Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 166
Текст из файла (страница 166)
Тем не менее имеется одна его область, которая должна найти отражение в книге, но она полностью обойдена молчанием. Эта область -- программирование вычислительных алгоритмов. Молодому читателю следует учесть, что в настоящее время специалист по численному анализу должен четко знать обе стороны вычислительного алгоритма -- как его математическую семантику, так и его машинное представление. Автор основываясь на собственном опыте, позволит себе дать несколько советов лицам, избирающим своей специальностью численный анализ. Теоретическая сторона численного анализа получение оценок погрешностей, вопросы сходимости численных методов, исследование алгоритмов и т.
п. часто становятся самодовлеющими при занятиях численным анализом, а его прикладная сторона решение задач на ЭВМ в значительной мере игнорируется. Молодому исследователю слелует помнить, что правильные постановки зада ц выбор правильного направления исш|едования могут возникнуть лишь при условии, по ведется повседневная систематическая работа по решению конкретных трудных задач на ЭВМ. И эти задачи должны быть не примерами учебного характера, а трудными естественно-научными проблемами, исследование которых на ЭВМ может продвинуть их решение. Поскольку наиболее яркие успехи численного анализа наблюдаются именно при решении такого рода задач, то исследователю необходимо знать и глубоко понимать содержательную сторону этих задач, т.е.
их механическую или физическую природу, если это задачи из области механики или физики; если же это задачи из области химин (например, квантовой), биологии, экономики, то и в этих областях нужно быть хорошо ориентированным. Это требуется прежде всего для того, чтобы разобрап ся в основной проблеме, которая встает перед исследователем при работе на ЭВМ, проблеме интерпретации полученных результатов. Ведь ситуация, когда ответ заранее известен, встречается лишь в задачах учебного характера; поэтому всегда возникают извечные вопросы: верны ли результаты, полученные на, ЭВМ., или имеется ошибка; обеспечивает ли выбранная дискретизация верность результата с заданной погрешностью? Ответить на эти вопросы можно не путем сравнения точного ответа с величинами, полученными на ЭВМ, а лишь с помощью организации ряда косвенных проверок, некоторых дополнительных вычислений и всостороннем учете содержательной стороны задачи. Чутье на ошибки и умение их обнаруживать вырабатывается только в результате длительного опыта по реппнию на ЭВМ 808 Заключение различного рода задач.
Последующее теоретическое осмысливание полученных результатов и приводит к содержательному развитию теории численных методов и правильным постановкам зады|. Мы уже раныпе неоднократно отмечали, что вопросы тохнологии играл>т огромную роль в жизни вычислителя, н соответствующий багаж можно накопить только при практическом работе. Наконец, последное замечание, Хотя в настоящее время обращение с ЭВМ стало общедоступным и значительно упростилось, перед тем как предпринимать решение задачи, следует тщательно подумать над тем, а следует ли ее решать на ЭВМ.
Может быть, можно путем упрощений (иногда довольно грубых) получить приближенный ответ. который удовлетворит запросы практики. Во всяком случае нужно помнить, что решение сложных задач на ЭВМ -- зто дело многотрудное, требующее от человека большой затраты сил, как физических, так и моральных. Тем читателям, которые прочли нашу книгу, мы советуем перечесть некоторые ее разделы, посвященные исследованию сравнительной эффективности различных алгоритмов, и тщательно продумать их содержание. Комментарии К гл.
2. (В. М, Тихомиров) 01 Сказанное требует уточнений. Пуанкаре высказал идею «индуктивной размерности». Эту идею воплотили в жизнь Брауэр, Урысон и ЛХенгер, что привело к двум определениям индуктивной размерности — большой и малой. Определение разлзерности с помощью кратности покрытий было предложено Дебетом. К гл. 3. (М. Б. Гавриков) ~И Чебгяшевское подпространство размерности 1 в С[Р[ существует всегта. Например, если Хо б С~Р[ -- произвольная не обрашшощаяся в нуль функция (скажем, ненулевая константа), то С вЂ” -- Хо) —.— (оХо[о е ٠— одномерное чебышевское подпространство в С[Р).
00 Равенство Р(х, — е, хм ..., х з) = — Р(т, -' е, хм ..., х . 1), справедливое при достаточно малом з > О, вытекает из предыдущего рассуждения и следующей «гомогопической» леммы: если уы..., у„а зм...,, дое сисгаемы различных точек компакта 1, а бз(1), ..., 8„(1) с 1 б [О, Ц суть неире; рыоные отобрааюенил отрезка [О, 1 о 1, длл которъ~х, оо-асромх,,5.(0) = уь, с»(1) = ь, 1 (~ lс < а и, оо-аторых, точки бг(1), ..., Яъ(1) ноиарно различны ари любом 1 с [О, Ц, то знаки Р(ум ..., у„) и Р(зм ..., з„) оданакооъс 1еперь доказываемое равенство следует из существования непрерывной деформации системы точек хм ..., з, ы х, -з, х„..., х„з в систему точек хм ..., х,, х,з+ е, х «и..., х„.
1. 8»(1) = х», 1 ( й ( 1' — 1, 8»(1) — —. хь и д -~ 1 < Й ( пъ бз(1) .— "- (1 — 1)(хз — е) + 1хз, 8«з(1) = (1 — 1)хз.-'.1(х, — , 'е), 0 < 1 < 1. Доказательство же гомотопической леммы следует из того, что непрерывная вещественная функция р(1) — —. Р(бз (1), ..., 8„(1)) на отрезке [О, Ц не обращается в нуль. ~з~ При доказательстве необходимости неявно используется следующий факт. Множество Е можно представить и притом единственным образом в виде суммы непересекающихся множеств Е = Е1 О Ез О... О Е, для которых (а) Ем ..., Е суть замкнутые непустые множества, (б) Е» < Е» и 1 ( Л < т (в том смысле, что х < у для любых х 6 Еъч у б Еьт) (в) збп г(х) = — в пг(у) для любых х 6 Еь, у б Еь»з, 1 < Л < га. Тогда количество точек искомого альтернанса совпадает с числом т множеств в разложении Е, а сами точки получаются выбором произвольного элемента хь С Е» из каждого Еъ, 1 < й ( т,.
