Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 154
Текст из файла (страница 154)
Такгггг образом, будут рассматриваться краевая зада>а (35)-(37), отвечающая жестко закрепленной пластинке, и краевая задача (35), (36), (38), отвечаю>лая опертой пластинке. Обратим в уравнении (35) оператор Лапласа, тогда получим 748 Гласа 10, Некоторые вопросы численного решения краеоыг гадин где д; = 2ху/(2й+ 1). Тогда гь гь Я )=,„'„~',Г '(г;~)~ь(~-~1)~~=-~ 'г;(), г=о где дд(г) —,, ~ Ко(г; д)О,( — В,)дд. о Таким образом, если принять, что пг = ... п~ и 1.
= пм то нз формулы (40) следует соотношение М Л г с(г) = ~ дг(г)!Ф (гг)! (~ ~д.(гг)!зг (г.)/ У. + 2 у.(гг)Ю,) +бы(г), (41) о=1 с=1 =о где бы(г) - погрешность аппроксимации. Мы не удовлетворили второму граничному условию. Запишем его в виде (.есо)(г)~,= О., (12) где М вЂ” дифференпиальный оператор. опроделяемый соотношением (37) или (38). Положим (Мдг)(г)~ .о — — а„.г, пг = О, 1... 2пы 1 — "- 1, 2, ..., Х, и удовлетворим граничному условию (42) в точках г,= ехр(10,1 (с=О, 1,...
..., 2пг), но не точно, а приближенно, отбросив величины ( Фбн)( ) ~ е1 о„,1' Таким образом, получим систему линейных уравнений и ( и го~ ~ а„о ! 1о'(г~ ) ! ( ~ д, ( г ) ! 1с(г, ) / 7., 1 ~ д, (гз ) ш, ~ —.- О, с=1 =1 =о т — О, 1,, 2пг (13) для опрсдоления величин оп (о = О, 1,, 2пг).
Ограничивая соотношение (41) на мноясество узлов и отбрасывая в нем остаточный член аппроксимации Ои(г), найдем приближенные значения величин о( ь) (й = 1, 2, ..., Щ, обозначаемые ниже через пь: Л Х г г1ь = ~' дг( с)!Р (гг)! ~)' д (гг)!Ф (г )) 1г -'-~' д (гз)хс) = О, с=1 а ..-о й =- О, 1,, с1. (44) Решив систему (43) относительно неизвестных ан и подставив найденные значения в (44), попу.чим приближенное решение краевой задачи для бигармонического уравнения. Положим О „= ~ ~а ~1с (г )~ до(гу), (45) г д и са =- — ~ с, ~ а д)да(гд)~ д дь(гд))у (гь)~ 7ь (46) Положим г»д г д г1гр — — ~ д,(гд) ~ с,,а г, дд р.=- 1, 2,, Х, =а =а и введем лдатрипу У = (г(др) д'.
Используя эти обозначения н подставляя в (44) найдешдые значения ве,личин Ф„получим О =- ~ дд(гь)~Р'(г )~ ~ д ( )) Р'(г )~ У— О=д .— д и и и — д (гь))р'(г1)! ~ ~г(дг(р'(гг)) ~ ~0.-(гг)/р'(г,)! 7,. (47) Пусть Ф =- г()ай(/р'(гд)! ),. В матричном виде формулу (47) можно записать следующим образом: д) — (.гг.' — ЖОМ') Г, (46) где Ж вЂ” -- дОФ, Š— -- ()'д д..., 7гд), д1 .— —. (Од,, д1л) . Ыы пройзвели чисто формальный вывод, не обосновав возможность обРшцениа матРипы (Ь„м)г",'„. ПРедполагаа, что ~Р'(г)) = 1, РассмотРим бшдее подробно этот вопрос.
