Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 145
Текст из файла (страница 145)
расположены правильно, еслн онн либо пе 1 пересекаются, либо пересекаются по общея грани. Еонечная совокупность симплексов пространства Рь~ называется комплексом, если любые два симплекса совокупности расположены правильно и если наряду с каждым симплексом к указанной совокупности принадлежит и любая его грань. Последнее условие важно в топологии; мы же его упоминаем потому, что таково определение комплекса. Итак, множество конечных элементов будет образовывать комплекс, но не произвольный, а удовлетворяюший условиям: если рассмотреть совокупность 1-мерных снмплексов Йм ..., Йя нашего комплекса, то любой симплекс меньшей размерности является гранью одного из этих симплексов и замыкание множества О(1пт й ) является замкнутой областью П. Для конечного элемента, являющегося симплексом, интерполяционные полиномы целесообразно брать из класса ф~, (см.
З 5 гл. 3). Согласно предложению 1 35 гл. 3, с1ппф~ = (1+ т)!1(11т!). Нас будут интересовать небольшие значения т: в частности, с1ппфц = 1+ 1, с1ппф~ = (1 з 2) х (1.г 1) 12. Ясно, что, взяв узлы в вершинах симплекса, мы, согласно предложению 1 35 гл. 6, сможем построить единственный интерполяционный многочлен. Разберем построение многочленов второй и третьей степени.
При т = 2, 1 = 2 нужно задать шесть узлов; мы их расположим в вершинах треугольника и по узлу на середине каждой стороны. Покажем, что кривая второго порядка це может проходить через все узлы, и поэтому по предложению 1 э 5 гл. 6 искомый интерполяционный многочлен существует. Допуская противное, получим, что прямая, на которой лежит какая-либо из сторон треугольника, .должна лежать полностью па кривой второго порядка. Таким образом, эта кривая распадается на две прямые, и, значит, .узел,,лежаший на третьей стороне треугольника, не может принадлежать нашей кривой.
При т —. 2, 1 —... 3 нужно задать десять узлов, и мы в качестве узлов возьмем вершины тетраэдра и по узлу на каждом из одномерных ребер — всего десять узлов. Поверхность второго порядка не может проходить через эти десять узлов. В самом деле, допуская противное и учитывая резушьтат при 1 = 2, получим, что плоскость, в которой лежит какая-либо двумерная грань тетраэдра, должна лежать полностью на поверхности второго порядка. А тогда наша поверхность распадается на две плоскости, и, значит, в тетраэдре можно найти ребро и на нем узел, через который не проходит поверхность второго порядка. Согласно предложению 1 з 5 гл.
6, иско- 12. Вариациоииме методы решеток краеаих аадач 711 мый интерполяционный многочлен существует. Переходя к более высоким размерностям пространства, легко указать узлы для симплекса произвольной размерности. Мы же ограничимся размерностями 1 < 3. Обычно узлы, отличные от вершин симплекса, берут посередине одномерных граней.
Рассмотрим, основываясь на предложении 1 3 5 гл. 6, как можно расположить узлы в симплексе для того. чтобы построить иптерполяциопный многочлеп третьей степени. При 1 = 2 этот мпогочлеп определяется (2 + 3) 1,1(213!) = 10 ковффициентами; значит. в треугольнике нужно задать десять узлов. Возьмем по узлу в вершинах, по два узла на каждой открытой стороне с равными промежутками между узлами и узел внутри треугольника, скажем в его центре тяжести.
Легко видеть, что кривая третьего порядка не может проходить через эти узлы, поскольку она должна распадаться на произведение трех прямых, на которых лежит по одной стороне треугольника. Поэтому кривая не может проходить через центр тяжести треугольника. При 1 — —. 3 многочлен определяется 20 коэффициентами, и поэтому в тетраэдре нужно задать 20 узлов. Узлы зададим так, чтобы в каждой двумерной грани иметь такое же их расположение, как в разобранном случае при 1 = 2. Это возможно, что видно из рве. 3. Понятно, что не может поверхность третьего порядка проходэгть через все 20 узлов, так как плоскость, в которой лежит какая-либо из двумерных граней, принадлегкит нашей алгебРаической повеРхности. Л таких плос- Рис 3 Тетраэ р г 20 тяга костей четыре, что абсурдно.
