Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 159
Текст из файла (страница 159)
Наше рассуждение не является строгим, а лип>ь эвристическим, цо его можно превратить в строгое, для чего нужно расслютреть периодические задачи по пространственным переменным и несколько иначе определить нормы. 3 а д а ч а 4. Докажите, что условие устойчивости разностной схемы я4. О решении нроеоих эох1оч длл эволюционных рроонений 773 имеет вид т1е ( —,(~ Йэ ) (еой) ЬЧ вЂ” 1 1хенйз х,„: - яэ = ~ )ьехр( 1х1 ь=о Заметим, что и — 1 :р -~- атР,р,„= ~ )ь(1 — 4ахеяш — ) ехр( .
), ь:.—.е и поэтому И вЂ” 1 и —.- 2 ЯЛьехр( ), где Ль —.- 1 — 4аэея1п~(я1 /(2К)). Следовательно, гт — 1 и„", = ~ ~(ьЛь ехр(, ). в=о Если т я л шах ,'Ль 4а — соя — — 1 > 1, Ьз 2У то в решении сеточно11 задачи Коши преобладающей гармоникой булез ехр(, т) = ( — 1)™ ехр( и при большом п и,"„= .Ь вЂ” 1(Лн — 1)" ( — 1) ехр( Поэтому график и" приобретает вид пиль1 с неограниченно возрастающей амплитудой, что приводит к переполнению показателя и остановке компьютера.
Таким образом, при вычислениях бывает очень просто Убедитесь, что полученное условие прн 1 = 2 в точности совпадает с неравенством (8) для чего воспользуйтесь результатом задачи 2 я 1. Легко понять, что будет происходить, если решать задачу Коши, используя уравнение (9.2.25); й' ~' — и" = ахе(и", — 2и,"„— и",). Предположим, что для уравнения тецлопроводности решается задача Коши в классе и-периодических функций. Тогда шаг сетки выберем из условия Ь = яХ 1, и пусть узлы на (О, х' суть хе = ЬтМ 1 (и = О, 1, ..., 1У).
Сеточная функция, определяемая начальными данными, может быть записана в виде 774 Глава 10. Некоторые вопросы численного решение краевых вабач установить, что остановка компьютера вследствие быстрого роста величин вьввана неустойчивостью, поскольку этот рост сопровождается колебательным характером изменения величины. Уже при небольшом вычислительном опыте можно научиться надежно устанавливать наличие неустойчивости, если она возникнет в процессе работы. ЗлмбЧЛНИВ. Мьг исследовали спектральный признак сходимости, не накладывая граничных условий. Последний пример мы рассмотрели, считая, что решение периодично по пространственным переменным. Несложно все рассуждения п.
5 перенести на периодический случай. 3 а д а ч и. 5. Найдите ушювия, при которых разностные схемы (9.2.26), (9.2.27) будут устойчивы при любом соотношении шагов. б. По аналогии с уравнениями (27) напишите трехшюйную разностную схему с постоянными коэффициентами и покажите, как исследование устойчивости трехслойпых схем можег быгь сведено к исследованию устойчивости двухслОйных схем.
7. Для уравнения колебаний струны (9,1.37) исследуйте аппроксимацию и устойчивость следующих разностных схем: о! — г — б — а бли,'*„= 1', тг и г,ы,п — 1 — а [облг~"~ — (1 — 2о)бли" + обло" 1 = 1"". (51) т" Постройте разностную аппроксимацию смешанной задачи для уравнения (9.1.37) в полуполосе (хл 1: О < х < х, 1 гв 0) с нулевыми граничными условиями на боковых сторонах полуполосы.
С помощью дискретного преобразования Фурье решите разностную смешанную задачу. Уклзлнив. К уравнепню (Ы) при ш = 1, 2, ..., Х вЂ” 1, где М = ггб '', нужно присоединить граничные условия (о2) ь;",=О, ил =О, п=О, 1, Чтобы иссчегтовать на устойчивость полученную разностную схему, положим 1","„= О и введем вектор ог" = (и,"л", о,"„)'.
Тогда из (51) получим соотношение Аог~ + Вл;"' = О, тп = 1, 2,..., Л' — 1, (53) где операторы Л и В имеют внд 1 — оа тгбг — (21+(1 — 2о)агтгфл) В )'О 1 — оагх блг) О -'=( '": "') причем оператор бг применяется покомпонентно,а 1 единичный оператор. Уравнения (53) совместно с граничными угшовиями (52) опредеаятот оператор перехода Т: Тш" =" ог".
Оператор Т конвчномвроый, н его спектр можно , » — 1 найти по обычным правилам. Легко вплетен что собственные функции оператора перехода имеют вид т е Сл в1п(яшам/Му) (та .=. 1, 2, ..., Ру — 1), где Сл — двумерный вектор, гюскольку сеточная функция Лол; пз ~-~ вш(ят1е1'11) з4. 0 решении краевых задач длл эволюционных уравнений 775 удовлетворяет граничным условиям (52) и является собственной функцией оператора бю отвечающей собственному значению, равному — кт сйв г .
Поэтому, г 4 . гатт полагая аг„, = ЛСнге, ш,"„' = Сь;рь, получим систему. уравнений ,[+ * ''И -( «».~" хгн)),. 0 — 1 -( - ' -)'= г г, г ь; 0 1з-4оа кг в|в г,', „1(ЛА д ) 1 О где и = тЬ '. Отсюда с1е1(Л 4ь дь) = 0 в силу произвольности Сь и, стало быть, Л удовлетворяет квалрвтному уравнению Л" 2,, Л+1=0, 1 — 2(1 — 2о)а~зг~ е1в [тЛ/(2?Ц)1 1 -~- 4оаг згг з1пг [я/с /(2%)1 Т.
