Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 143
Текст из файла (страница 143)
Если р1х) — внешняя сила., приложенная к пластине, отнесенная к единице площади ее поверхности и направленная по нормали к ней (норксально к плоскости (хм хз)), то потенциальная энергия равна И вЂ”.— — / ри с)х. Уравнение равновосия пластины можно найти из условия минимума полной энергии Г ч- )С Производя вариацию по обычным правилам и обозначая вариацию прогиба через и, получим к(г г|=сг~~(а',— о 'рогов дс.'ки д 1 дги дзи д и — / [, ч- с1 — а) —,( — в)п2В(, г —, „) + сов 2В, )) исЬ+ ,/ ди до 2 дх", дх-,' дхсс)х з ди ° /(а а-- )'са кг, — и» г, — В,)) — г ), (кк) дхсдхз дхс дх, дп до где В -- угоч между внешней нормалью и к д11 и положительным направлением оси хы д,сдо -- дифференцирование по длине дуги о линии дП.
12. Вариащааивие мешедм решет л краеаих задач 701 Мы не будем приводить вывод этого соотношения (читатель может в ви- де упражнения проделать его сам либо найти в )7Ц). Из формулы (23) следует, что уравнение равновесия пластины имеет вид Ь~и — П ~р =-. О, (24) дти . 2 дэи 2 дти, (Ли+ (1-. е)(в1п20 —. зш~Π— сов~В )) =- О дх2 дх2 дх2 дх2 дп и приводится к виду (9.1.29) с помощью простых преобразований.
За- метим, что уравнение (24) мы бы получили как уравнение Эйлера для функционала 1(и) = ~(Ьи) е)х — — ~ риеех, 2 11/ по правильные граничные условия получатся только, если рассматривать функционал Р или билинейную форму (25) Теперь уже легко формализовать задачу о пластине и навести необходимую строгость. Расслютрим случай заделанной пластины. Будем ото правляться от пространства Игз (й), являющегося замыканием множества Се~(й) в норме ,а((2 и Заметим, что если и е- ИЯ(й), то (Ьп) е1х = /~ |,В,Г1 и)~ е)х.
(26) а граничные условия получаются из рассмотрения контурных интегралов. Если края пластины заделаны, то и =- О, — =- О, а тогда и вада дп " дп риация и должна удовлетворять этим условиям. Если края пластины (или часть края) свободны, то в силу произвольности и и д" градн да дп ничные условия получаются приравниванием нулю квадратных скобок в интегралах по границе.
Граничные условия (9.1.29) получаются для опертой пластины. Тогда и~ „= О, а второе граничное условие в силу произвольности ди/дп имеет вид 702 Глава 20. Некоторые вопросы численного решенил краевых ваоач В самом деле, достаточно доказать это равенство для и Е Св (й). Имеем ) ~(п,п, Г г* - ) ~~(п,' Гг* ~ ~(сепг )г1гк; й й ~Фг но если воспользоваться теоремой Остроградского, .то имеет место цепоч- ка очевидных формул (Р,Руи)ойх =- ~(Р,Р и)Р,(Р,,и)йх.= = / 1г,'ВгиР,1л и)йх —.
/ Р, иВ (В, и)йх = и й —. — / РвиР (Р~и)йх, —.- / РэиРгийх, что и доказывает соотношение (26). На ы Е Игэ~й) норма ~~. ~~ и полунорма (~2 а Ег) .а(=2 эквивалентны. о Поскольку, как легко видеть, для и Е Игэ (й) а, ) = Д (а Е"е( — ) ~ ( "Г1г*= ~(ло г. и ° ., й ,'а)=2 й то билинейная форма (25) эллиптична и, о левидно, ограничена на И'22~й). Отсюда функционал 1(п) = (и, и) - 2В' ' 1 рийх имеет едипственньш экстремальный элемент ив на Игэ(й). В Иг22(й) определен оператор следа сг В "и на дй, и поэтому И'2(й) .—. ) и Е И'2(й): и)эо.— — О, — ) = О), Вариационное уравнение для слабого решения ие имеет вид о (Ь ао — Р р)ил)х = 0 лги е И'2 (й). 2 2.
Вариацзсозззсме мегподм реозет л краеемх задач 703 ~а — )8>'ас1 „о,~>с' М, 1 = О, >=1 (27) где а- некоторая константа, зависяшая от числа Маха н стремящаяся к оо прн ЛХ, — О. Одной нз наиболее интересных задач для этого уравнения является задача обтекания, когда решение ищется в дополнении к некоторой области Т до всего пространства Пз. Обычно дТ удовлетворяет условию Липшица. Граничные условия ставятся на дТ и при х —. оо: — —... О, йгас1 сз — (1, .О, 0) щ>и ~х, '— з ж.
до ди 'ат Формально уравнение (27) является уравнением Эйлера для экстремаль- ной задачи Т~д) = ' сав — 1)зцз ~з — (а~ -- 'йгас1 со ) ' ~ )с1х †1п1, (28) 2у / где й = Рь' сс Т, Однако в данпои задаче дело не обстоит так просто., поскольку нужно правильно учесть граничные условия на бесконечности. К со>калепию, в даяном примере построить содержательную теорию только за счет изощренных определений не удается. и трудными вопросалссс здесь являются вопросы о том, в каком пространстве искать минимум функционала и каков в действительности его внд. В заключение отм|етим, что нз линейных задач мы касались только самосопряженных задач. Однако тождество (б) пригодно и для несамосопряженных задач, и если обеспечить эллиптичность формы (и, ю), .то можно показать единственность слабого решения и применимость методов Петрова и Бубнова †Галерки.