Допущение т ( н приводится к противоречию указанным в доказательстве способом. Доказательство существования указанного разложения Е см. в [43, с. 13 — 16; 188, с. 80 — ЯЦ. РИ Неравенство ,'Х вЂ” р — б)[««< «с не является очевидным и требует специального доказательства, см.[43, с.13-.16; 158, с.82[. 00 Вот более точное определение классов М'"(ЛХ) для нецелых г > О. По определению, М" (Л1) состоит из всех 2к-периодических функций Х:Гс Н, для которых, во-первых, Х б С .(В.), где ' г) — целая часть г, и, во-вторых, Хпчй 6 13р(еь ЛХ), т е. [г) ая производная ) удовлетворяет на Рь условию Дяпшица с константой ЛХ и показателем о = г — гр 810 Ко««ме««шар««и ~ ~ Заключение о сходимости последовательности (р„» ) ошибочно. Из предыдущего доказательства следует лишь сходимосгь некоторой подпоследовательности (у» ).
О,щако отсюда без дополнительных предположений о последовательности (р«») (например, фундаментальности) еще не следует ее сходимость. Проще всего получить доказываемое утверждение рассуждением от противного, см.[158, с.б8-69]. ~ ! Предельное равенство 1пп ш1 впр [к — р[, = м(Х, В), существенно «-ое м „ем использованное в доказательстве, неочевидно. Его можно доказать, применив теорел«у Дини, см.
[!58, с. 2!!]. (з! Определение поперечников ««„, данное в тексте, годится для произвольных множеств (а не только для компактов). Тогда соотношение (23) превращается в легко проверяемое равенство, ~Ю Этот пункт †. одно из центральных мест книги. К. И. Бабенко был пионером построегшя ненасыщаемых алгоритмов. В этой связи необходимо подчеркнуть его роль в осмыслении феномена пасыщаемосги и пропаганде огромных преимушеств ненасьпцаемых алгоритмов.
Данное в тексте определение насыщаемости метода приближения является исторически первой попыткой выразить интуитивную идею насыщаемости по гладкости ва языке строгих математических категорий. Позже, однако, стали видны недостатки предложенной конструкции насыщаел«ости метода приближений. (Это, вероятно, понимал и сам автор, поскольку в книге нет ви одного алгоритма, насьпцаемость или ненасышаемость которого была бы исследована на основе данного им определения). Перечислим их. (1) Предполагается, что классы Х', на которых исш«едуется насыщаемость метода приближения, компактны, однако в подавляющем болыпинстве случаев это не так.
Абзацем ниже рассматривается пример, где классом насыщения является некомпактный класс "«»'" . (П) Предполагается, что с ростом «абстрактной гладкости» «классы Хз вкладывыотся друг в друта (условие !), однако и это, как правило, не выполняется, типичный пример дают классы 'М'" (М; !) (2 = (1, 2,...), г а 2 — «абстрактная гладкость»).
(П1) Требование 2), чтобы аппроксимативные свойства классов Х« улучвзались с ростом абстрактной гладкости ! априори не имеют прямого отношения к насьпцаемости: это свойство выбранных классов Х«, а не метода приближений (по сути, с атил«согласен и автор, что вытекаег из первого же предложения и. 5). (1У) Погревшость насыщения определяется заоедомо неоднозначно, причем даже если ее вычислять с точностью до слабой эквивалентности.
(У) В определении не вскрыта ключевая роль условия Х ф Хо. Кроме того, из определения насыщаемости выпал термин «порядок насыщения», уже использованный в конце 51 и систематически используемый и далее в книге. Наконец, индексы 1 е «не обязательно лежат в Н, чаще всего они являются натуральными числами, а сходимость « -««о заменяется на л ' со. В обшем случае 1 является направленным множеством илк множеством, снабженным фильтром. Учитывая важность понятия насыщения. приведем другую версию этого понятия, отсылая читатечя за подробностями к [158, с. 189 — 203], где разобрано большое число конкретных примеров.
Прежде всего заметим, что от метода приближения для определения насыщения нам нужны только функционалы погрешности, при этом конкретный способ их вычисления ве играет роли. Пусть  — нормированное пространство, для простоты 1 = Х вЂ” множество натуральных чисел и дана последовательность функционалов погрешности некоторого метода приближения е„(к): В [О, оо], п = 1, 2,... (значение -зо не Комментарии исключается).
Определим величины баХ = эир еа(г), ЕХ» называемые погрсшиостлми мсгаода вриблихсе»сссл иа классе Х'. Определение. Метод приближенна с функционалами погрешности е,(х) имеет насыщение на классах Л', .1 Е 1, если найдется ус Е 1, для которого выполнены условия: 1) 1пп Л,.Х» = О, при любом у ч до,' 2) 6„Х» = о(баХ') при и э+х. для»побых л -с 1' -с уо; 3) если ус -с 1, то найдутся х Е Х» и константа С' > О, не зависящая от и, для которых е„(х) > СЛ„Л»а,щя всех достаточно больших п (иными словами, 6 Л"' = О(г„(х)) при п — с 4 со). Из условий 1) .3) следует, что элемент уо 0,1, удовлетворяющий этим условиям, определен однозначно (если существует), а 5„Х» для 1 .с дс конечны за исключением, быть может, конечного лиска индексов и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
