Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 140
Текст из файла (страница 140)
(40) Граничные условия запишем так нее, как и ранее. Ясно, что аппроксимация оператора Лапласа налицо, но полученная дискретизация абсолютно непригодна, поскольку уравнения (40) вместе со стандартными уравнениями при 1ч = 1 и граничными условиями позволяют найти вь,р при йр = О, 1, .... Хр., а тем самым можно найти оь, при у' = 2, 3, ..., Зрз — 1. причем граничныо условия при йя = № нам не потребуются. Тем самым при измельчении шагов сетки ни о какой сходимости не ърохеет быть и речи.
Идея этого гйримера заимствована из учебника (40). Не нужно думать, что ограниченность обратного оператора является некоторым универсальным требованием при рассмотрении эллиптических задач. В самом деле, задачи, в которых оператор Г, имеет конечномерное ядро, не являются в каком-то смысче изысканными, и при их дискретизации ее качество нужно оценивать иначе: в том случае, когда Ар, — дискретный оператор, (ьв) — сеточная функция и (уь) — правая часть, то нужно требовать, чтобы (41) ))эр,)(зр, < Ср,)((р,~дри есин ( (ь) .
— вектор из нокоторого подпространства, поскольку теперь вместо неравенства (39) должно выполняться неравенство ~,ир < С~~ (~~з, Л 2. Вариачиоз<»<ь<«машадо< решет»к краеоь<х задач 687 где? Е со!<его, а и принадлежит подпространству, дополнит<шьному к 1<его. В неравенстве (41) ()дь, /! /(зь — дискретизацилл норм )(,:л, )(.
Йз соответственно. Читателю должно быть понятно, что предложить какие-то обилие ллетоды дискретизации краевых задач, которые обеспечивают выполнимость неравенства (41), вряд ли возможно. Единственно, что нужно отчетливо понимать, это то, что обеспечение только аппроксимации недостаточно, а нужно добиться еще, чтобы дискретная задача «сохраняла тип исходяой непрерывной задачи». По нашему мнению, для обеспечения выполнимости этого свойства необходимо детальное исследование в каждом конкретном случае; и это наиболе< нетривиальная часть работы.
Если же коснуться вопроса о дискретизации задач для фредгольмовых операторов, для которых индекс отличен от нуля (скл. З 1 гл. 2), то положение еше сложнее. К таким задачам принадложат задача с косой производной для уравнения Лапласа, и задача Римвпа — Гильберта, для системы Копли — Римана. В и. 1 Э 4 гл, 8 мы рассматривали вопрос о дискретизации сингулярного интегрального уравнения. Известно, что задача Римана — Гильберта может быль сведена к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению.
<у!ы рекомендуем читателю возвратиться к и. 1 84 гл. 8 и внимательно его прочесть вновь. Примечательно в вопросе о дискретизации задач с индексом это то, что исходная непрерывная задача — задача с индексом, не равнылл нулю, а дискретная конечномерная зада, <а — задача с индексом, равным нулю.
Квк зке возможна аппроксимация одной задачи другой'? В З 4 гл. 8. по существу, на примере задачи Коши — Римана было разъяснено, что конечномерная задача при правильной дискретизации всегда получается вырождонной либо очень близкой к таковой, по условия ее совместимости существенно различны в зависимости от знака индекса,. Это обстоятель<'тво очень важно, так как свойства исходной задачи существенно различны в соответствии с тем, будет лп индекс больше нуля или меньше нуля. Разобранный пример наводит на мысль, что в вопросах дискретизации эллиптических задач нельзя действовать по шаблону и подгонять задачи под данный метод дискретизации — разностный, конечно-элементный и т.д.
В этом смысле задачи не терпят над собой насилия, и искусство вычислителя и состоит в том., что он предварительно должен аналитически преобразовать задачу, а затем найти адекватный способ ее дискретизации, у плтывая обшлле аспекты теории дискретизации функциональных компактов. Понятно, что такой способ действий вряд ли может быть формализован, и поэтому мы читателю не можем дать каких-либо рекомендаций. 8 2. Вариационные методы решения краевых задач 1. Неравенства Фридрихса н Пуанкаре. Продолжим выкладки З ! гл. 9 применительно к решению краевых задач для дифференпяальпых уравнений в частных производных. Приведем вспомогательные неравенства Фридрихса к Пуанкаре.
Краевые задачи будем рассматривать в области П е ль~ 688 Главе 10, Нетюторые вопросы шюяенного решения краевых задок и относительно границы области Г = дй будем предполагатгч что она удовлетворяет условию . 1ишпица. Последнее требование означает следующее: множество Г люжно представить как объединение конечного числа множеств Г,; Г =- ( ) Г, и для каждого множества Г„можно найти гиперплоскость ггь и функпию Ы: зь — ь Г, такую, что Гг является графиком функции ух, а она сама удовлетворяет условию Ь1р1. Можно усилить требования к Г и считать, что Г состоит из конечного чиста компонент, а каждая компонента является гладкой гиперповеркностью с краем, но в целом Г может игаеть конечное число особенностей типа ребер и их пересечений.
