы на входе, то, согчасно (20), длина таблицы на выходе, отвечающая этой точяости, будет 2гау' 'зе Тзю! (1езйХ) Ь 3.
Решение некоторых нскорректных задач откуда Таким образом. налицо огромная потеря информации, нли, что то же самое, крайне низкая точность, с которой определяется ивах, Т). Хотя с точки зрения потери ииформации алгоритмы и нв оцсниваютс.ч, нам представляется, что этао важная характеристика, и ес нужно учитывать ~ь1. Отметим, что оптимальный алгоритм можно построить, если воспользоваться на входе таблицей коэффициентов Фурье. По такая возможность будет явно отсутствовать, если мы рассмотрим более общий случай, когда уравнение имеет вид ди д г а дич — = — ( а (х, 1) —, ) -ь г (и, и; х. г). д1 дх( ' дх) Для решения смешанной задачи в этом общем случае, пожалуй, наиболее технологичные алгоритмы будут основаны на применении разностных методов.
А тогда сохранится отмеченная выше потеря информации. Таким образом, как и при решении задачи об интегрировании функции и краевой задачи, мы и при решении эволюцион|юй задачи вынуждены использовать далеко не оптимальные методы и испытываем огромные трудности прн построении эффективных алгоритмов решения корректно поставленных краевь1х задач, Пгимкг. Перейдем к анализу решения обратной задачи теплопроводности.
Если ьо(х) б У, то понятно, что можно определить и (х, Т). Сделаем предварительно простой расчет. Допустим, что решение принадлежит классу Ф' (1), и допустим, что требуется его получить с точнов стью 10 ~ при Т = 1. Если будет применяться оптимальный алгоритм, то, согласно теореме 1 з 1, точность окончательного результата равна в(Х; Х) = 10" г.
Отсюда, принимая Н(в: Х) = (ЛХ/в)к1ая (нам неизвестна точная формула для в-энтропии. но, по-видимому, Н(в, М'".(М)) ге = о„х(ЛХ/в)'Д', где а, > 1), для длины таблицы на входе в алгоритм получим значение .У = 10х. По формуле (21) выходит, что точность таблицы на входе в алгоритм не меньше с ' = 4- 10 э. Мы думаем, что наши предположения о главном члене в-энтропии преувеличили окончательный результат на входе так, что истинная картина будет еще более удручающей и погрешность таблицы на входе должна быть еще меньшей.
Поэтому, если обратная задача теплопроводности и возникает как реальная инженерная задача, то очевидно, что для финального момента времени Т должны браться реальные величины, т. е. до,ажно быть Т «1. Кроме того, возможно, что мы завысили требования по точности ответа. Если отвлечься от реальной картины, а считать, что можно обеспечить требуемые точности при заданви элемента компакта 1', то можно построить алгоритмы решения обратной задачи. 344 Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
