Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 153
Текст из файла (страница 153)
О (1 = 1, 2,...). Таким образок!, собственные значения Ло (! = = 1, 2,., ) однократные, а Лг, (~ — 1, 2,,, 1с ) 1) двукратные. В дшшом слу.чае конечномерная задача имеет вид Легко установить вид собственных функций и характер спекзра матрицы — !8!, Для этого учтем ее блочное строение, Пусть 2), -- воктор вида Легко проверить, что матрица !4!ь! иь!ест собственные значения Л;(11 1) = (2п! 1) о(ЛЛ 1), э = О, 1,..., и!, (36) Л,(й, 1) = (2п! 8 Ц !тяп !,(7с, 1), э = и! Р 1,, 2п!, которыл! отвечают собственные векторы я!, соответственно. Пусть 1' -- матрица, у которой э-й столбец равен вектору !О,.
Тогда, полагая Лы = Жаб(Л,(й, 1)) "'„. получим !э!и = РйыР (31) 744 Глоео 10. Некогпорыс вопросы введенного решения краевые оадоч Введем вектор, составленный из блоков ХЯ~ (2 = 1, 2: ., п)2) г) = (хг2)м ..., Л„ггй),)'. Он будет собственным вектором матрицы — Ж, если ве почины Лы ....."~,О удовлетворяют условиям (32) — Л,((г, 1)хг = рйс., )с = 1, 2,..., п,г2, потому что нз них в силу формул (31) следует, что — сйг1 = ргь дг Таким образом, собственные значения матргш ( — Л,(с, Ц) ъ,, — — ЛХ, будут собственнымн значениями матрицы Я. Итак, при г = 0 получше, вообще говоря, и)2 однократных собственных значений, а прн е = 1, 2, ..., пг получим пч групп двукратных собственных значений, ввиду того что Л(г,ч ъг .
= 3|, (с =. = 1, 2,, пг), как это слелует из формул (30). Мы употребили выражение «вообще говоря» потому, что не дали аналитического доказательства простоты собственных значений матриц М, (е — — О. 1,..., и:), а установили этн факты с полгощью вычислений. Таблица 1. Величины (рго,,) О и нули функции,7 о Приведем некоторые численные резулыаты.
Возьмем л = 60, гъг = 41; таким образом, матрица с4 имеет размер 1230 х 1230. Для ее хранения требуется всего 18900 ячеек памяти, поскольку таково количество ее различных элементов. Так как пс = 41 (т.е. 2 20+ 1), то можно рассчитать„гго приближенно получим некоторое количество нулей функций Бесселя дь при 0 ( й ( 20. 'Чтобы не загромождать текст обилием таблиц, приведем небольшую табл. 1 собственных:значений задачи (32) пр~ с = 20, обозначаемых ниже через ого м Итак, даже для )с = 20 мы с высокой точностью определяем более 1о нулей функции Бесселя дю По табл. 1,легко прослеживаются характерные черты ненасыщаемых методов.
П Пгнмкг 2. Рассмотрим задачу на собственные значения в области П = — —. (ъ: б — — г(1 4 г г'6), ф (~ 1), ограниченной так называемой эпитрохоидой. С демонстрапионными целями вычисления производились в три этапа. Вначале с числом узлов Х = 104 (и/2 .— — 8, йпъ + 1 = 13) решалась полная задача на собс.твенные значения (29) с использованием стандартных программ ъгй-алгрритма. Зателг полу.ченные собственные векторы переинтерполировались на другую сетку с числом узлов Лс — — 820 (гъ/2 = 20, 2пг - 1 — -- 41) и вычисления продолжались с использованием степенного метода отыскания собственных значений (см. п.
8 35 гл. 8). Наконец, производилась переинтерполяция с 820 узлов на 1230 узлов (п)2 — — 30, 2пг -' 1 = 41) и опять применялся степенной метод. Выло вычислено шесть первых собственных значений, причем э 3. Несколько замечаний а построении алзоритмоо без насыщения 745 число итераций на последнем шаге было: 6, з, 3,3,8, 7.
В табл. 2 приведены в средних трех колонках квадратные корни из первых шести собственных значений, а в последней колонке нули функцин Бесселя — квадратные корни из собственных значензш для круга. Следует обратить внимание, что второе и третье собственные значения для области 52 по пи совпадают. Теория возмущений спектра оператора Лапласа при возмущении границы области позволяет утвер>кдатгь что кратные собственные значения, которые ил~еются в круге при возмущении, «расползаются», причем наиболее сильно <расползаются» четвертое и тринадцатое собственные значения.
Этот тонкий эффект набгподается даже в короткой табл '2, что видно по значениям и Л«и »Д~ (сильное «расползание») и ъ'Лг и ъ Лз (слабое «расползание»). Таблица 2. Квадратные корни из собственных значений „~Л, для области (1„ ограниченной эпнтрохондой н окружностью дН Область Число узлов Круг 12:50 820 104 2,38444650947 3,73481!60260 3,73481160262 4,60299170652 5,21305408452 5,40987176981 2,38444650951 3,73481!60266 3,73481160266 4,60299170623 5,21305408444 5,40987176985 Из табл. 2 лгы заключаем.
