Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Таким образом, функции (ен(х, р)1 образуют ортонормальный базис. Поскольку они занумерованы двумя индексами, то сразу же возникает вопрос, как надо отобрать п, из них для построения подпространства М'". Родственный вопрос, как образовать частные суммы кратного ряда Фурье, мы уже обсуждали. Пусть,М""(т .— п(н — 1)г2) натянуто на базисные функции еьн для которых г + у < и. В силу ортонормальности выбранного базиса матрица системы (9.4.21) единична. Это прямо-таки отличный случай с точки зрения ее обусловленности. Если иа(х р) = Х~', чнегу'(х: "а); г+а<а 706 Глава Нб Некоторые вопросы численного решения краевых гайач то, как следует из системы (9л1.21), = (1, е, ). Вычисляя этот интеграл, получим 16а~б2/(к~11(б~1~ + а~Я), т, у' нечетные, О е О ~ ~ 2 2 а г 2 2 2 ! ! ~ ! в противном случае. Таким образом, 16ааб2 вш[я(2п -В 1)х(а] вш[я(21 + 1)у(б( не (21с 1 1)(21+ 1)(б2(2И р 1)2 6 а2(21 + 1)2' С точки зрения аппроксимационных свойств выбранный нами базис заслуживает самой высокой оценки для классов периодических функций.
Посмотрим, каково же качество полученного приближенного решения. Если ио(х, у) — точное решение задачи, то ио(х, у) — ио(х, у) = 16аобо к вш[х(26+ 1)хт'а] вш[я(21 ~ 1)рт'б] ке ~ (2й.р 1)(21-,-1)[б2(2Л 1 1)2 + аз(21 р Ц2 При рептении задачи о кручении нас интересует не столько сама функция ио, сколько ее частные производные диотгдх, дио/ду, несколь ку через них выражается тензор напряжений.
Поэтому найдем уклонение диагтдх от дио,гдх, принимая а = я., б = тт, х = О. Тогда, полагая ( дх дх ) ~а — -о' получим 16 вш(21+ 1)у к2 л-' (21+ 1) (2Р— 1)2 ' (21+ 1)2,' Заметим, что 1 туз т;*/т.г) ~ [- /т'.гвб] о Вычисляя последнюю квадратуру и находя асимптотику получающихся рядов, придем к неравенству 2 )~ +О(„— 2) онон~г' кп 707 2 2.
Вариациоииыа ыегподы решет л краеоых задач Таким образом, в данной ситуации метод Ритца приводит к довщчьно посредственному результату, поскольку число слагаемых в сумме, определяющей иа(х, р), приблизительно равно пг/8, а погрешность при определении напряжений убывает не попью чем 2Х'(хп). Два обстоятельства привели к столь обоскураживаюгпему результату. Первое — мы не учли особенности ре|пения и угловых точках сечения стержня; характер этих особенностей установлен яами в задаче 10 э 1. Второе — используемый базис идеально приспособлен для гладких функций, допускающих гладкое нечетное 2я-периодическое продолжение с области й на область Йэ .— — (ш, й: 0 < ш < 2н, 0 < у < 2я), а такое продолжение для функции ие невозможно осуществить с сохранением гладкости. 3 ад а ч а 4.
В гб гл. 9 н пояснении к задаче 2 сформулирован принцип минимакса для задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных операторов. Пусть (, ) — симметрическая ХХ-эллиптическая билинейная форма, определенная в пп. 2 — 5, где либо Н = И';(й), либо Н = = И'г (й). (В случае смешанных граничных условии либо уравнения четвертого порядка пространство Н указано выше.) Через (, ) обозначим скалярное произведение в пространстве Хг(й). Докажите, что форма (, ) имеет счетное число собственных значений О < Лэ ( Лг ( ... и собственных функций им иг,,...
(и„и) — Л, (и„и) = О Уи е Н. )1ока>ките, что если образовать отношение Рэлея Я(и) — "- (и, и),Х(и, и), то для него справедлив принцип минимакса Пуанкаре — Фишера . Куранта. Указании. Воспользу.йтесь тем, что пространство ХХ компактно вложено в Хг(й). 8. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Возвратимся к изложению метода конечных элементов, о котором мы рассказывали и 2 4 гл. 9.
Он используется для приближенного построения слабых решений эллиптических задач. В том слу.чае, когда билинейная форма ( .. ) симметрическая, слабое решение ио, как мы уже отмечали, дает минимум квадратичному функционалу. Если исходная задача несамосопряженная, но билинейная форма (, ) ограничена, и Н-эллиптичпа, то существует единственное слабое решение ио вариационного уравнения (30) (ио, и) — (Х, и) =- 0 эуи 6 Ж, и мы можем для приближенного определения ие применить метод конечных элементов. Таким образом, условие самосопряженности исходной задачи не является ограничением в методе конечных элементов.
В п. 6 24 гл. 9 мы рассказали, как строится базис в подпространстве Ж" конечных элементов. Теперь пространство .К будет отожцео ствляться с пространством И',~(й) (ИЯ(й)) либо с пространством И'гг(й) а (грэг(й)) в зависимости от порядка уравнения. Мы сосредоточимся на случае уравнений второго порядка и В.', где ( = 2, 3. Как уже отмечалось в п.
