Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 168
Текст из файла (страница 168)
Учитывая это обстоятельство и то, что реальные вычиш>ения производятся с конечным чишюм значащих >оифр, с определенной точностью а> следует задавать в узлах и значения непрерывной функции г Э Л. Оценку снизу допускаемой при этом ошибки >>олучим, исходя из следующих соображений. Поскольку принятый способ вычисления интеграла (1) состоит в его замене квадратурной формулой (2), минимально допускаемая в узлах ошибка функции )' не может быть меньше Е„(г), так как пос.теднее свидетельствовало бы о том, что принятый способ приближения функции г «плох».
И, стало быть, задавать функцию > в узлах с точностью меньшей Е„([) нецелесообразно Поэтому стоит принять ы = Е„(у), но тогда е > Е„(у) ~ [с . В частном случае ш(х) > О значение суммы 2 ~ 'с [ легко >=1 вычисляется. В самом деле, из условия 1 й йег б„следует, что величина суммы достигает своего минимального значения в том случае, когда все коэффициенты с, в пей положительны.
При этом 2 '" >,с> [ — —. / > и (х) г1х. Тем самым квадратурные формулы с положительными коэффициентами имеют особо важное значение для приложений. Благоприятными для реш>ьных вычяш>ений оказываются и квадратурные формулы, у которых 2 > ,'с> ( Л с постоянной Л не зависящей от параметра и. К гл. 8. (А. тй Афендиков) П> Рассл>атриваемый вопрос нетривиален в силу того, что индекс линейной системы уравнений с квадратной матрицей всегда нулевой. В эгоь> параграфе показано, что дискретизация без насыщения за,тачи (1), к которой приводится простейшая задача сопряжения Р>>мана — Гнльберта, дает конечномерную задачу с квадратной ма грицей, которой можно приписать аиндексь.
По-видимому, такое наследование является общим следствием ненасыщаемосги метода дискретизации. Иной подход к задаче Римана — Гильберта (1) основан на аналоге того факта, что оператор Л изменяе> степень тригонометрического полинома достаточно болыпого порядка в точности па величину индекса [218,219). Поэтому в методе коллокации решение и правая часть Г(0) рассматриваются на различных системах точек. Полученная прямоугольная система в случае м > О дополняется до квадратной условиями, выделяющими единственное решение, а в случае м < О вводятся так называемые регуляризирующие переменные, и задача вновь сводится к системе с хорошо обусловленной квадратной матрицей.
Величина регуляризируюших переменных служи> в этом подходе индикатором существования решения. К гл. 9. О> Решение проблемы Гаусса, которое по сути состоит в доказательстве простоты второго собственного значения Л> оператора Гаусса, было получено аналитически (без доказательнььх вычислений) Вирзингом [24б). В [14[ К. И, Бабенко опубликовал более общую теорему об асимптотическом ряде дая гауссовской послсдователыюстя Г„(х) и упомянул результаты Вирзипга. (А.
И. Аптекарев) щ> В последнее время появились далеко идущие диф4>еренциально-геометрические обобщения метода стрельбы [22Ц. Рассмотрение иидуцироваяной задачи на грассмановом многообразии С:(1, С") оказалось особенно плодотворным при численном исследовании спектральных задач об устойчивости локализованных по пространству структур в неограниченных областях, где характерными являются проблемы, связанные с наличием сплошного спектра [222[. При этом, поскольку плюккерово вложение грассмапиана р: Е(к, С") Р(Аь, С) Кол«ме»»торин 815 определяется пересечением линейной системы квадрик, то для шсленного решения необходимо использовать неявные методы Рунге — Кутта — Гаусса— Лежандра, сохраняющие квадратичные инварианты с машинной точностью.
(й. Л. Афендиков) К гл. 10. (Ю. Ь. Радвогин) 01 В бсшьшинстве теорем и примеров этой главы молчаливо предполагается постоянство шагов по пространству. На практике жг приходится, как правило, иметь дело с переменными шагами. Однако перенос на более общий случай не приводит к радикальному изменению оценок, полученных для постоянных шагов.
Строгие результаты см. в [232[. ~ 1 Для уравнений с переменными коэффициентами основным (и, как правило.наиболее трудным местом) является получение оценок, свидетельствующих о том, что оператор перехода корректно определен. Построению и»п еграла энергии и посвящено основное содержание п. 10. Заметим, что требуемые оценки могут быть получены и другим путем [235[. 50 Именно это обстоятельство и препятствует применению принципа замороженных коэффициентов.
