Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 160
Текст из файла (страница 160)
В случае нелинейных уравнений, следуя принципу замороженных коэффициентов, яужно поступать аналогично; так, в нашем прнмере можно допустить, чтобы коэффициенты ао зависели не только от и, й но н от искомого решения и, т. е. ае = а,з(и; ж, 1). Тогда в неравенстве (5С) мы бы учли эту зависимость и отыскивали минимум с ее учетом.
11ри счете и -~ 1 слоя значения и мы бы брали по п,-му слою. 8. Исследование устойчивости для смешанной задачи. В этом случае вопрос намного сложнее, и эта стожность вызвана существом дела, поскольку описание корректных постановок смешанной задачи для тех либо иных классов эволюционных уравнений значительно с южнее, чем для задачи Коши. Если мы предлагаем устойчивую разностную схему для решения некоторой смешанной задачи., то тем самым в силу теоремы 2 устанавливаем и корректность такой постановки.
В задаче 7 указан способ исследования смешанной задачи для уравнения колебаний струны. Однако этот метод носит очень специфический характер, и он основан на том, что мы знаем базис собственньгх векторов оператора д~ с граничныхш условиями (52). Конечно, метод можно 778 Глава 10. Нет;.отпорые вопросы чпслснного решснил краевътвват1ач обобщить на более общий случай переменных коэффициентов, что мы и сделаем несколько позже. Сейчас опишем еще один подход, являющийся обобщением спектрального метода и состоящий в том, что исследуется раздельно влияние граничных условий на каждой компоненте границы, а в случае криволинейной границы производится ее выпрямленис и рассматривается задача в четверти пространства Пп ~ —.
К х В. = 1ж е К~; тт сз О) х (ъ: 0 < <1<"- ) Это исследование производится с помощью преобразований Лапласа и Фурье. Существо метода рассмотрим на простом примере смешанной задачи для уравнения (12). Воспользуемся разностной схемой (14), .но краевое условие возьмем в виде о,", —.- оппы Считая, что коэффициент а = сопев, .и беря однородное уравнение (14), имеем н" —. го, — гесс(о,",, — п" т), т =.
1, 2, ..., п.— — О, 1,... (57) Введем производящую Функцию последовательности (тгв о~',...): где ф < 1. Будем считать, что И" (е) -- элемент нормированного про- странства 1 о, (т(С г *': т — ) )т( тнттс'гт Онт<т 2Н о туз Ясно, что в силу определения [(Д = [ 2 ' аы-) ь=о Найдем оператор послойного перехода Т: Нз — Н . Умножив (57) на ™ н просуммировав по т в пределах от 0 до оо, получим соотношение Р'и+'(г) - нов~ = (1 - оси) [1' (г) — тго] —, хеагра(г). (58) Из граничных условий и" = ог", ов" ~ = ог, ~.
Из уравнения (57) при тп = 1 нетРУдно полУчить, что ттв ~ = [1 + нп(о — 1))нвп. Подставив затем вот~ в (58) и заменив нв' па 1 "п(0), получим 1'п~т(г) — —. [1-, хеи(г— -- 1)' ,Ип(г) 4- огса1'п(0), Тем самым оператор послойного перехода корректно определен и имеет вид (Т1т)(г) = [1+ ма(с — 1)) И(г) огсар(0). Этот оператор, грубо говоря, сводится к оператору умножеттия тта фупкцикд он некомпактный, и для того, чтобы найти его спектр, проще всего исследовать его рсзольвентное множество, т.е. множество тех э4.
О решении краеоых эайач длл эоолючионямх краонений 779 значений Л, для которых уравнение (Т вЂ” Л1)Ъ' = д имеет единственное решение для произвольного элемента д Е Н . В нашем случае последнее уравнение имеет вид [1 -~ на(е — Ц -- Л' У~(е) 4 оэеа1т(0) =- д(е). Отсюда Ъ'(0) = д(0) [1+(о — 1)эеа — Л, и поэтому у'(е) = [1+ага(х — 1)— -1.