что уже при Х = 104 с высокой точностью получаем первые шесть собственных значений рассматриваемой спектральной задачи, хотя граница области содержит четыре точки, в которых модуль кривизны 140. Учитывая высокую эффективность предлагаемого способа дискретизации задачи на собственные значения, мы считаем., что в практической деятельности не целесообразно брать большие значения 5У, а следует ограничиваться числом узлов 100 †: 120 и использовать следующую дискретизацию зада«и (27): (Ж ъ о2)»5 = Лол«5, где Ж =- ( — (Аи»)(з)/ ) и и — — сйа8(4( «)) г, г»' = сйай(р(зз)), Матрица Ж рассмотрона выше в предложении 2. Поскольку 9» — диагональная матрица, то., полагая 9'»5 = 6, получим стандартную алгебраическую задачу на собственные значения: (Ж 5 о2) «Р (33) которую можно решать при небольших Н, пользуясь гзН-алгоритме»ь (2 5.
Асимптотическая симметричность матриц дискретизации. Многочисленные расчеты показывают, что матрица 'З вЂ” -- »4!»Р адекватно отображает свойства оператора — А '. Но сразу же обращает па себя внимание следующее обстоятельство: мы решаем самосопряженную спектральную задачу, если функции 9(г), .р(г) вещественные, а л»атрипы 'З, »Р тем не менее 1 2 3 5 6 7 8 2, 3844»!5 3, 7347 3, 7347 4, 6024 5, 208 5 405 5,9362 5,9416 2,40483 3,83171 3.,83171 5,13562 5, 13562 5, 52008 6, 38016 6., 38016 746 Глава 10, Нееогпорые вопросы щщлениого решения краевых задач несимметрические.
Конечно, .желательно, чтобы в результате дискретизации мы псшучили конечномерную задачу на собственные значения для симметрической матрицы, Как показывает рассматриваемый пример, это вовсе не обязательно; но желательно. чтобы получаемая матрица была симметризуемой, хотя бы аснмптотически.
Этому условию удовлетворяет матрица гд, а значит, и матрица В. Обозначим через с, узлы квадратурной формулы (6,3.9), определяемые соотношениями (6.5.6), но занумерованные одним индексом, точно так же, как и узлы, по которым строится дискретизация спектральной задачи. Пусть Ж = сйай(сз); ы Я = (е1м),'"е, =- ЖЖ. Оказывается, что матрица У асимптотически симметрична. Можно бы дать теоретическое обоснование этому факту, но мы привелп лишь табл.
3, заимствованную нз )4]. Таблица 3. Величины 'еЬ, — е1,~ для различного числа узлов Ь1 в круге В Злмгченигь Мы не приводим точного определения термина еасимптотическая симметричность»: приведенная таблица достаточно ясно показывает, что мы под этим понимаем. Если прн решении спектральной задачи матрипу У симметризоватгь вве- дЯ в Расчет матРипУ (9+ Я')еЕ2, то этим мы довольно сильно подпоРтим наш метод решения спектральной задачи, поскольку погрешность определения собственных значений и собственных функций сильно возрастет. Мы не останавливаемся на решении спектральной задачи при граничных условиях второго и третьего рода.
Подробности о решении этих задач можно найти в )16), где приведены также примеры расчетов, 3 а д а ч а б. Считая, что Ь б С (е)) (1 = 1, 2), дайте обобщение результатов пп. 1 — 3 на краевые задачи для у.равнения — (ЛиНх) -~- Ь!(х), -~- Ьз(х) -~- с(х) и(х) — — у(х), х б ее. (31) ди(х) ди(х) дх1 дхз Зкмгчкпнк. Решение этой задачи будет первым шагом к построению алгоритма без насыщения для решения краевых задач для общего эллиптического уравнения второго порядка Нам представляется, что такие алгоритмы будут созданы,и для определенных классов задач их использование будет сулить значительные выгоды по сравнению с методами разностными или конечных элементов.
3 3. Несколько замечаний а ностроенигг аягорнглягов без насгго1еггия 747 6. Бигармоническая задача. Остальные примеры будут относиться к бигармошгчсской задаче. В п. 2 3 1 гл. 9 мы приводили формулировки краевых задач для бигармонического уравнения (см. (9.1.27)-(9,1,29)). Если от области П перейти к кругу В, то гя(~ р'(л)~ гягг) = ~гг'(х)~ «, я = техр(гВ), 0 ( т ( 1, и),= О, дг — =- О, Дг ('';(," - ~.+ .— .(,"",,(;))1',") (35) (36) (38) (1'( )! (л К=) = / а(, «)( («)!'у(«)а, -, г,( ), (39) где ге:  — > В. — гармоническая функция, причем го)а — —. г>, ян л гг(В), если г г — — ехр(гВ).
Умножив соотношение (39) на )г>'( ) ~ и обратив еще раз оператор Лапласа, с учетом (36) получим о(я) = / С (г, «) «г(«)г«ог, (40) где 6(г) = !р'(я)! '(1 «г(г, «)!1>'(«)! Х(«)с«ог — 'го(г) в Функцию го(л) представим с помощью интеграла Пуассона: г, . ( ) = ~ 6;(; В) трг(В) ВВ. и В формуле (40) поло>килг «г(л) = !>и(л; 6) 1- Кн(х; 6) и саму функцию «г(л) запишем в виде где функция )гь(г) строится следующим образом. Положим 2 ф(В) = ~ Рг( — Вг.) йгг 4 г .(В; ф), 4+ >=о причем последнее граничное условие — условие опирания по краю — записано с учетом того, что на дВ выполняется условие (36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
