Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 147
Текст из файла (страница 147)
'= ')Сэ,), поскольку ,'(Вэ !ш = вр 74' Вм а В) 73„= С'Сэ, Поэтому без ограничения общности можно считать. что треугольники йз и а. имеют общую вершину и углы при этой вершине равны и, т.е. наименьшему углу в йэ и х/2 соответствеяно, а большая сторона й, равная 1сп лежит на одном из катетов треугольника а..
Этого всегда можно добиться параллельным переносом, поворотом и отражением относительно одной из сторон треугольника й,. Если кз — длина второй стороны й, смежной с углом и, то, как нетрудно сосчитать, )'Ь расово') -г 1'х,' — 1е,'ссяо ') ) О йзсйпо/ ' э 1 О й, (е1по) ~/ ' Отсюда ~ В, ~~' — 1с,'+ аа, )( — ')('— и поэтому,,~!3, "( > 1, если й~ < 1; последнее условие мы будем считать выполненным. Заметим, что из неравенства треугольника следует, что 1з ) й~/2. Поэтому для того, чтобы ограничить (В '(~, потребуем, чтобы минимальный угол треугольника Й, удовлетворял условию (48) где по не зависит ни от д', ни от триангуляции области й.
Обозначая йе через Ьэ, о через о, и используя неравенство (47), получим соотношение )(у — р(, ф: йэ)(, < Аз з, йзм (~р; й;~,ш 149) из которого уже легко получить оценку правой части неравенства 141). Про- суммируем неравенства (49) по у' в пределах от 1 до Х; найдем, что ~~1а — р(, ф; й, ~~, < 5. 2 Аз з ~ ~6~ '" зпз 'з п,)Эа; Й,)шз; 720 Глава Нб Некоторые вопросы численного решснил краевыя,задач положим 6 = шах 6 и затрубим это неравенство. Тогда 6 ]] р — р], з ); Й,]] < В,„г, ]ад Й],„„ с0) где В,„г —.- 5йг 2'"ггА г.
Применим это неравенство к функции ио. Тогда на основании неравенств ]33), ]41) получим следующее 11редггоженне 3. Пусть й = ] ] йг, где симплексы Й рдовлетвормогп г' -1 условию ]48). Допрспгам, что решение вариационного уравнения ]30) принадлеясит ггроспгранству Иггю]й). Тогда, если ишгольврется аффинно-подобная иптерполлцил и степень интерполлционного многочлена не нихсе т, — 1, гао 6 ],'ио — и ]г < В,г .
]ио; Й! г. е!и оо (51) ио — и„; й]ог < <С6 ]ио; Й] .г, !52) если выполнены ограничения, налагаемые на триангуляцию. Рядом исследователей (библиографию н детали см. в [106]) получены оценки погрешности приближенного решения в равномерной норме. Если решение ио б И г~(Й) задачи Днрихле для уравнения Лапласа принадлежит пространству И', !Й),то 1 ~Юг — „;Й, <С',6г! — „] 'ш:Й]г 1 ,ио — и: й г < Сгб!и — ]ио; й,г 6 Напомним, что и ,Й, /(~~- ]г ]г) '«) С помощью этого предложения можно получить оценку погрешности для конкретных примеров краевых задач. Неравенство !5Ц получено при ограничиваюьчих предпааоженнях об области й — она должна быть многоугольником. Однако от этих предположений можно освободиться, Для этого можно использовать элементы с криволинейными границами либо аппроксимировать область Й многоугольником ]многогранником в К ) и подменить исходную краевую задачу задачей в аппроксиз мирующей области.
Мы не будем рассматривать более детально эти трудные вопросы, а отонтем читателя к специальным монографивм по методу конечных элементов, например ]106]. Отметим, что оценка ]51) остается справедливой для произвольных областей й с границей дй с' С в случае краевых задач для эллиптического у.равнения второго порядка, Можно получить оценку погрешности в норме 1г(й). 'Гак, для задачи Дирихле для уравнения второго порядка имеет место оценка 32. Вариациазтме мегподы реизезп л краевых,задач 721 Недостаток всех приведенных оценок следующий.
Малость правой части характеризуется степенью шазв Ь и не связывается с размерностью и = с((ш лг конечномерного надпространства, хотя основным парахгетром задачи является именно число узлов. Связь величин п и 6 не простая, но если наложить на триангуляцию требование 6, > В6, где В > Π— некоторое фиксированное чишю, отграниченное от нуля при 6 О, то можно ее установить. Если зз' -- число элелзентов, то в плоском случае Уйо1 й (Вз1'з'в1п о) а есин применяется интерполяционный многочлен степезпз Й, то, считая, что узлы берутся на одномерных ребрах, получим п = (314Н6 —; 2Н6+ 1)ж 4- 0(Х), и при 6 » 1 очевидно, что п = (Зз'4)(6+ 2)(6 — ЦХ и, следовательно, 6= (6 — 2)(6 —; 1)Мо1 й) з!з =( пВз в1п о Наличие мнов<ителя (6+ 2)(6+ 1) весьма неприятно потому, что оценки погрешности через число узлов будут фактически содержать большой числюшый коэффициент.
