Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 155
Текст из файла (страница 155)
О реяасиии краееия задач дал аааляаиианньят, уравнений 753 ны огрохяные недостатки разностного подхода. Точно так же рекомендовать читателю пользоваться методом конечных элементов в задаче о свободных колебшяиях пластины вряд ли было бы правильным. Достаточно вспомнить многочлен Аргириса (с 21 параметром), чтобы понять, какие сложности нас подстерегают. Во-вторых (и это главная причина), численные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных нельзя рассматривать как своеобразный колумбарий знаменитых п высокопочтенных алгоритмов. Как раз дело обстоит прямо противоположно, Численный анализ еще молод, н становление целого ряда алгоритмов только происходит. Поэтому исключительно важно, чтобы было как можно балыке конкурирующих методов. Мне представляется, что каждый из методов, будь то метод разностный, конечных элементов или метод без насыщения, основанный на пелокальпой аппроксимаяяи, найдет свою область применения.
Имеются еще и другие причины, которые побуждают нас как искать недосавтки в н:звестных н распространенных методах, звк и вести поиск методов, основанных на новых принципах. В настоящее время намечаЕтСя тенденция привяэывать архитектуру новых спЕциалиЗированных суперкомпьютеров к определенным классам алгоритмов численного решения тех либо иных задач физики и,ти механики. Поэтому очень важно, чтобы специалисты по архитектуре компьютеров ориентировались на наиболее передовые классы алгоритмов и учитывшян все дефекты весьма популярных, но, возможна, нс оптимальных алгОритмов. Читатель, который вникяательно прочел этот параграф, подляетит, что существенную роль в наших построениях играет теория приближения функций так как в оСнове предложенных алгоритмов жжат иптерпеляционный много- член (3.5.15) и вытекающая нз него квадратурная формула.
Возможно, что иной класс ннтерполяционных фюрмул прпведет к другим клася.ам ненасыщаемых а,згоритмов, имеющим меньшую времешяую сложность. Вопрос этот неясный, и его нужно более тщательно исследовать как в чисто теоретическом аспекте теории приближения функции, так и в алгоритьянческоля аспекте, включающем работу с массивами и вопросы временной сложности. Читателя заинтересовавшегося поставленными вопросамн, мы призываеля к самостоятельным исследованиям (как теоретическим, так н чисто практическим) в области использования алгоритмов без насыщения для решения различных задач (см.
[240)). Алгоритмы, изложенные в данном параграфе, предложены автором, а их программная реализация выполнена С.Д. Алгазиным. Еьяу же приная1лежат исследование блочной структуры матрицы Яя' и важное замечание об объеме хранимой информации. Расчеты, приводимые в данном параграфе, выполнены па БЭСМ-б так же С. Д. Алгазипым. В 4. О решении краевых задач для эволюционных уравнений 1. Устойчивость рнзностных уравнений. В этом параграфе мы рассмотрим вопросы дискретизации краевых задач в несколько ином плане, сосредоточив внимание на вопросах устойчивости разностных уравнений.
Возвратимся к методу решения разностных уравнений с помощью простых итераций н взглянем еще раз на формулу (1.24), которую 754 Глава 10, Кокоторые вопросы числеппого решения краевыс ва1ач теперь запишем в виде уе то — 1 + .(р ссор где разностный оператор.У определяется по формулам (1.6'), (1.3), а г' = (уь: х~ Е Йь) — вектор правых частей.
Соотношение (Ц допускает следующую замечательную интерпретацию. Рассмотрим в цилиндре 'ьс —.. Й х (О, Й1, С К~ ' параболическое уравнение ди д-и, — = 2 ау(х. 1), — с1(ж, 1)и —, ~(х, 1) о=с (2) а ьоь иао — дь'аь + ~~ + йа, о.::1 (3) где Л~ ~— остаточный член аппроксимации, а Ов — вторые центральные разности.
