Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 163
Текст из файла (страница 163)
Мы уже столкнулись с тем, что самые простые разностные схемы могут быть неустойчивымн, Для гиперболической системы (68) самая естественная разностная схема 792 Гаага 10. Некоторые вопросы численного решения краеаме оайач =. 1.Уен й/(абв). (90) Естественно, возникает идея воспользоваться неявными разностными схомами, чтобы избежать обременительного ограничения на временной шаг. Так, если вместо уравнения (4) использовать неявную схему Ю. — НЬ =тра.а (Егд ЕЬ +(1 — О)оая П')— ры — тд„(пг,",е + (1 — о)нг",) + т( т Е й, (4') где 1/2 < о < 1, то нам придется решать систему болыпого числа уравнений, т.е. мы сталкиваемся с проблемой, обсуждавшейся в 21.
Систему (4') относительно величин н, можно решать каким-либо из указанных вьппе методов, итерационных либо точных. Имеется и другая возможность использовать не систему (4'), а систему (4), но временной шаг подчинять не уешовнн> т < а6, а лишь условию т < а6, и для 2 того, чтобы обеспечить устойчивость, выполнить некоторое количество итераций (см. также замечание 2 п. 1). Оценим снизу необходимое число итераций, отправляясь от разностного уравнения (9.2.27): г" ' — и" = гад~ар"+', полученного в результате дискретизации одномерного уравнения теплопроводности ди!В1 = = адги/длг. Предположим, что иторировать будем по одной из простейших схем, считая, что и+ 1-я итерация получается из и-й итерации по формуле р~'+ 1 = са + тай тг'г т т Ь т неравенства (89), имеет вид 1пах:д '~1г6 ' < 1, и если п1ах ра~ не принимает экстремально больших значений, то, грубо говоря, шаги по времени и по пространству будут одного порядка малости.
Поэтому при решении по явным схемам задач, где фигурируют процессы диффузии или переноса таила и конвективные процессы движения масс газа, нам придется решать задачу при условии, что на временной шаг накладываются условия вида т < а ~6, т < с6 (а и г характерные значения коэффициентов диффузии и скорости ьонвекции), и надо будет выбирать временной шаг, исходя из первого неравенства. Это приводит к неоправданно большому числу операций для получения решения на отрезке (О, 1, . В частности, такая ситуация возникает, когда решается задача о нестационарных течениях вязкой теплопроводной жидкости.
Легко грубо оценить объем вычислений при таком подходе. Пусть решение отыскивается в цилиндре й х О, 1.), а 6 и т —. со- ОтвЕтСтвЕннО СрЕдний шаг пО прОСтранСтву и шаг пО врЕмЕни и й С Ез. Число узлов в й х (пг) очевидно =- б т 'Ъо1 й6 г. В силу локальности разностных уравноний число операций при вычислении величин на п + 1-м счое по величинам на предыдуших слоях по порядку равно числу узлов на слое, и поэтому для вычисления решения в цилиндре й х (О, 1,,) необходимое чисто операций э4.
О решении краевых задач длл зоолюционных уравнений 793 пРичем и„, = и,"а. РезУльтат о+'1-й итеРации пРимем в качестве и"ез, т, с. 1о1 положим и -' = и . Допустимы н другие итерационные процессы. а..г 15 О Важно то, что в сущности воли чины па и+ 1-и слое находятся по формуле ,оьг ч ',а ит х' о~з ит-гз' (91) Будем рассматривать эту разностную схему в предположении, что тЬ" ~ = согзвФ, а т, 6 -- О. Предложение 6. Если разностнал схема (91) аппраксимирует на решениле уравнение из — — аи а с погрешностью 0(т)~+ о(6~) и если она устойчива, то та)(Ьо)~ < (1+ Ст)(2. ди о тв дви, и и~п — У(тп6, (и 1)т) =- ат + т( — ) — ' 2 (д 2 ) и" .
= и(тй+16, пг)) = и" — 16( — ) + (,,) + .. Подставляя эти разложения в формулу (91) и учитывая погрешность аппроксимации, получим и" +т( — ) =и" ~ о +( —,) 6 ~ ~азу дз 62 ( ) ~~, сг уа, 0(та) + о(Ьэ) В силу произвольности ию и (диг'дх)" имеем ), о =- 1, ~ оз з =-. О. Используя соотношение (ди/д1Д = а(д и/дх )", получим с 62 в та — — ~ озУе) ( ) — -- 0(т~) 1 о(6~). з= — о Среди решений уравнения теплопроводности имеются линейные по 1 н квадратичные по х. Таким образом, в силу произвольности (деи/дхз)„"„ имеем 6 — — азу . з= — в Доклзлтвльство.
Пусть и(х, 1) - - произвольное решение уравнения теплопроводности. По формуле Тейлора 794 Глава 10. Неъ,вторые вопросы нгъслснного репгснил краевъае варан Для схемы (91) спектральный признак дает соотношение Л(0) =- ~ оо1 ехр(120), 1=- г г и по условию )Л(д)! < 1+Се. С другой стороны, 2 огу2 = — Л" (О), а по неравенствуБернштейна(см.задачу16ЗЗгл.3) (Лн(0) < с2 Л), < в2(1+ ч- Сс), Отсюда ъо 1 и 1о < ~ иг), < ~ 22Я 2 ио0И' о=о о=о (93) причем последнее неравенство получено на основании (92). Ьа т < — ся(1 р Ст).
