Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 158
Текст из файла (страница 158)
Отсюда выходит г,зелующее Предложение 4. Если выполнены перечисленные выиье условия, то спектральный радиус оператора послойного перехода удовлетворяет соотношению (38) р(Сь) —.. 1. 2(оказлткльство. В силу (2.1.18) р(Сь) = 11ш )(С~",()~7 < Ешь ЛХьп = 1. 768 Глава 10. Некоторые оопросы численного решения крассы а гадач ,и 1 Лиа (39) Делая подстановку в олнородную систему (27), получим уравнение Ллуьо — -- яьо (40) Мы опустили верхний индекс, поскольку он одинаков в обеих частях уравнения. Для решения системы разностных уравнений (40) системы уравнений с постоянными коэффициентами применим подстановку Эйлера (ср. и.
3 3 4 гл. 2), полагая гт = С ехр(1т . О), (41) где С е К" — некоторый вектор. Будем искать ограниченные решения иса и поэтому потребуем, чтобы 0 с Т' (О = (Ое, ..., 0 )). Таким образом, после подстановки в (39) получим (ЛАь(0) — Вь(0)]С вЂ” — О, и поэтому в силу того, что С ~ О, с1ес [ЛАь(0) — Вь(0)] — —. О. (42) Итак., мы пришли к тому жв самому условию., что и выше, из которого определяется спектр оператора перехода, Найдя собствснныв значения, необходимо проверить выполнимость соотношения (38).
Но в силу предположенной одноролности система (27) с нулевой правой частью будет иметь решение и"+г = о„"„о" = сопви Хотя постоянный вектор о = (о,„ = С: т е У ) нв является элементом пространства 1га, он тем не менее является почти собственным вектором, и поэтому точка Л = 1 принадлежит спектру оператора Сь. Таким образом, р(Сь) > 1, откуда и следует (38). ьз Соотношение (38) называют необходимым спектра.льным признаком устойчивости. Проверка необходимого спектрального признака легко производится. Заметим, что если комплексное число Л таково, что матрица Сь(0) — Л1 неособая при любом 0 е Тг, то Л принадлежит резольвентпому множеству, Наоборот, если Л принадлежит резольвентяому множеству, то уравнение (Сл(0) —.
Л1)И(0) = Ф(0) разрешимо при любом векторе Ф б Ьз и ] И з < С(Л)]]Ф]]ы откуда следует, что матрица Сь(0) — Л1 нсособая при любом 0 ~ Т'. Поэтому спектр оператора Сь о(Сь) = эрос Са состоит из собственных значений матрицы Сь(0), когда О пробегает тор Т'. Но собственные значения матрицы Сь(О) совпадают с собственными значениями пучка матриц ЛАь(О) — Вь(0). К задаче о собственных значениях этого пучка мы, естественно, приходим, если в однородной системе (27) рассматривать вектор и" ~ как результат действия некоторого линейного оператора (послойного перехода) на вектор о" н искать собственные значения этого оператора по обычным правилам, полагая э 4. О рыаении краевых эвдач для эввлмционнляе уравнений 769 Злмкчлник.
Если матрица Ль(0) при некотором Вв е Т' особая, то, вообще говоря, уравнение (12) будет иметь неограниченные решения Л(0), и, стало быть, условие (38) не будет выполнено. Поэтому после ТОГО, как установлено,что ьпр Л(0)~ < Оо, веу' (43) то тем самым установлено существование оператора послойного перехода. 6. Применения спектрального анализа. Рассмотрим несколько примеров.
Вначале разберем однородное разностное уравнение (9.2.10), предполагая коэффициент а экэстояниым. Полагая с" ~ = ЛСехр(гтО)., э~,"„= С ехр(гтВ), получим Л вЂ” 1 ехр(40) — ехр( — 40) т ( .' )'- +а )С=О, т Ь, откуда Л = 1 - 21анв1п О, и, следовательно, Л в = 1 — '4атнэвшзО > 1, Итак, для гого этобы проверить выполнимость необходимого признака погээойной устойчивости разностиой схемы с постоянными коэффициентами, надлежит произвести следуюпще вычисления: 1) для однородной системы (27) найти собственные значения оператора перехода. полагая е" ' = Ле", с„", = С ехр(1гп .