3 а д а ч а 1. Докажите., что если и Е Ис," (М; 'ъь), где т = (4, ..., 4, 2), и = (Мь ..., .тб,.с)., " ~йс < ~ — 6 свах~аз(х, С)~ + — ЯХ~ 12 ' с,с и для него начально-краевую задачу. Эта задача сформулирована в п. 3 2 1 гл. 9. Произведем разностную дискретизацию задачи. Для простоты будем считать, что область Й вЂ . интервал в Рт'.
Рассмотрим сечение цилиндра сгс„ гиперплоскостями с~ = рт (р = О, 1, ..., ~1.,ут~)), где т ) 0 — шаг по переменной с). В каждом сечении Й = Й х (1о = рт) введем сетку, как в и. 2 З 1. Таким образом получим множество узлов Й,ь = ((л". Е'): жв = ()сдйы ..., )п)я), Й Е -в'') в сечении Й, где .Х вЂ” множество мультииндексов таких, что а~ Е Й„. Взяв внутренние узлы в этом сечении и затем их объединение по всем сечениям при р =- 1, 2, ..., (с,Ут1 получим множество внутренних узлов в Жс„и будем обозначать это множество через сеь.
Если дЙ ь — множество граничных узлов, лежащих в Й„то их объединение при р = 1, 2, ..., (1,/т~, а также множество узлов на донышке цилиндра Йо = Й х (0) будем называть множеством граничных узлов и обозначать через д'аю Множество узлов, лежащих на боковой границе цилиндра св = дй х (О. 1, з будем обозначать через Жь. Условимся обозначать через иь значение функции и(а, 1) в узле (ж".
рт). Аналогично будем обозначать и значения сеточной функции ьч (т~, от) — с'. Используя простейшую разностную аппроксимацию, из уравнения (2) получим соотноспение з 4. О релиении краевых вайач длл аввлюцианэьот уравнений 755 Отбрасывая в (3) остаточный член аппроксимации и обозначая через иь приближенное значение решения в узле (х~, ит), получим искомое разностное уравнение и"~ — иь .=. т ~~~ и ь51, иь~ — тдьиь + тЯ.
з .:. 1 (4) Уравнение (4) будет записано во всех узлах (х", ит) й ('ь1, 0 д'оо) 11 1, (вйь с~ йоь) . на боковой поверхности цилиндра илееем граничные условия иь — — .рь, (х, иг) е Я1„ (5) а на донышке цилиндра — начальные условия ,о;о ь иа = У1ь. Х Н 11ол ° Если предположитон что и (ац 1), у(х, 1), Г" (х, Г), ~р(х, 1) не зависят от переменной 1, то система (4) вместе с условиями (5) будет тождественна системе (1), а начальные условия (6) можно трактовать как начальный вектор в простой итерации.
Но в формуле (1) параметр т выступает как итерационный параметр, и мы знаем, что для сходимости простой итерации достаточно потребовать, чтобы было выполнено условие 11 — Л т~ < 1 (7) 2 т < шах Л (8) а мы для простоты потребуем, чтобы (з) для любого собственного значения Л. оператора .х. Если же 1 — Л т~ > 1 для некоторого у, то найдутся начальные данные, для которых последовательные итерации и' будут расти экспоненциально с ростом и. Но, с другой стороны, решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности удовлетворяет принципу максимума, и поэтому естественно потребовать.
чтобы решение сеточной задачи (4)- (6) было ограничено при т, Ь вЂ” 0 равномерно по этим параметрам ~ц. Но если условие (7) будет нарушено, то пи о какой ограниченности не л1ожет быть и речи. Таким образом, здесь мы снова сталкиваемся с тем, что помимо аппроксимации нужно потребовать выполнения некоторых дополнительных условий -- в данном случае это будут условия устойчивости разностных уравнений по начальным данным. О разностных уравнениях, для которых не выполнены условия устойчивости, говорят, что они неустойчивые.
Докажем, что условия (7) и наличие аппроксимации влекут сходимость решения сеточной задачи к решению краевой задачи. Условие (7) будет выполнено, если 756 Глава 10, Нтогпорыс оопросы численного региения краевые оадач Предложение 1. Пусть решение и начально-краевой гадшяи для, угривнения (2) удовлетворяепг условиго и к 1Ъе (М; Ябг.), где г =. (4, ..., 4, 2), ЛХ =. (гЪХг, ..., Мгя.г).