Из наших предположений следует, что почти всюду ь Г существует нормаль н к области й применима формула Остроградского / ~ 'дх= / ~ Хгпгдо, и г=г ' оо г=г гдЕ и — компОнЕнты внешней нермалн. 'Георема 1 (неравенство Фридрихса). Пусть й б В. — область, граница которой дй удовлетворяет условию Лившице. Если и б С'(й), гоо /и дх<Сг /с> ( ) дх+Сг/и до, и г=г еп где констпанты Сг, Сг зоеисяпг только от. й, до - мера Лебего на дй. Доказаткльствсь Его приведем лилль при 1 —. 2 и для того случая, когда область й — прямоугольник: й =- (хы хг: 0 < хг < аг, 0 < хг < аг).
Заметим, что 1 ди(тг, хг) и(хг, хг) = и(хг, 0) + ~ ' ' дхг. дхг о Возведя это равенство в квадрат и применяя неравенство о среднем геометри- ческом, полечим г г и (хы хг) < 2и (хг, 0) —. 2( /, ' дхг) I l'ди(хг, хг) о а теперь, применяя неравенство Буняковского †Швар,найдем,что г и(хг,х)<2и (хг,О)+2хг~(, ' ) дхг, дх о Интегрируя это неравенство по прямоугольнику й, получиьг соотношение г -./~ )г и дх < 2аг уг и (хг, 0)дгг + аг 1г ( — ) дхг дхг и о и Ь" 2.
Вариационнъге мстодъг рвигсния краевых задач 689 ясно, что аналогичное соотношение получится, если ннтегрировать ди,гдхы г и ) и дх ( 2аг / и (хы 0)дх + аг / ( — / дх. ,/ дхг й о й Теорема 2 (неравенство Пуанкаре). Пусть область й и 4рнкция и рдовлегггворяыт рсловиям теоремы 1. Тогда г / и дх(Сг/ ~( — ) ах+Сг~Дпдг) гг й й (2) гдв констанпгъг Сг, Сг зависят только от области П. Доказлткльсгво, Его приведем лишь при 1 = 1, когда й = (х: а ( < х ( Ь). Пусть х„х й 11; имеем г и(хг) — и(хг) = / и (х)дх, 1 откуда г г иг(хг) — иг(х ) — 2о(хг)и(хг) = (/ и (х)дх) Применяя неравенство Буняковского †Швар, получим и (хг) + и (хг) — 2и(хг)и(хг) ( (Ь вЂ” о) / и' (х)дх, а затем, интегрируя по переменным хы хг по области й, найдем, что ,г 2(Ь вЂ” а) г/ и дх — 2(/ идх ~ < (Ь вЂ” а) / и' (х)бх. Отсюда в случае 1 = 1 получаем неравенство (2) с константами Сг=(Ь вЂ” о) /2, Сг = (Ь вЂ” а) '.
Общий случай трактуется аналогично. П 2. Слабые решения. Исследуем на эвристическом уровне соображения, положенные в основу вариационного метода решения краевых задач и метода, слабых решений. В области гг рассмотрим какую-либо из первых трех краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка Ви = 1, Сложив эти неравенства и несколько их загрубив, придем к неравенству (1), в котором С~ = тах(а~„аг)/2, Сг =. сйат П. Случай произвольной выпуклой области трактуется аналогично, а общий случай -- несколько сложнее.
П 690 Глава 10, Неаоторые вопросы численного решения краевых задач где ди = — ~, (а,, (х) ~) + ~ ~Ь,(х) —, е с(х)и,, (3) причем аа = а., е С'(П), Ь, е С~(й), с й С(П). В случае второй либо третьей краевой задачи граничное условие на дй будем записывать в виде ди гди — = 0 либо ( — + й(х)и) = О, др дй др /дй где д/др — производная по конормали: ди з- ди — а, сов(п, х ) др ' дх, дй' ьо=1 а сов(и, х;) — направляквцио косинусы внешней нормали к дй. Пусть ио(х) — классическое решение какой-либо из указанных краевых задач.
Умножим соотношение Уио = у на произвольную функцию о е Са(й) и воспользуемся очевидным тождеством Тогда, интегрируя, получим важное соотношение а ..и . /~~.„..З ь ° схюг)а* ( а. дио ди ' дио 1 Г дио ~хг дху ~ха др й г о:-и '-1 дй Вновь применяя аналогичную выкладку, получим ' "'о-1 "( З'о-(' о ) З-о оо ''1 *' д ди д ~х~ дхо ~хм й ь3=1 =1 ди дио — ° Кь а, л~~.
дй о:и Обозначая через А* сопряженное по Лагранжу дифференциальное вы- рыкение: Х = — ~ (ам, ) — ~ (Ь,)+с, 'З 2. Вариациоииме осеогодъг реигеггил краеоъгх задач 691 последнюю форлсулу можно записать в виде до дио С,.)=!", н>+Д.—,— ° ...Ег,"с>д*с>1 .. >о др ди ай с,, с "ю Сог. г г - г, сг) дио ди дио 1 Г дио тг тз „с ди 5! г 1==1 ' г---.1 эй справедливое для любой функции и 6 С (11). Рассмотрим вначале случай самосопряженного уравнения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
