Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 151
Текст из файла (страница 151)
Воспользуемся интерпопяционным многочленом (3.5,15), в котором узлы выберем, как в задаче 2 6 5 гл. 3; узлы г ь и соответствуюп1ие им фундаментальные многочлены 1гь(х) занумеруем одним индексом и обозначим через,, 1,( ) (в = 1, 2,..., 62) соответственно. Тогда интерполяционный многочлен запишется в виде 33. Несколько замен«тий о построении алзоритллов без насисцепия 735 где»«.— -- (а,з) — матрица размером Х х Х, элементы которой имеют внд а, = дну(»з), где д„= дз(»,), д. (») = / С(», «)«з(«)с«оь в (2) Отбрасывая погрешность аппроксимации б и обозначая через Ч приближенное значение вектора с, получим вскомую дискретизацию задачи (2) (1 — ««)г« = а, (8) где 1 — единичная матрица. Наш способ действий оправдан в том случае, если гладкость функции д не меньше, чем гладкость искомого решегшя о(»).
В про- тивном случае положим е(») = Рм(»; и) — , '1«н(»; е), рн(») =- З~ С(», «)д(«)йн(«1 и)г«оз в и 6 — --,1рн. Тогда из уравнония (3) получим соотношение С вЂ” «ба=ацд; (б') здесь И = (с,з) — матрица размером р«х М, элементы которой имеют внд с,,з = сз(»,), где Р') с, (») = / С(», «) д(«) 1 («) ««оз в Отбрасывая погрешность аппроксимации д и обозначая приближенное значение вектора С через Ъ, получим еще одну дискретизацию задачи (2): (8') (1 — сз)ц .— -- а. 3 ад а ч и. 1. Докажите, что для любого е В '~~ум(»)( < С, «=1 где константа С не зависит ни от , ни от М. Следствие. Чебышевская норма матрицы В удовлетворяет неравенству Ф < СМ 2.
В интерполяционном многочлене (3.5.15) положим и« =... = пь п = 21, и = пы Если д е С'(В), то )сз(») — д(.,) д(»з)! < Сд 1нХ вЂ” в« ~1") д (, где ) ( — норма в С,В). 51ы будем кратки в дальнейшем изложении и будем интересоваться в основном ш«горитмической стороной вопроса, а вопросы опенки погрешнскти обрисуем вскользь. В форме задач отгаетим несколько предложений, которые нам потре- буются. 736 Глава 10.
Некоулорые вопросы часленного решенил краевых задач 3. Докажите, что если функция д удовлетворяет условиям п1уедыдущей задачи и» ( Н '" (уо — некоторая констанга), зо )сз(»)! ~ (СеУ )д)~, ° Докажем разрешимость уравнений (8) и (8'), предположив, что однородная краевая задача (2) имеег только тривиальное решение. Тогда интегральное уравнение (3) будет разреунимо при любой правой части, Пусть а =- = (аь ..., ан) Е Сн — произвольный вектор и рн(», а) — интерполяционный многочлен вида (3.5.15), принимающий в узле -, значение а, (з = 1, 2, ..., Ж). Решим уравнение (3) с правой частью Р(») = рн(», а); решение и(») представим в виде о(») =.
рн(»; а) -!- ш( ). Тогда ш(») удовлетворяет уравнению (») — ~ С(», с) 9(1). (У)д = н(»), в (9) где Н(4 =- / С(», ») д(С) р(й а)сЬь (10) Н(») —.— ~ ~а,с,(»), »=1 и поэтому, принимая во внимание результаты задач 1 — 3, получим ,'Н~ ( ( Сз!а,.„и, стало быть, оз ( (у1!а. (11) Интеграл в левой части уравнения (9) имеет точно такую же структуру, как и интеграл (10), только функпию р нужно заменить на ш. Поэтому рассуждения о гладкости автоматически переносятся и на этот интеграл.
Учитывая неравенство (11), получим, что оу б Ь!р (1 "- и) с константой Липшипа, не превосходящей Сз!9) (,'ш „+ !р!е,). Отсюда, согласно результату, сформулированному в 5 5 гл. 3 в виде задачи 3, полу.чим !уо(») . Рч (»:,, оу) ! < Се;9' (Ц -!- )р) ) Ж 0 !у»!и уу. (12) К уравнению (3) с правой частью рн(»; а) применим второй способ дискре- тизации, и поскольку Ян(»; с) — — Йн(»; оу), то, учитывая (11), (12), пешучим нз (5'). что /рн(»)! <Се)д!, ()р),.—.
о,.~)М "+'"!пв Я. (13) Как и выше, положим 5 =,ус; замечая, что Ур(; а) = а, получим соотношение б —.!Об=а — , '5, 5=Урн. (14) Из неравенства (13) следует,что Ф) <СМ (,Р„+1)~а~ М "+""ейлзж, Поскольку ядро С(», у) имеет лоуарифмическую особенность, то функция Н(») имеет частные производные дН,Уд», дНу д», и поскольку эти производные представляются интегралами со слабой особенностью, то по известной теореме (79) дНуд», дНудз б Ь!р а (О < о < Ц, причем константа Липшица не превосходит величины Сс,'9 'р' . Уравнение (9) разрешимо, ео! ( З~Н' .
