Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 141
Текст из файла (страница 141)
е. случай, когда Ь, =... О ()', =- 1, 2, ..., 1) и коэффициенты асм с вещественны. ТОГДа Ь* .=.. Хг И ЕСЛИ СЧИтатЬ, Чте фУНКЦНЯ и УДОВЛЕтВОРЯЕт твъс ЛГЕ самым граничным условиям. что и решение ио, получим !сВиог и) = !сио, бсг) это эквива,лентно хому, что билинейная форма, опредвлямая правой частью соотношения (4), симметрична. Обозначим ее через ( ., ), т. е. дио ди 1 /' дио /~Е"'з з ' и) * 1 "з дуг дтз дс/ 'й г 1=1 ай причем в случае первой лиГю второй однородной краевой задачи интеграл по дП исчезает, т.е.
дио до !.,) Ду.„ тг зг г,з=1 (7) а в случае третьей однородной краевой задачи, когда дно>)до = -оио, дио до с, ) С)х ~ . )гкг г Фг. >7') дтг дтз г,с=! ой Из полученных соотношений можно сделать важные выводы. Прежде всего лсы заметим, что уравнение (6), которое теперь, скажем, для первой краевой задачи можно записать в виде (6') (ио, о) — Ц, и) = О, Если учвстсч что Аио = Х, и сделать подстановку в формулу >4), а за- тем перенести все интегралы в одну сторону равенства. получим важное тождество 692 Глава 10, Некоторые попроси чиелеппого решения краеемт гара ь, где (, ) — скалярное произведение в А (Й), является условием того, что ио — стационарная точка квадратичного функционала Ди) — — (и, и) — 2(1, и). В силу эллипти гности оператора Л ~ а,.6,61 > В~бы В > О, для любой функции и 6 С~ (П) имеем неравенство (и, и) > / В18гад и) сиа~)ат и если с(т) > О, то, предполагая, что и„= О, по теореме Фридрихса полмчим (и, и) > В / (8гас1 и) о о > О / и дт, 18) где 2 = ВС ~.
Таким образом, речь идет о стационарном значении,. которое является абсолютным минимумом функционала, поскольку в силу (9.4.8) имеем г'(ио — епо) = г'(ио) + е~(по, по). Далее мы можем тождество (6) не связывать с решением какой-либо экстремальной задачи, а принять в качестве определения слабого решения. В случае однородной задачи Дирихле интеграл по дй обратится в нуль, поскольку приходится требовать выполнения этого тождества для любой функции и Е С~(Й), и = О.
Таким образом мы приходим к теории слабых решений, и, чтобы ояа была в какой-то степени содержательной, нужно обеспечить единственность слабого решения при тех условиях, при которых елинственно классическое решение. Полагая в основу численного метода понятие слабого решения, мы приходим к методам Петрова и Бубнова -Галеркина. Если обратить рассуждения, приведшие нас к экстремальной задаче, то можно получить метод доказательства существования решения: рассмотреть экстремальную задачу Ди) — шу и принять ее решение, если оно существует, в качестве решения краевой задачи, благо, что тогда должно выполняться соотношение 16) и, значит., решение будет слабым.
Попробуем обосновать наше рассуждение и сделать его совершенно строгим. Вначале выкладки будем вести применительно к задаче Дирихле с однородным граничным условием. В пространстве Х, (й) рассмотрим всюду плотное множество функций и 6 Сг(1г), удовлетворяющих условиям и~ = О. Обозначим его через Рь; оно и будет областью определения дифференциального оператора А (в самосопряженпом случае, когда 61 э— в О (1' = 1, 2, ..., 1)). На Рь оператор й симметрический, Э 2. Варпационнок оэетоды решен л краеаоае зайач 693 форма, (Ьи, и) = (и. н) симметрична и в с~илу (8) она эллиптична (коэрШитивна).
Мы оказываемся в ситуации, исследованной в п. 3 34 гл. 9, и тем самым полу чаем существование слабого решения ио й Н и выполнимость соотношения (6') для любого элемента е ~ У. Выясним, каков запас функций в пространстве Н. Если замкнуть множество Рл в норме (9) о то мы получим пространство Соболева И" (й). Но нормы ~ !В и (( )) .—....
( )ь~в на Рь эквивалентны. В самом деле, если М = эвах(шахэпах~а,.(х)~, эпахс(т))(с(т) > 0), то ',э' еьн ' ' ' есй ((и)) = (и, и) < ЛХ)~и(~э, а противоположное неравенство (и, и) > (1/2) ппп(9, О) ~ и!!э следует из неравенства (8). Поэтому пространства Н и Игзэ(й) как мноо ноества состоят из одних и тех же элементов. Следовательно, ие 6 Иоз (й), о и экстремальную задачу 1(и) э 1пэ" можно рассматривать на И "з~(й). Тем самым соотношение (6)., определяющее слабое решение, можно записать в видо вариационного уравнения о (ио, и) — (~, и) = 0 Чи й И з'(й).
(10) Это соотношение выражает тот факт, что ие — слабое решение краевой задачи — (ам(:е), ) с(к)и = 1(:с), ш й й, д ди н э=1 и)ан — — О. (12) Если а, Е С"-, с, у ~ 1.1р н (о > 0) и дй удовлетворяет условиям Ляпунова (229, с. 573), то можно показать, что слабое решение ие(т) является также и классическим и уравнение (11) удовлетворяется всюду. Однако это уже трудная теорема, и она не входит в теорию вариационных методов решения краевых задач.