— 1 — Л~ д(е) — омад(0)(1+ (о — 1)на — Л) ). Поэтому спектр оператора перехода будет о(Т) = (Л = 1 — иа(- — 1): е' ,< 1) .. (1+ (о — 1)ни). Точка Л =- 1 -, '(о — 1)на принадлежит точечному спектру и обязана своим происхождением граничному условию. Непрерывный спектр множество (Л = 1+ на(е — 1): 'е, < 1) заполняет круг К = (Л: (Л вЂ” 1+ + эеа < эеа). ассмотрим дискретный спектр, которьш полностью отсутствовал в случае задачи Коши. В данном случае имеется единственная точка дискретного спектра, а вообще от граничных условий может возникнуть лишь конечное число точек дискретного спектра. Если о ) 1 либо о < 1 — 2Дэеа), то [Л~ ) 1, и схема будет формально неустойчивой. Однако если учесть, что принятое условие возникло как дискретизация граничного условия (и+ дди/дх) „.—.
0 (это простейшая возможность), то, считая, что аппроксимация производной ди/дх делается по формуле ди/дх — (и1 — ив)/6, получим о — — д(д — 6) ~. Следовательно, о — 1 — -- Лад — 9) =- 0(Ь) —... 0(н 1т), и поэтому [!Тэ < (1+ т Ст7м)" < ехр(Слт/эе). Если н отграничено от нуля, то мы получаем допустимый рост степеней оператора перехода. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Выше мы потребовали, чтобы степени оператора перехода удовлетворяли условиям (34). Рассмотренный пример показывает, что это условие излишне жесткое, и достаточно требовать вместо (34) выполнимость условия 'Сией < (1+Ст)™. и =1, 2, ..., (1,/т).
(34') Тогда будет обеспечена выполнимость неравенства (26), но с другой константой, и допускается экспоненциальный по времени рост решений. ЗАмечлние 2. точку дискретного спектра, возникающую за счет граничных условий, можно обнаружить сразу, отыскивая спектр оператора перехода с учетом граничных условий обычным образом, а именно пола1вя и" 1 — -- Ли,"„и отыскивая затем собственную функцию и: т нэ и,"„,.
9. Другой пример исследования устойчивости разностной схемы, построенной для решения смешанной задачи. Рассмотрим линеаризированную систему уравнений плоских течений сжимаемого газа 1 —,+А — + —,=О, дХ дХ дХ (59) д1 дх дд 780 Глава 10. Неъ:огаорме вопроси численного решения яраеомх гаоач где Х = (пъ и, р, а)', а матрицы Л, В имеют вид о м ' о о о о о , ( ° й , (.
° .'- .1 =~м-' о 1 о) ~о и-' о о) ~ о о о 1) 1,0 о о о) В уравнении (59) величины и, о, р, и - - соответственно возмущения компонент скорости, давления и энтропии. Величина ЛХ так называемое число Маха. Система (59) гиперболическая, в чем легко убедиться, вычислив характеристический определитель г1е1(юг — Лог ( ВЭоо) =- О, где р(х, у, 1) = С вЂ” уравнение характеристической поверхности.
Будем рассматривать смешанную задачу для < истемы (59) в четверти пространства К эхкь Предположим, что на полуплоскости П1 = (х, у, 1: х — —. О, --оо < р < < ж, 1 > О) ставятся граничные условия и что они получены в результате линеаризацпи условий на фронте плоской стационарной ударной волны, которая возмугцена в момент времени 1 †.. — О. Таким образом, система (59) описывает малые возмущения за фронтом волны., которые развиваются при ~ > О. Естественно, что в полуплоскости Пв = = (х, у, 1: 0 < х < со, — ос < у < со, С = О) задаются начальные условия Х =- Х". Мы не будем вдаваться в подробности вывода линеаризое=о ванных уравнений на фронте (этот вывод вполне тривиален,и читатель сам может его проделать, отправляясь от нелинейных соотношений па фронте ударной волны), а отметим, что эти условия при (х, д, ъ) е Пъ имеют вид до, др п=ор, — =,3 —,, о =ОР (60) дс др' Отметим, что не при любых возможных значениях коэффициентов а, 3, 0 смешанная задача для системы (59) с краевыми условиями (60) будет корректной [32).
Введем сетку с шагами Йы 6 и т соответственно по переменным х. у и 6 Ниже через 1' будем обозначать прпближеняое значение вектора Х. Значение 1 в узле (пйд, 16ш вт) обозначим через 1 " . Разностные уравнения запишем в виде 1'"~ъд т У'"+~ — 1'", г — 1'"г + 2гсгЛ(у (1'"еъд ( — )( ",,— ",)) е 2,В(з;(1"+,' 1 "",, — ~"'э,',) + (1 — Х) (1;„"„Л ., — Р„", +у "д;г— — 1'"Л.,)) =-О, (61) где 0 < у < 1, яо = гЬ, '; у' = 1.