7. Метод Ритца дли эллиптических задач. Пусть М' — полное нормированное пространство (., ):,сс' х ой' — П вЂ” непрерывная симметрическая билинейная форма. Допустим, что эта форма зс'-эллиптична, и пусть Ди) =. (и, и). -2 р(и), гле,о -- линейный функционал на Ж'. Как уже указывалось, метод Ритца отыскания слабого решения ио, дающего экстремум задаче Ци) ш1, с 29) 6. Уравнение для потенциала течении сжимаемой жидкости. Мы рассмотрели линейные краевые задачи. Изложенный подход тривиальным образом обобщается на нелинейные задачи, когда нижняя грань квадратичного функционала ищется не во всем пространстве оус', а только в некотором выпуклом множестве Ф' с Ж.
Но особенно интересный случай мы имеем для нелинейных эллиптических уравнений. Одним из ярких примеров такого рода уравнений является уравнение для потенциального течения сжимаемой жидкости. Если ~д — потенциал скоростей, то это уравпенио в Рьз имеет вид 704 Гласа Нб Некоторые вопросы численного решения краеоых ладан состоит в следующем. Вьюерем в М' базис (е,) и рассматриваелг в гс' надпространство эг'и, натянутое на элементы е1, ..., е„. Воспользуемся предложением 2 п. 4 Э 4 гл.
9. Элемент и„, дающий решение задачи (29) в подпространстве гУГ", имеет вид и„= 2 ' чсэеэг где величины с О = 1:-. 1 = 1, 2, ..., и) находятся из системы уравнений (9.5.17). Матрица этой системы — матрица Грама (см. э 3 гл. 2). Неравенство (9.4.21) дает оценку погрешности в энергети эеской норме ((иа — и„)) < б(иа, Ж"). Поскольку элементы е. (у' —.. 1, 2,...) образуют базис в М', то иа = ~ Одеон 1=1 и этот ряд сходится в норме пространства Ус, а стало быть, и в энерге- тической норме.
поскольку она эквивалентна исходной норме. Так как то последовательность (и„)аа сходится к слабому решению. Тем самым обоснование метода Ритца получено, но, как уже неоднократно указывалось, формальное доказательство сходимости в численном анализе само по себе мало что дает. В действительности требуется ОЦЕНКа УбЫВаНИЯ ВЕЛИЧИН а(иаг,УС") (П вЂ” 1, Х-',...) В ЗаВИСИМОСтИ От искомого элемента иа, а точнее, в зависимости от свойств того компакта, в который нужно его включить.
Следующим важнейшим вопросом является вопрос о выборе базиса (ет)',.',, поскольку свойства базиса самым тесным образом связана с тем, как растет леера обус ювленности матрицы С„= ((е„еэ)) ь 1=1 при возрастании п, !!деальным выбором с гатой точки зрения является ортонормированный базис по отношению к скалярному произведению (., ). Но при этом нужно учитывать, чтобы этот базис был характеристическим в смысле асимптотики убывания величин б(иа,,лэа)г т,е. чтобы дифференциальные свойства решения иа и порядок убывания величин наилучшего гйэиближения бьши адекватны друг другу. В Э! гл, 8 указывалось, что выбор степеней 1, х-', ..., хп 1 крайне неудачен при приближении в среднеквадратичном, поскольку он приводит к матрице Гильберта, хотя приближение с 1юмощью многочленов характеристично, так как в гл.
3 мы видели, что убывание наилучших приближений точно характеризует дифференциальные свойства приближаемой функции. Вместе с тем приходится сталкиваться со следующими рекомендациями: при решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области П с нулевыми граничными условиями рекомендуют выбирать базисные функции вида д(х, р)е, (1, !' — — 1, 2,...), где д(х, р) > О, если (х, р) й !пт !1, и д(х, у) = О, если (х, д) й д!!г а ег = х' 1уг 1. Такой Ь" 2. Вариаиваниие мегпады решешьч враеаих ааг1ач 705 выбор базиса вряд ли стоит считать целесообразным в силу сделанного выше замечания.
Выбор базиса — наиболее тонкий момент,и трудно рассчитывать, чтобы его можно было полностью формализовать. Те два условия, о которых сказано выше, лолжяы ггеукоснительно выполняться в практической деятельности. Пгнмкг. Рассмотрим задачу о кручении призматического стержня с сечением П = (х., р: 0 < х < а, 0 < у ( Ь) (см.
задачу 10 Э 1). Поскольку для определения тензора напряжений нам нужно найти в й решение ие уравнения — Лио —" 1 удовлетворяюпгее граничному условию ие = О, то Г (ди ди ди дг л (и, и) = у ( — — — — —,)дх гКд ,/ (,дх дх ду ду) и квадратичный функционал имеет вид 1(и) = (иб и) -- 2(1, и). Функции ГаЬ з х х ., з 1гба , х1х, гг19 ем(х, р) = 1 — х (1а +2'Ь )! эш вш ', г',2=1,2, образуют ортонормированную систему относительно скалярного произведения (., ). Проверку этого элементарного факта мы предоставляем читателю.
Эти функции образуют полную систему. В самом деле, если е и Е И'~ (й), то (и, ем) =- — / иЬемйхйу =" -Л„ /иеиггхдгр, где Л„ некоторая константа, Л„ ф О, и если (и, е„,) = 0 при г, у = 1, 2,..., то и = О. Последний факт следует из того, что система функций (вш(тгух,га)) полна нв (О, а'. Поэтому, рассматривая этот интеграл как повторньпЪ, получим и = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