Все построен- „ш ные многочлены обладают важной особенностью: если два симплекса пересекаются по общей грани коразмерности 1 и в каждом из симплексов построены интерполяционные многочлены одного и того же вида и если их значения в общих узлах совпадают, то на объединении .этих симплексов мы получим непрерывную кусочно-полиномиальную функцию. Тем самым ьа е С[Ц, если дана область й, представленная в виде обьедпнения конечных элементов йы..., йь являющихся симплексами, и на й построен кусочно-полиномиальный сплайн Ээ, соответствуюший этим элементам, причем во всех элементах используется интерполяционный многочлен одного и того же вида.
Заметим, что любые два симплекса одинаковой размерности аффинно подобны, т. е. можно найти такое аффинное преобразование у: К' — ч 1ь', при котором вершины симплексов переходят друг в друга. Поэтому можно взять стандартный симплекс -- симплекс е м одна из вершин которого совпадает с началом координат, а остальные вершины являются концами координатных ортов ем ..., с~ и для пего найти фундаментальные лагрвнжевы многочлены Ль, отвечающие выбранному типу интерполяции. Тогда фундаментальные лагранжевы многочлены Ьэ;, для симплекса й можно получить с помощью формулы (34) Адь =Льохд, 712 Глава 10.
Нвхосвормв вопросы численного рвсввнил краевых задач где то: о. — Пз — аффинное отображение стандартного симплекса в заданный. Для построения сплайнов вь принадлежащих пространству И'~(й) (а это обеспечивается включением 6 и Сс':(1)), использу.ют конструкцию эрмитовых интсрполяпионных многочпенов. Приведем приыер построения такого многочлена пятой степени в 1ь~, определяемого на двумерном симплексс, известном как треугольник Аргириса. Захсетиы, что с!пп сдзцв = 21; этот 21 параметр можно определить, если задать в верпшнах треугольника значения многочлеяа и всех его производных вплоть до второго порядка.
Это дает 18 уравнений. Остальные три уравнения получим, задавая в средней точке стороны треугольника производную по направлению внешней нормали к ней. Нетрудно доказать, что этими условиями многочлен пятой степени определяется однозначно. 3 а д а ч а 5. Докажите сделанное утверждение. Уклзлнив. Установите, что если р(х, И) многачлен пятой степени— удовлетворяет однородным условиям на стороне треугольника, лежащей на прямой ах+ бр+ с = О, то р(х, И) делится на (ах+ ЬИ+ с)з. Если Н м 11ь — треугольники, имеющие общую сторону з, в которых построены интерполяционные лсногочлены Аргириса р:, рсы интерполирующие некоторую функцию у ~ С-, то (р — рь):— О, Д(рд — рь) = О, где и — внешняя нормлль к в. В самом деле.
(р — рь)~ — многочлен пятой степени по отношению к координате на отрезке в, Этот мпогочлеп имеет два трехкратных нуля в концах стороны в, и поэтому (р -рь) н О. В(ногочлен д„(р — рь) не вьппе четвертой степеяи по отношению к координате на отрезке в. Он имеет два двукратных нуля в концах стороны з и простой нуль посредине стороны в. Поэтому д — (р, — р,)~ =-о.
бп 3' з— Таким образом, нолиновсиаз|ьный сплайн сх., определенный на йз 0(1у,. соотношениями хв~ —.. р, 9'~ = рв, принадлежит пространству. Сс '((1з О 11ь]. Если 1в — сплайн в П, построенный с помощью много- членов Аргириса, то щ е СсЦ. Используя это включение, как и выше, легко доказагсч гго аэИ'.~аЦ.
