Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 161
Текст из файла (страница 161)
ЛХ 'га) О (Г: Г "- !г 4 ю, !гг !- ЛХгнг .=- а , 0 < р < и), и поэтому она отобрюкает область П на полуплоскость йе, из которой удалена половина внутренности эллипса Ж = (С: Х =- р, -; !н, р- + ЛХ~нг < аг, р > О). Таким образом. корень Лз как фуякция ь отображает область Х2 на внешность круга К, из которой удален образ половины эллипса св.
Аналогично проверяется. что функция С вЂ ...;а © отображает Й на множество Д: Яе < О) ' М, а Ла как функция с отображает область Х! на круг К, к которому нужно добавить образ половины эллипса аХ, Обозначилс через Кс прообраз области Х! при отображении е,': . :— ~ Дя). Ясно, что Кг -- круг Кв с разрезом вдоль отрезка вещественной прямой.
По доказанному функции Л: я ъ Лз(г) и Л: - Ла(г) однолистны в Кг и отображают эту область соответственно на С1(К' св) и КОсл. Поэтому, каково бы ни было Л, ~Л > 1, в Кв лежат три точки -1(Л), гг(Л) и либо з(Л), либо га(Л), где г функции, обратные к Л.; = ъ Л. (=). Пусть О 0 = 1, 2, 3, 4) решения уравнения (64), когда Л = Л.. Без труда можно подсчитать, что з4.
О решении нраеоыт эае1ан длл эоолючионпмх уравнений 783 Зададимся некоторым значением спектрального параметра Л, Л~ ) 1. Как мы установили, ему отвечают три значения ве(Л), зя(Л) и, скажем, ез(Л). По величинам Л и - (Л) определяем вектор цэ, причем величины ~ и ю будем снабжать соответствующими индексами. Так, первая компонента вектора цз будет теперь иметь вид 2эп~зы ~.
Рассмотрим собственную функцию оператора перехода У ~ —.. ехр(410) Л Сэ.'(е (Л) эй, еде С вЂ” комплексные константы, которые подберем так, чтобы выполнялись граничные условия. Пусть Кв~ = ехр(1(й) (ив, ив, рв, ов). Тогда, учитывая (66), имеем ио = гэез з1п оСз + 2эе1 сзыз ~Се, ио = — 2эе1 еЗ Сэ + 4ьа в1п Выз Сз, ро = ЛХ(гЛ вЂ”, 1 — Л)Сз, сто = Си Делая подстановку в граничные условия, найдем, что Сз~ + Сз + -ь ~Сз ~ ф 0 тогда и только тогда., когда км в1пд 2эез~,з ~з ~ -- егЛХ(ЛЛ вЂ” 1 — Л)" з ,,'— 2эгз(Л вЂ” 1)~з 2эезв1по[(Л вЂ” 1)ы ~+,ЗЛХ] Если это уравнение имеет решение, то тем самым будут существовать в области (Л: Л! ) 1) собственные значения разностной краевой задачи.
Это уравнение можно использовать для определения области значений параметров еа,;3, для которых имеются точки дискретного спектра оператора перехода,. лежащие вне круга Ко. Вторая возможность -- когда выбранному значению Л отвечают финкции лз(Л), лз(Л) и е(Л). Этот случай исследуется аналогично приведенному выше. Мы не будем проводить дальнейшие исследования уравнения (67), поскольку этот пункт и так перегружен, да мы и не ставим себе целью получить область значений параметров о, д, при которых не возникает неустойчивость от граничных условий, а лишь хотим п1юдемонстрировать метод исследования.
Исследование непрерывного споктра оператора перехода это особая статья. и мы его опускаем. Отметим только, что в нашем примере спектр заполняет круг К, а окружность дК встречается прн исследовании спектральной задачи для уравнений (61), если их рассматривать при т —...... — 1, О, 1,..., т. е, без граничных условий.
Итак, предлагаемый метод проверки необходимых условий устойчивости смешанной задачи состоит в следующем: 1) убедить:я, что оператор перехода корректно определен; 2) исследовать задачу без граничных значений, используя спектральный признак, и убедиться, что спектр лежит внутри единичного круга; 3) найти собственные функции оператора перехода, возникающие из-за граничных условий, и соответствующие им собственные значения; 784 Глава 19. Некоторые. вопросы численного решения крассов задач ВХ ВЛ вЂ” —; А(х, 1) — = В(я, 1), В1 ' а* (68) где Х: [О, а) Н'. По условию матрица А(х, 1) размером 1 х 1 в области П =.- (л, 1; 0 < в < а, 0 < 1 < 1 ) имеет 1 различных собствешгых значений Лг(т, 1), ..., Л~(т, 1).
Постановка смешанной задачи в (1 зависит от того, сколько собственных значений меньше нуля н сколько больше нуля. Допустим, что ео всей области Л1(:г, 1) »... Л (аб 1) > О > Л е1(я, 1) » ... Л1(г, 1). (69) Тогда смешанная задача Лля системы (68): Х/ „= Хо, Во(1)Я = де(1), Въ(1)Х/ = дг(1) (70) будет корректной в общем положении., если Ве(1) н В,(1) — матрицы размеров г х 1 н г х 1 (г+ г = 1) соответственно имеющие ранге г и а Здесь до = =- (9ес,, до ) н дг .=- (дь,ем..., дп) -- соответственно г-мерный н г-мерный векторы. Но если условие (69) нарушается и при 1 =..