Пусть г = гехр(гд); нетрудно проворить, что д д,(г) =. ~ г соэи(Π— О,), где штрих у знака суммы означает, что слагаемое а = 0 берется с коэффи- дпиентом 172. Рассмотрим формулу для д,(г), для удобства занумеруем узлы двумя индексами, и пусть индекс Ь( отвечает индексу 1. Тогда, предполагая, что оператор .Об отвечает граничному условию (36), получим д аао = Ц ~соъа(дда — Од) / Р ~'(дь(Р) — ( — 1)'ть(Р)1г(Р. 4п, — 1 =а о Величины Ь,ад будут определяться по формуле (45), где ~За'~ —:. 1 и суммирование ведется по двулд индексам — й и 1: г, !г д Ь, =, ~ ~) дд соэи(Π— Ог) / р '(Ыр) - ( — 1)"ть(р)]дрх д=о д=д =:о д х ~ г~~ сов р(дд — О,). Э 3.
Несколько аажсчаний а пастраенаа аягаратлдае без ддасьдо1еддая 749 и пусть с,„е — элементы матрицы С, обратной к матрице (Ь „)г"', а. Тогда 750 Глава 10, Нез:о«порыв вопросы чпслсыного решшгил краевых вадик Вычисляя сумму по «, получим «г Ь„„.—. ~ ~~ г~ сов * / рз '1«з(р) — ( — Ц" гз(р) 22р =.
з=г е =о о 1 4 ' 2лр(т — з) Р сов, 1 р" ~~» „"«з(р)2р. 2«м- 1 2п, У1 о=о о ь=1 Поскопьку при р ( п — 1 ~ гг «з(р) — «з": в=1 то прин« (и — 1 1 2л(гп — з) р 2п1 -'- 1 2пг Ь 1 з:=о Итак, в данном случае матрица (Ь, .) г"', о является циркулянтом. Обратная матрица лсгко вычиечяется, и мы получим 2л(т — з)р с, ~ («г-Е1)соз,, т, з — --О, 1, ...,2пп 2пг 1 2п..-. 1 з=о Таким образом, при решении системы (43) фактически леы имеем дело с про- цедурой дп«)гференцпрованпл, поскольку г г 1 с.,а, = ~ (р —,~1)~ а„сов з-авшп, 2лрт 2.«рт 1 =.о з=о 2п -Е1 " 2пг т1) где г, г 1 2лрт 2 ~г 2л«гт а„— -- з а„, сов ег„—.
7 а,з сбп 2гг« -~- 1 '- 2пг -1- 1' " 2пи — 1 '- 2пг -1- 1 ° =о =о В общем случае, когда зп, ф О, следует ожидать, что при решении системы (43) мы стешкнемся с таким же аффектом, и если о (,у' ( 3, то соп«1 (Ьы,) „",'„о х вц«г,«п. Вычисления подтверждашт зто предположение. Полученный результат совершенно очевиден. В самом деле, учитывая (40) и полагая 6(з) —. )«с'(г) ~ (Ьо(г)+во(з)), сделаем подстановку в граничное условие (42). Тогда М(«2(, «)), О, Ьо(«)«2о, -'; / Л4(С(, «)) .,1«. ~зг'(«)~'по(«)««о, = О, и поскольку г АХ(С(, «)1 1 з ~гг'(«)~ оо(«)е«аг = / б«(О)ЖО, р)йгг, 3 3.
Несколько замечаний о иострошпш алеоритжпе без насыщения 751 где ядро Я'(д, д) мы в явном виде не выписываем, то уравнение (49) приводится к виду г (50) М'(д, д)4'(д)г(д = д(д), о т.е. является интегральным уравне~шеы первого рода (см. п. 2 3 2 гл. 5). Ядро х'(О, д), когда ~ эд ~ = 1, зависит лишь от разности аргументов и является ядром типа, определенного формулой (2.2.8), в которой нужно положить г = 1. Таким образом, чтобы определить щ, нужно про;цгфферепцировать д. Это мы и установили на дискретном уровне.
Если же рассматривать граничное условие (38), то в уравнении (50) ядро будет уже сингулярным, н обратный оператор к интегральному оператору (50) будет ограниченным. Возвратимся к формуле (48); опа дает решение задачи об изгибе пластинки под действием внешней нагрузки. Решение задачи сведено к умножению матрицы на вектор, причем н в данном случае возможно умножение матрнпы на вектор г учетом структуры матрицы гй и тем самым возлюжна значительная экономия в числе операций.