6, область й разбиваем па подобласти Йм ..., йг и, согласно, этому разбиению, строим полиномиальньш 708 Глава 10. Нехоспорые вопросы часленного решснил нраеоых задач сплайн ~~(х). Мы должны обеспечить включение гд е СЦ, из котороо го, как легко видетгн следует включение гз б И',~(й) (1д б И'.,'(Й), если 8'~ =- 0). В самом деле., нам нужно доказать, что существуют обобщенные производные функции ~> и они принадлежат Ла(й). По построению либо области й, ограничены прямыми (плоскостями), либо их граница удовлетворяет условию Лившица: поэтому д, 1', до (ф )вс1х =.
— / гд~, Нх 0 ш' ,впг(йз)сапог, дхь вп, где пь(й ) —. компоненты внешней нормали к дй:. Просуммируем по- следнее равенство по всем элементам Й,. Тогда получим, что сумма до 'С~а г с(х = — 18 дх, дхь где 1дь(х) = д~/дхгн если х Е й ~ дй. (д=1, 2, ..., г ), а если х Е дйз, то Ыь(х) не определена. Итак, где — обобщенная произвочная сд н очевидно, что дгь е Ти(й).
Сплайн т(х) может быть записан в виде п Ях; О) = ~ ~цьеь(х). ь=1 (31) где (еь(х)) -. фундаментальная система функций интерполяции. Если в элементе й. х. ы .... х ь - - узлы интерполяции, р (х; г1) -- многочлен наименыпей степени, Решающий задачУ интеРполЯции: Р. (х,, г1) = г1зв (з = 1, 2, ..., й), то функции еь(х) нетрудно определить с помощью тпюгочленов р . Как конкретно это делается, мы покажем ниже. Разыскивая в М'" решение задачи (30) для слабого решения и е,рс'" в виде а„(х) = гр(х: ~), получим систему линейных уравнений и ',г (еы ег)ць = (1, ел), 1 = 1, 2,..., и, ь=1 (32) если потребуем, чтобы выполнялось соотношение (30) для любого элемента с Е Я'и. В силу гс' — эллиптичности матрица системы (31) всегда обратится в нуль, так как либо вклад соседних элементов на их общей границе равен нулю, либо компонента границы дй: принадлежит дй, где т = О.
Тем самым й 2. Вариацгго~тнг могподи реийат я краевых задач 709 обратима, так как а а а 2 (сы ег)г1йгб = ( ~ еййы ~~ едг1;) ) гг~ ~ ~ейг1й' > О. й,о=г й=г о=1 : й=г Однако это сугубо теоретический результат, поскольку нам нужно иметь не столько факт невырожденности матрицы системы, сколько оценку ес меры обусловленности в зависимости от и. Это одна из первых трудных задач, с которыми мы сталкиваемся в методе конечных элементов, Оценка погрешности приближенного решения и„делается элементарно; она была получена в предложении 2 34 гл. 9. Ниже этв оценка будет приведена в несколько иной форме. Предложение 2.
ХХусигь билинейная, форлаа (, - ) удовлетворяет условиям Л1о~~иД < (и, и), ((и, о) < ЛХг, и~ ~о(! Чи, и и О. Тогда ЛХг ~(~-..~~ « —" ЛХо ело. ' (33) Доказятйльство. Поскольку и„слабое решение в Уг", то (и„, и) = (Х, и) гуи Е Ж". Кроъге того, (ио, и) = (Х, и), и поэтому (ио —.
и„, о) =- О гдо й лгоа. Используя последнее соотношение, имеем (ио -- иа, ио — иа) —. (ио — и„, ио) .— — (ио — иа, ио — и) гугг Е,М'". Отсюда ЛХо" ио — и„)(и < ЛХг)(ио — и„пго —. и(!. Следовательно, справедливо неравенство (33). Конечно, .столь примитивно вопрос об оценке погрешности не регпается. Надлежит еще оценить о(гго, М'") = шХ ~йгго — и . Б оеМ'" 9. Построение интерполяционных многочленов. Рассмотрим, как строятся многочлены р, в каждом конечном элементе Ху .
Исследуем простейший случай, когда конечные элементы являются симплекс:ами. Пусть в яь~ даны г — 1 точек со, ..., с„таких, что векторы Сг Со 'сг со линейно независимы, Множество в" точек пространства ай~, представимых в виде т .—. г г Л С, где 2 Ла = 1, О < Л (у = 1, 2, ..., г), назьгвается г-,мерз=о о=о ным симплексом; бо, ..., .ф— его веритньг, а Ло, ..., Л, — барицентрические ггоординаты точки х. Мы оудем придерживаться обозначения о" -- Ыо, 6) Точка х, для кото1юй все барицентрические координаты отличны от нуля, ггазьгвается внутреяггей точкой симплекса.
Точки симплекса, не являющиеся внутренними, называются граничными. 710 Глава 10. Неквшпврые вопросы числеппвгв решения крвевыя задач Рассмотрим подмножество ~ „, ..., с . вершин симплекса се"; оно определяет симплекс Д „, ..., ~з,). называемый и-лсерной гранью симплекса а". Таким образом, в силу определения нульмерный симплекс (Се) состоит из одной точки: одномерный симплекс (Се, С1) -- прямолинейный отрезок, соединяющий точки гв и ГН двумерный симплекс Ыа, чем ~г) -- треугольник с вершинами Се, С1, сз; трехмерный симплекс "- тетраэдр с вершинами 4„, 6., бв, ~з и т, д. Симплексы йн йз в В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