2; т = О, 1,...; 1 = ..., — 1, О, 1, ... Е4. О реи«еиии краеоих эадап длл эоолюциоижмх Праоиепий 761 Аппроксимация граничных условий (60) приводит к соотношениям п -1 п11 "Е1 ОРШ е1 ие1 — 2 [Х(ре, 1; 1 Ро, 1-1) + ( Х)(ре, 1«1) Ре,е — 1 ~ Цп« Зрп« (62) Будем искать собственные функции оператора перехода в виде уп 1 Луп пи = ю1 Уп1 — — .
ехр(1(В)«В, оп=а, 1= — ео Однако такая вольность допустима, поскольку по переменной 1 (т. е, по у) мы можем рассматривать периодическую задачу со сколь угодно большим периодом, и тогда В будет принимать лишь дискретный набор значений, а суммы по 1 оудут конечны. После подстановки (63) в уравнение (61) и, учитывая граничные у ° (бг), . учиь [(Л вЂ” 1)(1 Р )1 — 2ж1(ХЛ -~- 1 — Х)(1 — х)А— — «жа вш В(ХЛ + 1 — Х) (1 + х) И] Ж = О, ие - - оро -- О, (Л вЂ” 1)ие = 1жа«УгйпВ(ХЛ - 1 -- Х)ре, е»е — уре = О, (64) поскольку Ж =. (ие ие, ре: е»о)' Отсюда 11ес((Л вЂ” 1Н1+ х)1 — 2 (ХЛ + 1 — Х)(1 — )А— — 1жвыпВ(ХЛ вЂ”, 1 — Х)(1+ х)«э) — — О, и, вводя вспомогательную переменную 1, =- (1 — х)(1 -~ х) 1 н полагая — Л вЂ” 1 — 2ж1(ХЛ вЂ” Х)Ч, получим, что последний определитель равен (х+1)«и[ив — (ХЛ+1 — Х)а(2ж1А1 1)аф — ив)] =-О, (65) где п = ж (2ж1) ' гйп В].
ФуНКцИя Е»п 1,, ОтОбражавт ЕдИНИЧНЫй КруГ 1та = (: ]Х] (~ 1) в правую полуплоскость По = (1,1 Не~ > 0) однолистно и конформно. где Ж С Сз, В б й. и ]х] < 1. Мы опускаем исгшедование вопроса о том, что оператор перевода определен корректно на гильбертовом пространстве последовательностей (у"1) Говоря о «собственной функци», мы допускаем пеболыпую вольность., поскольку вектор (63) будет иметь бесконечную норму 782 Глава !у. Некоторые вопросы численного решения краевыя вавич Сделаем в Пв разрез вдоль отрезка,:О, а) вещественной оси и полученную область обозначим через П. В этой области функция (ьг — аг)1Хг однозначна; мы берем ту ветвь квадратного корня, которая положительна при положительном подкоренном выражении. Из уравнения (65) находим двукратный корень ш — — О, что дает два значения Л: Лг г(л) = (1 + 2~ г(1 — Л)4(1 — 2очЛС) и еще два корня; Лз а( ) = ~1+ йай(1 — у)дь(С) '! — 2ъсгЛэоа(е,)~ уг = (О, О, О, 1)', г!г = (!гсгьйпд, — 2осгь, О, 0) пг = (2осг~шч ~, !осгв!пдшл ~, ЛХ(ЛЛ+ 1 — т), 0), нл = (2осгьш, ггог эш уш, Л1(ЛЛ .!.
1 — Х), 0), (66) где шь =+2осъЛХ '(АЛ+! — у)~Д'-' — аг. где ъоь(Ь) = ~+ ЛХ ~(е,г — аг)чг. Пусть круг К вЂ” — (Л:,Л вЂ” 1 Е 1Д2Л) < 1Х(2!С)); если Х > 1/2, то К ~ Ка, Функции Лг(г), Ло( ) отображают круг Кв на внеппюсть круга К, что устанавливается простой проверкой.
Рассмотрим коран Лг, Ла как функции переменной ~,. Онп однозначны и очнолистпы в П. В самом деле, согласно известному принципу соответствия границ, нам нужно установить, что граница области Х! гомеоморфно с сохранением ориентации отображается на границу некоторой другой области, Таким образом, достаточно установить однолистность функции уя(Д в области П. Функция с = !от(~) отображает гомеоморфно и с сохранением ориентации границу области Х! на множество Д: с = !у, ЛХ "~а < у < со) О (Д: б = !у, " оо < у < †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
