Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 167
Текст из файла (страница 167)
Тогда класс Хт называется классом иасьнценил метода прибли»кения, а класс последовательностей, слабо эквивалентных последовательности (5 Х»')„Н» -- варлдлам иасьпцсиил. Оо» Наиболее простой способ доказательства соотношений (27) это представить 1 л (х) в вл!де произведения трех многочленов рс(х) =, р (х) — ', рг(х) '— ' [ 1(х) (х — х,), ((х — х,)"' ) — (х -- .,)- - '— И вЂ” 1 1(.) и вычислить значение (рс(х)рг(х)рг(х)) "'~(х,) по формуле Лейбница для производной произведения функций.
Заметим, что в тексте отсутствует доказательство единственности иятерполяционного многочлена Эрмита. рис Современное вычисленне поперечников проведено в работах [159, 160[. Главный итог Э 7 не столько в получении асимптотических формул для величин различных поперечников, сколько в конкретных следствслях для практики вы вселений, проистекающих из этих формул. В этой связи особо обратим внимание на проведенный автором анализ резулывтов теорем 4, 3, 2 по вычислению александровского, сеточного и колмогоровского поперечников, а также на вычисление важнейшей аппроксилсативной характеристики вс(е).
С'г» Исследование насыщаемости разностного метода задачи (18) нисколько ве опирается па определение данное автором в п. 5 5 2 н, по сути, основано на интуитивном понимании насыщаемостн по гладкоети, сводящемся к наличию главного члена в формуле для погрешности метода. 1Л это, подчеркнем, типичная для книги ситуация. Фактически исследуется насыщаемость разностного метода решения задачи Дирихле на изотропных многомерных классах ''и»" (51; 1).
Однако ключевые в гаком исследовании вопросы, каков класс насыщения и чему равен порядок насыщения, остались без ответов. В одномерном случае полное исследование насыщаемости разностного метода решения задачи Дирихле проведено в [158. с. 384 — 38б[. К гл. 4. (Л. Х. Псргалсос»т) с» Длина таблицы й Т») превосходит длину предтаблицы!8п, где и опрес»1 делается согласно (9).
Это связано с тем, что погрешность табулирования складывается из погрешности ашсроксилсации элементами предтаблицы и погрешности задания элементов предтвблицы. Комментарии К гл. 5. (А. 1С Пергамент) Операция дифференцирования А обратна по отношению к интегрированию. Оператор интегрирования А ' впо:ще непрерывен и определен на компакте У. Следовательно, выполнены условия теоремы Тихонова [109, с. 168 — 170[, и оператор А: Х У непрерывен, что подтверждает соотношение (2.2.15). 00 В последнее время в качестве аппарата приближения негладких функций (напримор, из пространств Бесова) используется конструкция многомасштабного приближения.
Она порождает ортонормированный базис, состоящий из сдвигов и растяжений единственной функции. Элементы такого базиса называются зевке!есэ (всплески). Одним из известных примеров такого базиса является базис Хаара. 00 Условие (5) определяет компакт в пространстве аналитических функций, который является примером множества корректности согласно результату Тихонова [168[.
Функция, построенная Адамаром [172[, для достаточгю больших и не удовлетворяет условию (5), но решение задачи Коши для нее существует. Поэтому настоящее утверлгдение автора не совсем аккуратно. РП Следует различать класс корректности и множество корректности по А. Н. Тихонову [109[. На множестве корректности оператор А должен быть не только определен, но и непрерывен. С этой точки зрения каждое Л„д есть множество корректности, в то время как Хк таковым не является, точно так же, как 7гз (1). Во всех примерах, рассмотренных в этом параграфе, включая интегральные уравнения первого рода, классы корректности суть ограничешю компактные множества (п.
1 51 гл 2), а их ограниченные замкнутые подмножества-компакты суть множества корректности. ~ь~ Погеря точности в прямой задаче, решаемой разностными методами, есть результат невозможности учесть наличие бесконечного числа производных у функций и ь(х, 1) для всех 1 ) О. Разностный алгоритм предполагает наличие не более. чем 3-х производных и абсолютно точен для полинома 2-го порядка. Для того, чтобы не происходило потери точности в процессе решения корректных задач (прямая задача теплопроводиости " корректна), необходимо в процессе вычислений перейти от таблицы меньшей точности к таблице большей точности.