Предыдущие рассуждения, проведенные при решении уравнения Палласа, сохраняют силу и для случая матрицы У. Если рассматривать задачу о свободных колебаниях пластинки, нужно положить г" = Ли, что в дискретном виде влечет Е =. Лг1. Таким образом мы получаем стандартную алгебраическую задачу на собственные зна юения (51) Когда Ю невелико, возможно решение полной задачи на собственные значения на основе ъ)й-алгоритма, При больших йг мы применяли степенной метод, Пгнмкг 3. Пусть область (1 является кругом, т. е. й = Н.
Как известно., в данной задаче на собственные значения переменные разделяются, и поэтому возможно ее свести к одномерной. В дабл. 4 во второй колонке приведены результаты расчета по двумерной метогщке, а в третьей — для сравнения собственные значения, полученные по одномерной методике при 100 узлах. В расчетах принимался коэфФициент Пуассона и = 0.25, В двумерной методике Лг = 820 (и (2 = 20, 2п1 4- 1 = 41). ъз Пгимкг 4. В этом примере рассматриваются свободные колебания пластины, ограниченной эпитрохоидой П = (Ъ": Ъ" = з(1 - с~/6), 'в, '( 1).
Расчет производился для различного чиста узлов Дг = 104, 205, 410, 820, 1230. В табл. 5 приводятся собственные значения защемленной пластины, а в табл. б — свободно опертой пластины. Выражение (п,г2) х (2п1 —, 1) означает, что берется п1'2 окружностей и па каждой окружности берется 2п1 .~- 1 узлов. П Нами рассматривались и другие задачи на собсз венные значения и задачи об изгибе пластины. В частности, в некоторых задачах конформное отображение находилось численно.
К алгоритму конформного отображения данный метод решения спектральной задачи предьявляег довольно высокие гребонания по точности, поскольку требуется знание ', где зъ -. отображающая фу.нкция. Подводем некоторые итоги. Прежде всего у читателя может возникнуть естественный вопрос: почему нарядг с широко известными и исключительно любимыми прикладниками методами, такими, как ревностный н конечных 752 Глооо 10. Некогпорие еопросм численного рглиени краеоъст задач Таблица 4.
Однократные собственные значения круглой пластины Л; Методика Пластина одномерная двумерная 104,363105916 1581,74636379 7939,.54527889 25022,1915197 61014.15878о2 104,3631056 1581,744 7939,549 25022,26 61012 Защемлешгая 23,62085804 879,8434 5491,016 19177,1548 49356 23,6208580299 879,843510932 5491,02409476 19177,1544172 49357,5252428 Свободно опертая Таблица 5.
Собственные значения Л, защемленной пластины, огршсиченной эпитрохоидой Чпсло чзлов 104(8 х 13) 205(5 х 41) 410(10х41) 820(20х41) 1230(30х 41) Таблица 6. Собственные значения Л, свободно опертой пластины, ограниченной эпитрохоидой Число узлов 205(5 х 41) 410(!О х 41) 1230(30 х 41) 820(20 х 41) 68,283 242,702 245,203 389,321 726,904 68,2813430387 242,697315693 245,197370928 389,320337997 726,900124761 68,28134302 242,6973158 245,1973708 389,3203381 726,9001235 68,7 244 247 3887 элементов, автор счел целесообразным рассказать и о подходе, основанном на нелокальном способе аппроксимации? Во-первых, потому,что хотелось хоть что-то рассказать о численном решении простейших задач на собственные значения.
Рекомендовать читателю пользоваться разностнымп методами при численном репсении задачи о колебаниях мембраны (пластины) с гладкой границей автор не решился, поскольку у>ко в одномерном случае были обнаруже- 1 2 3 4 6 7 8 9 10 119 452 459 827 1329 1657 1991 2018 3263 3428 122,о8 461,80 461,84 827,0 1326 1698 2041 2042 3654 3653 122,60360 461,8863 461,9195 827,2752 1329,6928 1701,433 2036,1185 2036,3867 3639,464 3639,159 122,603650158 461,886402882 461,9195728 827,275347 1329,69367744 1701,4343766 2036,11887 2036,3871404 3639,46578 3639,16092 122,603650157 461,886402889 461,919572661 827,275346369 1329,69367743 1701,43437638 2036,11887644 2036 38714010 3639,46577182 3639,16089134 з1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