Действите.п но. при вариации коэффициентов в ситуации, когда некоторые собственные значения матрицы А обращаются в нуль на границах, возможно качественное изменение структуры условий (69) и, следовательно, постановки смешанной задачи. Но даже при ненулевых собственных значениях на границах принцип за»горо>хе»пнях коэффициентов может оказаться неприменимым.
Рассмотрим простой одномерный скалярный случай — -Ь А(х) — .=- О. дХ ВХ 01 ' дх Пусть Л(л) > 0 при 0 < х < хо и х~ < х < 1, а между хо и я~ коэффициент Л(л) отрицателен (например, А = т~ — я+ 2/9). Граничное условие —. только при г = О. т. к. А(0) > 0 и А(Ц > О. Воспользуемся разностной схелюй (72) при г > 0,5. Для «зал«орожевного» коэффициента Л спектр оператора перехода для задачи Коши без границ не выходит за единичную окружность. Однако данная схема неустойчива применительно к смешанной задаче в силу плохой обус"ювленности соответствующей системы ревностных уравнений. ой Разностная схема (61) является одним из алементов численного метода решения задач сверхзвукового обтекания, созданного К.
И. Бабенко в конце 50-х годов. Метод Бабенко отличает тщательная математическая проработка вСех элемЕнтов, включая расчет формы ударной волны и экономичный алгоритм решения системы линейных разностных уравнений. С помощью этого метода (или его соответствующих модификаций) был выполнен ряд расчетов, результаты которых до настоящего времени ьюгуг быть использованы в кю«естес эталонных [9>10, 19,233[. В 60-х — 70-х годах метод Бабенко является одним из популярных алгоритмов, сочетая высеку«о точность с вычислительной простотой и математической завершенностью.
Позже интерес к этому классу алгоритмов снизился, что связано с появлением схем, позволяющих рассчитывать точения весьма сложной структуры, где требования точности отходят на второй план или могут быть удовлетворены за счет возросших вычислительных мощностей. Тем не менее, отдельные элементы метода Бабенко находят применение и сегодня [234, 236!.
Литература [1] Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологичестгх пространств и общую теорию размерное>пи. Мл Наука, 1973. [2] А1ехапс1го> Р.Б... Пбег дге Пгузопзсбе Копз1ап1еп. — Еппс1а>пенса Маей., 1933, 20, р. 140 — 150. [3] Алберг Д>к., Нильсон Э., Уел>п Д>к., Теория сплайнов и ее прилоаюения. — Мл Ыир, 1972. [4] Алгазин С.Д., О вычислении собственных значений оператора Лапласа и численном решении уравнени Пуассона. М., 1979. [Препринт >' ИПМ АН СССР, №191).
[5] Арнольд В. И., Геометрические методы в теории обыхновенныэ. дифференциальных уравнений. — Ижевск; РХД., 2000. [6] Ахиезер Н.И., Лекции по теории аппроксимации. Мэ Наука, 1965. [7] Ахо А., Хопкрофт Дж., У>тьгзан Дж., Построение и анализ вьгчислительных алгоритмов. Мс Мир, 1979.
[8] Бабенко К. И., Об энтропии одного класса апалитическит функций. — - Научные доклады высшей школы, 1958, №2, с. 9 — 16. [9] Бабенко К.И. и др., Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. — Мс Паука, 1964. [10] Бабенко К. И. и др., Нестационарное обтекание головной части затупленного тела идеаль>гым газоль М., 1969. [Препринт ~' ИПМ АН СССР). [11] Бабенко К.И... О сходимости в среднем кратных рядов Фурье и пел мпп>отпике ядра Дирихле сферических средних,.
— М., 1971. [Препринт !' ИПМ АН СССР, №52). [12] Бабенко К. И., Об одном подходе к оценке качества вычислительных алгоритмов. М., 1974. (Препринт ~' ИПМ АН СССР, №7). 817 Литература [13] Бабенко К. И., Юрьев С. П., Об одной задаче Гаусса - М., 1977. (11репринт ! ИПМ АН СССР, №63). [14[ Бабенко К.И., Об одной задаче. Гаусса, — ДАН СССР, 1978, 238, №5, с. 1021 — 1024.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