2а Гг Доказанный важный результат принадлежит И. М. Гельфанду и О. В. айокуциевскому (237), хотя бьш опубликован в (245). Поквжем, что оценка предлогкения достигается. Применим какой-либо сходящийся итерационный процесс для решения системы (4') с однородными граничными условиями относительно величин и,", ' . Обозначим через шъь! приближенное значение г~, полученное некоторым итерационным процессом; покажем, как строится го", 1. В системе (4') подсташлм вместо ип величины иьп и используем выбранный итерационный процесс. Величины на утй итерации обозначим через иьп г~. По определению положим и~в' —— иь, где в заданное число.
и, 1 п(ъ1 Предполагая, что и,' = иь (и > 1), и„= щп где ыь начальные п,(Ю „а(с) даепгые, определим величины и~п при п —... О, 1, ..., (1ъ т 1,'. Обозначим через и", и", и"1~2 векторы, компоненты которых соответственно равПусть Т оператор перехода, определяемый системой (4') при усло- ВИИ, ЧтО ув =.. О. ТОГда ИЗ (4') ИМЕЕМ ипт1 =- Ти" Р т(71" 11~, ГдЕ а+11'2 и+172 т)"+ ~ вектор с компонентами т(ь (л Е Й), а оператор У определяется из решения системы (4'), егчи в ней положить иьп — — О.
Заметим, что и"~сс~ —.-. Тш" -- тП~"с~~~. Выполняя в итераций на каждом временном слое, получим оценку ,ип1сс1 11гга1~ < ~ип1аъг ип1с1' (92) где ~ ~2 евклидова норма векторов, а, —.* 0 при в 7 оо. заметим, что ИМЕЕТ МЕСТО ПрОСтОЕ тОждветВО и1" — Ю"1~'> = Шпъ' — Ти" — т111 "тиг., Отхуда ига~-1 ип(-о) игп-Ъ1 1Р-Ъ1 + Т(ип,и,п) ПОдатая ип игпй1 — ип~ 'г, имеем шп ~~ — ип 1 = Т(и"" — ип) + и"', откуда шп 1 — ип ~~ = = ир + Тип 1+... + Тпи" Заметим, что ~~~То', :< 1 (~ = О, 1,...), и поэтому 34. О решении краевых задач длл эволюционных уравнений 795 Учтем, что и11О1 = шз, и заметим, что при у > 1 из(' 1 — ие1 = Тип + т1)Х1'Х вЂ” ш' = (Т вЂ” Х)(шз — и') + из+' — из. Поэтому по неравенству треугольника М вЂ” из ~г ( 7 х,'г,'и' — ьз',г л 7 — из г < < 2~ил — из(г + 'из ' — 1з)г.
Комбинируя это неравенство с неравенством (93), получим гш" ' — и"+ г < 2", ~ ~'и~з — из', + -, ~ ф~' — оз~ . 1=1 1'=О Отсюда индукцией по и получим ~111пь1 ипт1 а ( 2 ~, '(1+2Е )п--з,тгт1 1=О Выберем о из расчета, .чтобы е, ( тм (аз ) 1). Тогда (1 + 2е,)" 1 = = ехр((п — Х) (п(1+2е,)) ( ехр(2ее(п — у)) ( ехр(2пт ).
Таким образом, ~и' — и" г ( т ЕХр(2Пт ) ~(игт~ — из г. 1=О (94) и + ьп;, <,ед ио,, + т~П)2 ~~1 фемг Хз — Ыг~ з=1 Используя результат предыдущей задачи, докажите, что (ипе' — и" ~г ( < Сетки'. Применяя неравенство (94), неравенстно троугольника и используя результаты предьедущих задач, имеем и~ ~ — и"~ !г ( (С1(п ю Цт ~ ехр12т' п) + С(т + 6 )~ 1У Х . (95) Ниже при проведении конкретных подсчетов мы примем, что а (х, Х) = = сопес = а. (1 = 1, 2, ..., и). При этом предположении система (4') 3 ад а ч и. 9. Пусть и(х, 1) — решение смешанной задачи для уравнения (2) е области ее = й х (О, 1.) (формулнроеку смешанной задачи см.
е п. 3 31 гл. 9). Допустим, что и и Ие" (М; еь)., 1 =- (4, ..., 4, 3), М = (Мм ..., ЛХ1е1). Принимая о = 1/2, покажите, что ип — и" ~г ( С(т + + 6 )ЛЕ'ег, ГдЕ ип — ВЕКтОр С КООрдИНатаМИ ие = и(а,нт), С вЂ” Каиетаита, зависящая от ЛХм ..., ЛХ1е1, Ле - чисто узлов е глас Й х (пт). 10. Докажите, что 796 Глово !О. Некоторые вопроси численного решенно нроевъее годин будет симметрической, и к ней применимы итерационные методы, изложенные в гл.
8. Однако паши рассуждения пригодны для уравнения — — (а,:(л, 6), ) — у(л., !)и, + !'(т, !). (96) ди, д ди д! дл, и ''длу «,о=1 Единственное требование к разностной схеме - - это симметричнсють матрицы системы на и -г 1-м слое.
В этом случае полученные ниже оценки с небольшими изменениями остаются в силе. Оценим общее число операций при использовании оптимального итерационного процесса второго порядка, определяемого формулой (8.5.32). В данном случае можно положить где и = Л,о!ос!Лп1ег; Ло,ы и Л,„вг сУть минималыюе и максимальное собогненные значения оператора 7 — та 2' ,иЯ . Легко видеть, что Л ы > 1,. ! Л, < 1+4та 2 а 6 -!-т шах,с1„). Для простоты предположим, что — п«-г7з Ь,п !ц =... = 6! = 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