1, < 1, одно или несколько собственных значений обращаются в нульу Тогда корректная постановка задача может измениться прн 1 > 1ь Спрашивается, как в этом случае строить устойчивые разностные схемы' ? Опггсанная ситуация не надумана, а возникает в газовой динамике в задачах обтекания. Ясно, что моделирование системы (68) системой с постоянными коэффициентами не адекватно и принцип замороженных коэффициентов не верен.
Рассмотрим на конкретном примере краевой задачи (68), (70) исследование устойчивости соответствующей разностной задачи с переменными коэффициентами. Возьмем простейшую двухслойную разностную тему, которая получается из схемы (61), если в ней положить А = А "~„,' = А((ш 1 112)1г, (и 9 1)г)т) и В =- О, нуль в правой части заменить на тГ'",, и считать вектор У 1-мерным и снабженным лишь двумя индексами т, п, причем 0 < гл < 61. Граничные условия приобретают вид , еы э! -1 ум В эсу»ес ег а с =до (71) если полный спектр оператора перехода лежит внутри круга (Л: ~Л~ < 1+ + Ст')~, то необходимый признак устойчивости выполнен. с1итателю может показаться, что поскольку от граничных условий может возникнуть лишь конечное число точек дискретного споктра, то и такую проверку делать не нужно, так как неустойчивость может появиться лишь при исключительных значениях параметров, входящих в граничные условия.
К сожалению, бывали случаи, когда благие пожелания по улучшению дискретизации граничных ус.повий приводили как раз к перстей !иности. Мы не даем обоснования в общем виде предлагаемого способа исследования устойчивости. Это можно сделать с помощью метода производящих функций, 10. Переменность коэффициентов. Выше мы уже отмечали, что в ряде случаев принцип замороженных коэффициентов может приводить к неверным результатам, !'азберем один важный пример, имеющий болыпое прикладпоо значение.
Рассмотрим гиперболическую систему первого порядка 34. 0 решении краеоых эодач длл эволюционных уравнений 735 а начальные данные 1'о = Лом, гп = О, Полагая ° гщз +юг а'„',,Хз —— 1+2. ЛА„П, Ь П вЂ” — 1--2- ~А (72) разностную схему запишем в видо (опустив всюду индексы и+ 1 и и, + 112) а„, лХзУ.ю+Ь ьцзУ, =Х гцэ, т,=0,1,...,ЛХ -1.
(73) Граничные условия имеют вид (71), только нужно опустить верхние индексы. Собственные значения д пучка матриц а тлга — дб,гэ имеют вид р, = (1+ 2мЛЛ )(1 — 2эгЛЛэ) и в силу условия (б9),д™! ) 1 (Х = 1, 2, ..., г), )дэ~! < 1 (Х = г А- 1, г — ,' А- 2,...1). Предположим, что при гп = О, 1,..., ЛХ вЂ” 1 собственные значения пучка а лнз — и6 елГз удоалетворяют условиям ии ~>(1 — е ) ', 1=--1 2,...,г„)р )<(1 — е ) Х = г+ 1, г+ 2, ..., 1, (74) где еы связано, вообще говоря, с М и еы > СЛХ '. Допустим еще, что нормированные левые собственные векторы ел~, ..., гй'" матрицы Ь ', нэао лагг равномерно по т линейно независимы, т.
е. выполняется следующее условие на их определитель Грама: О < се < С(п,, ..., гЬ ) < 1, где константа со не зависит от т и ЛХ. Будем считать, что вектор >1 отвечает собственному числу д, . Покажем, как с помощью техники интегралов энергии исследуется устойчивость разностной схемы Щ1. Предположим, что матрица А(х, Х) непрерывная, и поэтому потребуем, чтобы ~о +' - и,'"', .< Ь (э = 1, 2, ..., 1, т —. О, 1, ..., М вЂ” 1), где 6 зависит только от М. В частности, для простоты будем предполагать, что б =- С~ ЛХ '.
Выберем числа о,', подчинив их условиям: 1) о"' =- О (1 = 1, 2, ..., л); 2) и"' > 1 Ц =- г + 1, г + 2, ..., 1); 3) ~о, — о, , '< С~М' ' О = г 1, г —, 2, ..., 1, т = О, 1,..., ЛХ вЂ” 1). Константа Сл будет выбрана ниже. Пусть 1г — матрица, у которой элементы Х-й строки равны компонентам вектора и, г1 (Х = 1, 2,..., 1). Положим Е„, = г'„;'уы. В силу построения Е,„) О. Уравнение (73) умножим слева на Е Ь „',, а затем возьмем скалярное произведение обеих частей полученного равенства с вектоРом 1'„,. В РезУльтате поэлУчим (Е, Ь 'ллгза ЕлгэУ и У ) -'- (Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