Из (10) следует, что 33. Несколько замсчавий о построении алгоритмов без наскидсния 737 где Рн, — константа Дебета интерполяционного многочлена (3.5.15). У'читывая результат задачи 2 35 гл. 3, мы видим, что ~б < е,,'а, 'при др ) Хо, где 0 < ео < 1. Поскольку и(г) .— — р(г; и), ш(г), 6 = а + даз и в силу неравенства (11), ~6 < (уг т 1)~а~ . Поэтому, согласно предложению 4 35 гл.
9, уравнение (8') разрешимо при любой правой части„и (15) Из утверждения задачи (11) следует. что ((7 — Ь) ~ ~ ( С4-1, и, следовательно, при Х ) Лц совс1~(1 — ч1) < <Со (16) Из полученного результата легко следует следующее Предложение 1. Пусть однороднал задача (2) имеет только гприоиальное решение, а пуспгь д 6 Сг'Н), М ) ойо.
Тогда уравнение (8') разреипгно при любой правой части а. Если полозюить и(г) = ~ ~6г(з(я), то и — г ~ (Гб(1-!- ~Рн( ) Е (и), (17) где Е (о) — наилучшее приблазюение решения задача (3) с помощью много- членов из надпространства Зг (гп, = ппп(п. 1), пг, ..., т). Доказяткльство. Разрешимость уравнения (8') нами доказана. Пусть ь = ((м ..., (н)~ — решение. Вычитая из соотношения (6') соотношение (8'), получим (1 — б)(6 — ~) = б, откуда в силу неравенства (15) !6 — ф~ < (Зд —, + 1)(1 — ЕО) ' 6~об.
ИСПОЛЬЗуя ОЧЕВИДНОЕ СООТНОШЕНИЕ ь(г) — и(г) =- Рн(з:, и) — и(г) - Нн(г; и) — - ) (чсз — Ы 1з(з) -~ Нн(-' и) получим )и -- и( < Рн (6 — ~' ,4- )Нзб(; е)! Замечая, что из формулы (5) следует неравенство )д! < (ррн( )! < ( Сб йн( ' ' е)! Полз гим )и — и ( Сб(1 ч- )Рн)~ >)(йн(; и)! читывая результат задачи 1 3 5 гл. 3 и неравенство Лебега, имеем оценку ~йн(; и)( < (1+,Рн! )Е, (ь), из которой и предыдущего неравенства летучим неравенство (17). П 3 а д а ч а 4.
Пусть выполнены условия предложения 1. Докажите, что н уравнение (8) разрешимо при любой правой части, и если и(г) = 2 чс,1,(г), то о=1 и — и „, ( Сг(1+ ~Рн'...) (Е,„(и) ' Ею(диЯ~. (18) Замкчяник. В силу результата задачи 2 и неравенства (16) совд „(1— — 1Ц < Со. 738 Глава 10. Некогпорые вопросы численного решснил краевых задач 2. Разрешимость дискретных задач. Исследуем вопрос о решении уравнений (8) и (8'). Предположим, что О > О. Е'ассмотрим однородную задачу (2) с однородным граничным условием и потенциалом дд (д б С). Допустим, что она имеет нетривиальное решение ь.
Умножая уравнение (2) на Э и интегрируя цо «ругу В. получим 8гад к~~с!о. -Р- Д г(* фо'. док = О. Отсюда д вещественно, р < О, и поэтому шр / 8гадь'~ сро„~ ~ О,'ш! до, < дг,бгас1ь до,~ дг гр~о! дсг, = — д, где нижняя грань берется по функциям класса Игг (В]. Но отношение в левой части неравенства — известное отношение Рэлея, и нижняя грань равна минимальному собственному значению Лг спектральной задачи Ли ь Лчи — -- О, и)зв — —. О. Пусть область РР(Л, е) получается удалелиеъг из круга (р Е С: д < В) сектор а (Л Е С: (аг (р -~- ОЛд) — к! < =-), где 0 < рр < 1, Если р Е рр(й, е), зо однородная задача (2) с однородным граничным условием и потенцказом дд не имеет нетривиальных решений. Стало быть, система (8'), получаемая в результате дискретизации задачи (2), будет всегда разрешима.
'Георема 1. Систему (8') лгооюно реиготь методом простой итерации: = (1 — о)ц —, аЬг,"';г аа, где о > О, причем итерации стодлтсл со скоростью геомегпрической тррогрес- сии, знаменвгпель порпорой р < 1 не зовисит ат М. Докязлткпьствсь Рассмотрим спектрвшьный радиус матрицы з — -- (1— — о)г -р- орб. Если Л вЂ” ее собственное значение, то матрица (1 — о — Л)г -' агб необратима. Но эта матрица получается при дискретизации задачи (2), если потенциал равен —, „о(л). Поэтому, учктывая вышесказанное, получим, что — а(1 — о — Л) г ф РР(Л, ).
Если )а(1 — о — Л) ~( > Л, то (Л вЂ” (1 — о)! < ой при 0 < а < 1, и поэтому при Л > 1 'Л, < 1 — о(1 — Л г) < 1. (19) Если же ~аг8( — сг(1 - о —. Л) ' т РРЛг) — к~ < е, то из этого неравенства легко выводится неравенство ОЛр — о(1 — о — йе Л) < О., откуда следует, что (20) 1 — о — — < НеЛ< 1 — о. рл Учитывая, что е « 1, из нерравенств (19), (20) следует, что при подходящем выборе о спектральный радиус ть матрицы рб удовлетворяет неравенству гв < < р < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