Пуспгь в Ю,„аьяполггеггы неривентпва о, (х, 1) < А (у = 1, 2, ..., 1), ~д(х, е)! < ег и пусть б — погрешнос аь в начальных данных длл гадичи (4).(6), т. е. о„'' . ьг",! < б. Тогда ой — ий < бехр(Х,„Я+Я гехр(1Щ) — 1] ~ — ~~ ЛХгб. + — Мг г~. (10) †(12 Доклзс гкльство. Пусть шй — — ий — ой, вычитая (4) из соотношения (3), емноженного на т, получим — тдй —,й тн йгг (шй Ъ огй ) 4 тйй.
(11) г -. 1 Если узел (хй, от) 6 оой, то в силу ~ашего предположения шй - — —. О. Положим Ъ'о =- шах~явь (н .=. 1, 2,...). Тогда из уравнения (11) в силу й неравенства (9) получиея \" г (я--я Ч г О) Ч яь е ~я„~, г=! г=! откуда < (1 — ' тяг))г' — ' т шах(Лй~. й Из последнего неравенства следует, что Ъ' < (1 — тС~)'Ъ'о.~.т шах Л~~ й,о г1+ (1+ т®) -' ... + (1 -; — тЯ)' г,. На основании зломентарного неравенства 1+ тЯ < ехр(тЯ) получим ъ™ < ъ'с ягх1г(ггЯ) ь я.„г г ехр(гете)— — 1' шах Л~~ ~ и так как от < йео Ъг'о < б, то й. о Ъо' < бекр(С,Я) — бег г'(ехр(е„сг) — 1~ шах/В~~), а учитывая результат задачи (1), получим неравенство (10).
ьг Злмкчлник 1. Если потребовать выполнимости неравенства (8), то справедлив аналогичный результат, но не в равномерной норме, а в сеточной. Замкчлник 2. Условия (7) и (8) важны для скеле с гяостоянныля шагом. Для переменных шагов см. [232, гл. 3, 3 1Ц. З4. О решении краевых эпйаи дал эволюционных уравнений 737 2. Условие Куранта — Фридрихса — Леви. Рассмотрим еще один пример. Для неоднородного уравнения (9.1.32) рассмотрим смешанную задачу дп, ди — — а(х,1) — =7(х,с), (х,1:О<х, г<ж), (12) д1 ' дх ц1ц=о Э'(х)' в(*=о Предположим, что а(:г, 1) > О. (13) Используем уже знакомую разностную аппроксимацию (9,2.13): и~1 п,п и К этим соотношениям присоединим начальные условия о рю=упп т=0,1,. и граничные условия ъ" —.. 6", и —.... О, 1,.
Смысл сделанных стандартных обозначений должен быть понятен читателю. Положим т = мй и запишем соотношения (14) в виде Ъп = (1 меп~)еюп мопЯп — 1+ туп™~ т = 1, 2 ..., и = О. 1,... (17) Допустим, что (18) Тогда нетрудно доказать корректность сделанной дискретизации и уста- новить оценку погрешности приближенного решения. Будем рассматри- вать набор величин (ов, и",...) = еп как элемент пространства последо- вательностей 1, с нормой е (, = впр ~х ,п ~ 0<з<сю (19) Предложение 2. Если емволнеаьс неравенства (13), (18), то )р"" (, < (е (, -т~~ впр,'Е,(-~- шах )у'.
т=е (20) В данном случае вопрос об опенке погрешности легко рассмотреть ис- черпывающим образом. 758 1"лава 10, Некогпорые вопросы числтичого реттсия краевых вадик Доклзлтильсгпо. Так как 1 — оса,"„> О, то из соотношений (18) вытекает, что япр,,:и„",~ <,и" ., + т япр ~ЯО т>1 т>1 откуда и"+ ) < ПтаХ(;и" (, + т яцр!Дг;,гап !). т>1 Будем доказывать неравенство (20) индукцией по верхнему индексу. При п = 0 оно следует из неравенства (21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