Выше мы приводили пример задачи Дирихле для уравнения Лапласа. для которой обобщенное (слабое) решение существовало, а классическое репэение отсутствовало. 694 Глава 10, Некоторые вопросы числеаиого решеиал краевых, гада ь, ьа сев~,. (13) гщ константа, С зависит только от дй. Поэтому па дй определен оператор следа, и мы будем писать 1г и = и р Таким образом. о Иг(й) = (не Из(й): и, =0).
Рассмотрим для уравнения (11) неоднороднукг задачу Дирихле (14) Допустим, что в 1Ц(й) найдется хотя бы один элемент и, для которого и, = гр. Рассмотрим на И'~ (Й) квадратичный функционал !(и) = (и,, и) — 2д(и), где р(и) = ( 1ис1х — (и„и). и (1е) Ясно, что р -- ограниченный линейный функционал, поскольку ~ (и„и) ~ < ((и„)) ((и)), а интеграл в формуле (15) —. ограниченный функционал в Игоа(й) (зто было доказано в и.
3 э4 гл. 9). Следовательно, существует экстремальный элемент ие задачи 1(и) — о 1п1, (16) где нижняя грань вычисляется в 11 нли И'т~(й). Но эта экстремальная за- дача эквивалентна некоторой другой задаче. В самом деле, легко видеть, что 1(и) —.. (и Е и, и 4 и.) — 2(1", и) — (и„и,), н поэтому задача (16) эквивалентна задаче с функционалом 1,(и) = (и, и) — 2(1', и), в которой нижняя грань вычисляется по мнолсеству (и 6 И'з (й): и~ = га~). 3.
Неоднородная задача Дирихле и принцип Дирихле. Для элементов и Е Ига~(й) можно опРеделить опеРатоР следа. ПУсть Г С С Й вЂ”. произвольная гиперповерхность, удовлетворяющая условию Липьница, Оператор следа гг: и 6 И'з (й) — сг и Е 1,е(Г) таков, что если и 6 С(й) О И',~(й), то Гг и =- и, т. е.
совпадает с оператором ограничения и является его обобщением на функции пространства Соболева. Согласно известной теореме Соболева (99, 100), для функции и Е С(й) О И',~(й) выполняется неравенство 12. Вариацььонн»ье меьпод»ь решен я краевых задач 695 Если ио — решение последней задачи, а ио — решение задачи (16). то очевидно, что о (оо ч- и„и) — (У, и) = 0 ьььи е И'з (й), как и с (оо и) — (з, и) = 0 Чи 6 И',(Й). Поэтому оо + и = ио.
Если а, = б, г = О, то полученный результат можно сформулировать следуюшим образом: слабое решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с гратачнььм условием (14) дает экстремум о задаче В(и = /(бгаг) и,ь дх — шЕ где нижняя грань берется ььо множеству (и 6 ИЯ(ьь): ьь( „= йьь). Это знаменитый приьщип Дирихпе в современной формулировке. Еше К.
Гаусс и Дж. Томпсон заметили, что граничная задача для гармонической функции и(х, у) для области П сводится к задаче об отыскании минильума интеграла Ть(и) при условии, что допустимые функции принимают заданные граничные значения. В силу положительной определенности Р(ьь] существование минимума было принято очевидным и был сделан вывод о сушествовании решения граничной задачи.
Эти соображения были положены Б. Риманом в основу геометрической теории функций комплексного переменного в его докторской диссертации (1851 г.) и мемуаре по абелевым функциям (1857 г,); он же ввел термин епринцип Дирихле». Результаты Римана произвели огромное впечатление на современников., и тем впечатляющей была критика К, Вейерьптрасса принципа Дирихле.
В 1867 г. К. Вейерштрасс опубликовал возражения к принципу Дирихле, суть которых сводится к тому, что из сушествовапия нижней грани не следует, что точный миньлмум достигается па некотором элементе. Он привел примеры вариационных задач, в которых оь ушествлялось указанное явление и отсутствовало решение вариационной задачи. Затем были указаны прььльеры краевых задач теориьи гармонических функций для круга, решение которых не может быть получено с помощью принципа Дирихле. Почти пятидесятилетние попытки математиков спасти принцип Дирихле оказались безуспешными. Мьь знаем, что родились другие методы для доказательства теорем существования теории гармонических функций такие, как альтернирующнй метод Шварца, методы, основанные на теории интегральных уравнений и др.
Однако интуитивная убедительность и удивительная красота метода Римана побуждали математиков искать его обоснование и это было сделано Д. Гильбертом чероз пятьдесят лет после Римана в его знаменитых работах 1900 и 1901 гг. 696 Гаева 10. Некоторые вопросы час»«еиг«ого решеггаа краев»гх оа0ач и(г, о) = — -~- ~ ~(а»соэИ «- Ьь вгп ИВ)г~. 2 /а=1 Г1 г) В полярных координатах интеграл Дирихле принимает взид Подставляя сюда ряд (17) и пользуясь равенством Парсеваля, найдем, что СО !Э(и', = 2гг ~ ~И г'ь ~(аг~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