В), и затем решить задачу на собственные значения (42); 2) проверить выполнимость необходимого условия (38). Если в результате этого анализа обнаружится, что условие (38) пе выполняется ии при каких соотношениях между шагами сетки, то такая разпостпая схема пе пригодна для вычислений. Спектральный признак устойчивости и проце,тура его проверки па частных случаях разпостиых схем введены Дж, Нейманом.
В свое время это было крупное открытие, поскольку спектральный признак позволил вычислителям очень просто отбраковывать непригодные ревностные схемы и понимать существо тех неприятностей. которые возниквли, когда вычисления велись по неустойчивым разиостным схемам. Предложение 5. Если маэприца Сь(В) приводится к диагональному виду Сь(0) = Р„(В) 41ай(Л (0))Ра(0) и для матрицы Рь(В) выполнены соотношения эпр,,Рь ~(0)1 < ЛХз < ю, эпр ~Рь(0)~э < ЛХз < ж, тв вет' вет' соотцношение (38) влечет, неравенства (34), т. е. невбводимыб признак устойчивости является и двстатвчнь м. Доклзлтнльстно. Поскольку С,",(О) = Р„'(В) сйа8(Л,"(О)) х Рь(0), то',!СьэЪ'))э < Мт,(П1а8(Лв(0))Рь(0)Ъ' ! < эРХтЛХэ' ,Ъ', и и поскольку вектор-функция И(0) п1эоизвольна, то,",.Сь( ) ~( < ЛХзЛХз (и =.
1, 2,...). ьэ 770 Глава 10. Некоторые вопросы численного решения краевых задач если В ф О, к, 2к. Таким образом, рассматриваемая разностная схема неустойчива при любом соотношении шагов (см. предложение 4). 3 ад а ч и. 2. Докажнш, что для разностной схемы (9.2.12) выполнено необходимое условие устойчивости, если а<0, — а <1. Ь (.44) Покажите, что аналогичный результат имеет место для схемы (9.2.13), если а>0, — а <П т 5 (45) Злмвчлниг.. Устойчивость схемы (9.2.13) доказана в и.
2 для переменного коэффициента а(х, г) и смешанной задачи. 3. Докажите, что схема (9.2.15) устойчива, если й — )а! <!. (46) Рассмотрим однородную разностную схему (9.2.18). Это неявная двухслойная разяостная схема. Полагая о" ~ = ЛСехр(1ту), о,"„ = Сехр(гтр)., получим пз (9.2.18) Л = (соз( р/2) — 24 яп(Эо/2) ан(1 — а)) сов(р/2) — 24ана яп(Ээ,~2)~ Отсюда Л~ < 1, если 1 — о < о, т.е о > 1)2. Итак, двухслойная схема (9.2.18) устойчива при любом соотношении шагов, если о > 1/2. Таким образом, анализируя результаты предыдуптих примеров, видим, что неявная разностная схема может удовлетворять необходимому признаку устойчивости при любом соотно|пенин шагов сетки, а явные схемы — лигпь прн жестких ограничениях на величину шагов, которые даются неравенствами (44) — (46), Смысл этих ограничений понятен опи обеспечивают выполнимость условий Куранта — Фридрихса — Леви, и нарушать их недопустимо.
Неявная разпостная схема по своему строению устанавливает для разносгных уравнений бесконечную область зависимости, хотя решение дифференциального уравнения, которое разностные уравнения аппроксимирует, может иметь конечную область зависимости. Таким образом, можно сформулировать следующий полезный эвристический принцип. Пользуясь неявными разностными схемами для решения эволюционных задач, мы можем получить схемы, устойчивые при любом соотношении шагов сетки.
Пользуясь явными разпостнылги схемами, получаем устойчивые разностпые схемы при жестколз ограничении на временной шаг. На жаргоне„бытукзнуем среди вычислителей, эти условия на временной шаг называются условиями Куранта. Продолжим рассмотрение отдельных примеров. Исследуем разностные уравнения (9.2.23) — (9.2.25). Первое из этих уравнений не подходит под нашу теорию, поскольку в него входят величины с трех последующих 24. О решеиио краеоых эадои длл эоол(оциоивых урооиеиий 771 временных слоев. Положение легко исправить, если ввести в качестве искомой сеточную функцию со значенияьш в К~( (с" = (и", и" 1)'.