Если в кюсестве конечных элементов использовать прямоугольники в Кх либо параллеле~шпеды в Нз, то интерполяционные многочлены целесообразно брать из класса Ув (п .— (пс, ..., пд)). Напомним, что с1пп одв —.... иы ..., пв Если 1 = 2 и элемент П. — прямоугольник, то многочлен, отвечающий п = (2,2), имеет вид ав э'- асх+ ахр+ азху, и для определения коэффициентов достаточно задать его значения в вершинах четырехугольника. Обычно в П, узлы по каждой переменной выбираются равноотстояшими в количестве и з штук по переменной х. и строится лагранжев интерполяционный многочлен. Мы яапоминаем читателю, что конструкция интерполяционных многочленов в произвольном интервале 22. Вариацззазззаяе кзепзадм реизет л краееих аадач 713 1 С К' рассмотрена в п. 2 35 гл.
3. По формуле (3.5.9) определяются фундаментальные многочлены интерполяции. зч Совершенно ясно, что если Й = () Й и Й вЂ” залзкнутые прямо- з=з угольники (параллелепипеды), то нужно потребовать, чтобы они либо не пересекались, либо имели обшую сторону (грань) или вершину (ребро или вершину).
Такое разбиение области Й на элементы обеспечивает принадлежность построенного в ней сплайна ьа к пространству СЦ. с1тобы построить сплайны, принадлежащие И'з [Й], нужно прибегнуть к эрмитовой интерполяции. Мы уже отмечали, что если ~(х) -- сплайн, построенный в Й, то его можно записать в виде (31). Функции еь(х) определяются следующим образом; интерполяционный многочлен в Й можно записать в виде Рз(х) — к~' Взе(а )з1зэ ° е-..! где Ь „(х) — лагранжев фундаментальный многочлен, отвечающий узлу х., б Й .
Таким образом, если узлы занумеровать одним индексом и если хь б Й, хь =- ххн то еь(х) =- Тзз(х) когда х Е Й . Если жс х й Й, но хь ф Й, то еь(х) = О. Отсюда гзедует., что носитель еь(х) конечпыи, и он состоит из объединения тех элементов Й, которым узел хь принадлежит. Если использовать эрмитову интерполяцию, то в эту конструкцию нужно внести соответствующие изменения. При вычислении элементов матрицы жесткости характер носителя функции еь(х) имеет существенное зна |ение. В самом деле, поскольку билинейная форма (, ) дается интегралом, то (еь, е ) будет равно сумме интегралов по некоторым симплексам, и в силу их аффинного подобия и аффинного подобия множества узлов при лагранжевой интерполяции ин- Рззс- 4. 11оситель тегралы по отдельным снмплексам можно преоб фуззкпни еь(х) О разовать с помощью аффиииого преобразования 1 2' ' ' ' ' о "омейа треугольников) к интегралу по стандартному симплексу и затем применить некоторую квадратурную формулу.
Замичаник 1. Поскольку углы между прямымн при аффинном преобразовании не сохраняются, два интерполяцнонных многочлена Аргнриса не аффннно подобны, т. е. не переходят друг в друга при аффинном преобразовании симплексов. Злмкчлник 2. Если применять эрмитову интерполяцию, то нужно учитывать, что нормы фундаментальных многочленов интерполяции имеют разный порядок по 6, где Ь -- некоторый характерный шаг. Так, 714 Глава 10. Нскогпормс вопросы численного решения краевых лидо ь, если фундаментальный многочлен построен для интерполяции 6-й производной, то его норма имеет порядок 6ь.
Поэтому коэффициенты системы (32) будут иметь различный порядок по 6. Из этого следует, что неизвестные групп, отвечающих значениям функции, значениям первых производных, значениям вторых производных и т, д., нужно определять с различной точностью, и, если говорить аккуратно, они должны определяться двоичными числами различной длины. Однако внимание этому обстоятельству не уделяется, да и реально невозможно производить вычисления над числами разной длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