(См. об этом ниже метод квазиобращения, начиная с формулы (25).) 1Ю Это заключение верно, если отсутствует описание класса у. Если же известны, в частности, величины, ограничивающие производные до 3-его порядка включительно по пространству и до второго по времени, а также известна оценка точности задания.г, т, е, 1п( [1о — д[ и = 5, где П -- функциональное прове) странство, которому принадлежит л, то можно построить аппроксимацию Р элементом д б У с точностью д, т. е. точность метода кевзиобрашепия равна д 0(о<1длявсех1б О,Т[. П1 пионерные исследования нестационарных задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами в точной постановке (вопросы существования я едипствешюсти решения) были проведены в рабогах [173 — 178[.
Как установил В. И. Налимов [177[ знак градиента давления на свободной границе (т.е. его направление внутрь или во вне жидкости) играет решающую роль для корректности этих задач в классах функций конечной гладкости. Если градиент давления направлен из жидкости, то в точной постановке задачи Коши — Пуассона и Релея — Тейлора в классах функций конечной гладкости оказываются некорректными [178[.
Непросто в этих задачах решается и во- Комменпьарии 813 врос о выводе уравнений малых возмущений произвольных гладких движений жидкости со свободной границей. Оказалось, что в этом случае задача сводится к задаче Коши на свободной границе с неограниченным и нелокальным оператором в банаховом пространстве. При этом упомянутое уравнение обладает свойством гиперболичности лишь при условии, что градиент основного движения направлен внутрь жидкости. При противоположном направлении градиента давления (изнутри жидкости) задача о малых возмущениях становится некорректной гю Адамару (в гидродинамике это явление некорректности называется тейлоровской неустойчивостью [179[ и ей посвящено огромное число работ).
Отметим также, что лннеаризованная задача о малых возмущениях движения идеальной жидкости со свободной границей будет всегда некорректно поставленной, если линеаризация произведена не на точном решении задачи [177). Другой класс некорректных задач гидродинамики: движение вихрей в идеальной жидкости [180 — 183[ (В.
Н. Белых). К гл. 6. (В. Н. Белых) Понятие 1-распределенной пос;тедовательности ввел в науку Г. Вейль 0) [184[ н показал, что 1-распределенные последовательности люэкпо использовать в качестве узлов в процедуре приближенного вычисления интеграла суммами Римана. Теорема 2 не распространяется па функции, интегрируемые по Дебету.
Например, в случае 1 — —. 1, функция Дирихле т(я), козорая равна 1 в рациональных точках и равна 0 в иррациональных точках, интегрнруема по Лебегу (но не по Риману) и [о т(я) Нт = О. Однако, если выбрать 1-распределенную последовательность (б„), состоящую только из рациональных точек (такие последовательности указаны в [184]), то (1/Х) 2 , 'х(б.) = 1 прн любом Я. ~Ю В самом деле, для любого замкнутого отрезка 9 С [О, Ц можно найти такие полуоткрытые отрезки сч и эз, что э~ С 8 С эз н аз — э, < ~4, [а "э~, '< е/4.
Выбрав число Мо (зависящее от эм эз и а) так, чтобы при всех Ж > Хо и ) — -- 1, 2 выполнялись неравенства [э,,'(1 4 е/2) < игг(аз)/А7 < ~а,'(1+ с/2), получим неравенства ин(8)/Х < ья(эз)/А7 <:аз (1+ е,)2) < ([8~ 4 /4)(1 —: 4-г/2) < [а +-, мм(в)(Рч' > игг(а~)7А > э~ (1 — -(2) > ([э — г/4)(1 — ~2) > ~8[ — а. Из них следует, что (пп им Я~И = 9. Х Критерий Вейля не дает, однако, квалифицированной количественной (з) оценки 1-распределеннсти узлов по интервалу 1е.
Для практических намерений необходимы все же критерии, позволюощие оценивать «качество» любого начального участка последовательности [б„). В самом деле. если изменить (или добавить, или выкинуть) любое конечное число точек, то Краспределенность последовательности от этого не изменится, а вот с точки зрения приложения ее к вычислению интеграла подобная процедура способна сильно изменить результат. К примеру, если 10ь начальных точек последовательности (б„) эллохиеь, то рассчитывать на коронную точность квадратурной формулы можно в лучшем случае только при Х > 10 .
Последнее значение числа узлов Х б в квадратурной формуле Римана может оказаться. однако, просто неприемлемым для практических вычислений. Обзор результатов по количественным формам критерия Вейля имеется в книге [185); с современными его версиями можно ознакомиться в [186[. 00 Имшогся так называемые формушя бесконечного порядка [196), Такис квадратурные формулы [197, 198[ точны на любой гармонической в области функции. ~ ~ Приняв формулу (2) в качестве метода приближенного вычисления ин- ~5) теграла, значение числа ее узлов п мы должны выбирать в зависимости от той Кол>меягаар»и точности е, с которой желаем получить ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