Тогда уравнение (9.2.23) можно записать в векторном виде: и-~-1,р, а (47) где 2таб(2 1 Уравнение (47) частный' случай уравнения (27). Поэтому полагаем с,"„з =. ЛСехр((т0), сэ" = Сехр(гт0), где С е К . 'Таким образо, после подстановки получим ~с . (2 (. еие( — е+ е«р( 'е(( 1) с 1 О,) где и = гЬ 1, и мы приходим к следующей задаче на собственные значения: (1е1 4аэе(сов Π— 1) — Л 1 Л/ =-11 откуда Л(,г = 2аэе(1 — совО)х и, следовательно, Л( ) 1, если О р О, 21г.
Таким образом, естественная разностная схема (9.2.23) является неустойчивой! (См.предложение 4.) Аналогичная проверка лля разностной схемы (9.2.21) приводит к соотношению ш" ' — ойи(" = О, где /г- 17ь,Т-ь( 1 — 2 Я вЂ” 1-бугаи (' ) (а-гао 1 О )' причем операторы сдвига Т", Т ' определены в п.
1 3 4 гл. 2 и они дейСтВУЮт ПО ПРаВИЛУ Т= иэи = и„,я(. =-6, Таким образом, делая подстановку ша' 1 = Лехр(гтО)С, ш" .= ехр((тд)С, получим ,Г 4ао, 0 Л 1- 2ао', "-Л ) откуда характеристическое уравнение имеет вид 4амсовО 1 — 2аэе = О. 1+ 2аэе 1 — ' 2ам Воспользуемся следующим элементарным фактом из курса школьной алгебры: для того чтобы корни квадратного уравнения хг ' а(х + + ао = О лежали внутри единичного крута (х Е С: (х! ( 1), необходимо и достаточно, чтобы 'а( — аоа( ( 1 — ао (48) 772 Глава >О. Нее<о<порыв вопросы численного решения храееъ>в ги<»ич Отсюда <лелует, что если В р> О, 2я, то корни характеристического уравнения Л> < 1 (» = 1, 2), а при В = О они суть Л! = 1, Лз = — (1— — 2аг<)»'(1 = 2ам).
Для разяостной схемы (9.2.24) выполняется необходимый спектральный признак устойчивости при произвольном соотношении шагов. Тем не менее эта схема негибкая, и она аппраксимирует уравнение теплопроводности лишь при т = о(6) (см. задачу 3 З 2 гл. 9). Используя прелложение 5 и очевидный факт, что в данном случае матрицы Рь и Р>, имеют вид (Л> Лз ) > ) (Л> — Лз) — Лв(Л> — Лз) = ( — (Л, — Л,) -' Л,(Л, — Л.)-' заключаем, .что схема устойчива, если Л> ф Лз, т. е. если 2ам < 1, Можно показать устойчивость схемы и при 2ам > 1.
В случае схемы (9.2.25) имеем Л = 1 4 ах<(ехр(>В) - - 2 — ехр( — 1В)) = 1 — 4ан <йп (В/2). Отсюда ~Л < 1, если т<!)»>г < 1,<2, (49) а если это условие нарушается, то схема неустойчива (см. предложение 2 п. 1). Условие (49) целесообразно сравнить с условием (8), полученным для уравнения теплопроводности в более общем слу.чае. Мы молчаливо предполагаем, что а > О, что соответствует прямой задаче теплопроводности. При а < О получаем обратную задачу теплопроводности, которая рассматривалась в гл.
5, где отмечался ее некорректный характер. Поэтому и предложенная схема неустойчива при а < О, Возникает вопрос: нельзя ли написать устойчивую разностную схему для уравнения обратной теплопроводности или для системы Коши — Риманау Ответ очевиден нельзя. В самом деле. если бы можно было написать разностную схему, аппроксимирующую уравнений подобного рода и устойчивую, то по теореме 2 бьша бы гарантирована сходимость. Поэтому для плотного множества начальных данных, для которого существует решение обратной задачи либо системы Коши — Римана, мы бы имели ограниченное решение разностной задачи, а в силу сходимости и ограниченное решение дифференциальной задачи, что невозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