Мы рассмотрели теоретический аспект оценки погрешности., хотя нужно было бы учесть влияние погрешностей в определении элеменз он матрицы жесткости и возможного вззиягпзя криволинейности границы области, но недостаток места не позволяет это сделать. Правая часть неравенства (49) подсказывает оптимальньш способ триангуляции области й: размеры симплексов нужно выбирать таким образом, чтобы выполнялось соотношение )г -г ио; йз~ вз 1, 3 = 1, я1в~ оз Именно с учетом этого требования строился спвайн, позволивший в теореме 2 3 7 гл. 3 дать оценку александровского поперечника сверху.
Нарушение приведенного условия приводит к неоптнмальности процесса приближения. Однако реализовать практически такого рода триангуляцию возможно лишь прн неоднократном решении одной и той же задачи, организуя первый проход программы для определения участков болыпих з рвдиептов решения н затем производя повторное построение триангуляции и повторное решение задачи. Такого рода деятельность довольно сложна и требует больших затрат,и, скорее всего. она практически не осуществляется. Мы рекомензгуем читателю вновь возвратиться к гл. 3 и вспомнить то,что говорилось о поперечниках, особенно сеточном и александровском. 11.
Метод конечных элементов для расчета потенциального обтекания несжимаемой жидкостью. Рассмотрим численный пример н проследим за тем, какие же вопросы существенны при проектировании численного алгоритма решения краевой задачи методом конечных элементов. Задача обтекания тела Т потенциальным потоком несжимаемой жидкости сводится к отысканию потенциала скорости Ф вЂ”. функпии, гармонической вне 722 Глода 10. Некогпорме вопросы численного решения краевых годок обтекаемого тела Т.
Потенциал скорости удовлетворяет граничным условиям на теле дФ) — =О, дп Одт где п — внутренняя нормаль к телу Т и в бесконечности йгаг1Ф 7 Уг Ьез ограничения общности можно принять, что скорость на бесконечности И = (1, О, О) и что тело Т имеет диаметр, равный 2. В п. б мы рассмотрели аналогичную задачу об обтекании тела сжимаемой жидкостью. Предельным переходом при М - — О, т. е. при а — 7 оо, можно от задачи о сжимаемом течении перейти к задаче о несжимаемом течении, но функционал (28) для этого нужно подправить, и, поскольку мы этого не сделали, сформулируем экстремальную задачу заново. Пусть Ф = тг — 7о; тогда р гармонична в области й.— Н.з 'у Т, — = сод(п, х7), сд О при ~х, ос.
дуд (53) дп дт В п. 2 5 1 гл. 9 мы указывали, что условия (53) обеспечивают единственность решения внешней задачи Неймана. Вариационная формулировка ее сггедующая (см. задачи 4, 5): 1(Я = (Ф, 7(7) — 2 / йк(дт —.7!п(', дт где 6: х б дТ э сов(п, хг), (р, Ф) =. 1 йгас177 бгад гудя есть билинейный и функционал, а нижняя грань берется по пространству Иго (й). Наше утверждение о том, что нижняя грань вычисляется по пространству И', (й), нуждается в разъяснении из-за неограниченности области й. В случае ограниченных областей норма в этом пространстве была определена формулой (9).
Но если для ограниченных областей неравенство 1 , 'кгад и ~дх ( сс влекло неравенство ) ~и~~дх ( оо. то для неограниченных областей это уже неверно. В этолг нас убеждают самые простые примеры. Если й = К~ 77 (х: 'х~ ( г), то фупкпия и(х) = ~х 7 удовлетворяет первому неравенству и не удовлетворяет второму. Поэтому возникает опасность, что стабое решение не ле.кит в пространстве ИЯ(й). К счастью, в случае зада пг обтекания все обстоит благополучно. В самом деле, функция 77, гармоническая в бесконечности, может быть представлена в ниде 77(х) = а77 х, +, где многоточием представлены члены порядка 0(~х~ г).
Отсюда (йтиХ )(х) ОЦх! ). Поэтому поток через сферу (х: ~х~ = Л) равен , в до =- — 7' [, + 0((х) ~))до —.- — 4ка-~-0(17 ). дп 1 х'- ИЬ. к )г'-:и 5 2. Вариацнеясиме мешеды решеяп л краевых задач 723 Но, с другой стороны, поток несжияяаеьяояй жидкости через любую замкнутую поверхность равен нулю, если внутри нет источников и стоков. По условию поток через поверхность тела Т равен д~.
г я!о =- / сое(п, хя)от — — О, дп и поэтому в силу произвольности й получим а = О. Следовательно, у(х) = = О(,'х, ,'з) н р й ! (Й). Если бы стоял вопрос о решении задачи Дирихле, нам бы нужно было изменить определоние пространства, в котором решается экстремальная задача. Таким образом, вариационное уравнение для определения слабого решения имеет вид (Р, УЯ) -- / !ЯЯ! Я!о = О ЧЯУ й И'з~ (П), (54) ет координатах то в классе функций, не зависящих от д, (ец яр) = 2яг / '(( — ) -ь ( —,) ~ у дхя(у. пе Найдем вид линейного функционала, фигурирующего в формуле (54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