Принцип замороженных коэффициентов. Мы изложили приемы исследования устойчивости при решении задачи Коши для уравнений с постоянными коэффнпиентами. й как быть в случае уравнений с переменными коэффициентами? Для отбраковки разностных схем в этом случае служит так называемый принцип замороженных козффициеншае. Суть этого эвристического приема состоит в следующем. Допустим, что решается задача Коши для уравнения (или системы) 2'( —,,, ..., —: и, х, 1) =- )'.
ди ди ди д1' дхг''''' дхг' (04) Начальные данные ставятся при 1.—. О, и нх вид мы явно не указываем. Но оператору 2' строится оператор —, ди ди ди1 д1' дхг' ' дхг следующим образом. В операторе .У берется сумма главнььх частей и за- тем коэффициенты фиксируются их значениями в некоторой точке их области изменения. Так, например, если ди ди ди ди д ди .У( —,,, ...,,; и, х, 1):— — — ~~~, (а, (х., 1) —,)— д1' дху' ' дхг' ' ' д1 дх. '~ ' дх, 1, г::: 1 1 ди — ~Ь,(х, 1) — — с(х, 1)и, дх, г=у то в качестве оператора У принимается оператор дги ~(ди ди ди) ди ~- д и д1' дхг' ' дхг д1 ' ' дх,дх,' г, 1=1 нз которого следует, что схема будет устойчива прн любом и, если о > 1,?4. ° 776 Глово 10. Некоспорие вопроси ююлст1ого реигспил кроевъ1х задач где (х, 4) — точка из области возможных значений переменных (х, 1).
Затем строятся разностные схемы для задачи Коши для уравнения (54) и делается ее упрощение так, чтобы получить разностную схему для ре- шения задачи Коши — (ди ди ди ) (ос5) Будем считать в нашем примере, что а,. = О при 1 р': 72 одна из возмож- ных разностных схем для уравнения (54) имеет вид ,пв1 и реп 1=1 пг — е 12 "Ьг Спг) Напомним, что Ьь, и чсь, -- операторы разности вперед и назад по пе- ременной хз с шагом 51 (сы.
З 4 гл. 2), а е — -- (511, ..., 511)', а,". = а (хп' — Ьуе /2, пт). Таким образом, схема для уравнения (55), устой- чивость которой надлежит исследовать, будет выглядеть следующим образо ьп и'п 1 ип — аз(х, 4)5ьв и'„', = О. 1=1 Для устойчивости этой схемы нужно потребовать, чтобы , -1 т < 2( ~~ а (х, Ф)5т ) 1=1 и поэтому рекомендуют выбирать шаг на слое п,исходя из условия — 1 т < 2п11ц(р сг (х, лт)б. гЕЙ1 З / 1=1 (56) и выдвигают выполнимость этого у.словия как необходимый признак устойчивости.
Нетрудно понять, что в таком общем виде доказать принцип замороженных коэффициентов нельзя по той причине, что он попросту неверен. В самом деле, в ряде краевых задач корректность задачи определяется младшими членаъш, а мы их отбросили. Вместе с тем удерживать младшие члены при принятой технике исследования устойчивости бессмысленно. Наиболее яркий пример смеспаниой задачи, где корректность краевой задачи определяется младшим членом, является задача о рэлей-тейлоровской неустойчивости, рассмотренная в ЗЗ гл.
5. 14. О решении краееьа: задач длл знолмкионвмя уравнений 777 В этой задаче, несмотря на наличие сильных нелинейностей, ее корректность определялась знаком коэффициента при переменной у в уравнении (5.3.2). Несомненно, что, применяя изложенную методику, мы бы всегда приходили к неустойчивой разностной схеме, поскольку задача становится некорректной при отбрасывании уквзанпого младшего члена.
Если рассматривать классы уравнений или систем, где корректность задачи определяется совокупностью старших однородных членов дифференциального оператора, то здесь мы встречаемся с такими жизненнымн ситуациями, когда при исследовании устойчивости существенна перемен- ность коэффициентов и принцип замороженных коэффициентов неверен. Такого рода случаи бывают в гидродинамике, где корректная постановка смешанной задачи определяется поведением характеристик и переменпость коэффициентов по существу. Тем не менее для широкого класса дифференциальных операторов, которые можно назвать устойчивыми в том смысле, что корректность смешанной задачи определяется однородными старшими членами и характер не меняется прп вариации коэффициентов, принцип замороженных козффициентое леолсно продуктииено использовать в практической делтпельностии.
Естественно, что последнее утверждение не результат теоретических исследований, а эмпирический факт. К тому же, если добавить даже небольпюй вычислительный опыт и учесть простоту обнаружения неустойчивости, то вычислитель сможет легко и уверенно ориентироваться в вопросах устойчивости при проведении вычислений. Обычно в качестве некоторого обоснования принципа замороженных коэффициентов выдвигается следующее соображение. Вдалеке от границ при непрерывных коэффициентах в областях, где коэффициенты слабо меяяются, может укладываться довольно больпюе число узлов сетки. и тогда мы находимся в условиях применимости спектрального признака устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
