Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Теорема 3 [152]. При о = 1,02 и В =- 6000 спектральная вадача Орра — Зоммерфельда имеет собсптвенное аначение. лежащее в полу- плоскости КеЛ ) О. Следовательно, в линеаризированной постановке при эпгих параметрат течение Пуазейяя неушаойчиво. К сожалению, рамки данной книги не разрешают привести пример, когда доказательные вычисления позволяют получить довольно нетривиальные результаты в вопросах существования решений нелинейных уравпеяий (153, 220), 3 8. Некоторые заключительные замечания 1. Метод стрельбы. Ыы довольно подробно рассмотрели различные аспекты теории численного решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако ничего не сказали о таком популярном методе решения краевых задач и задач на собствснныс значения, как метод стрельбы.
При своей идейной простоте и кажущейся универсальности зтот метод обладает существеннылттт недостатками, сводящими на нет его как будто бы хорсппие качества. Пусть требуется решить краевую задачу (1П), (1.2), причом для простоты будем считать, что граничные утшовия разделенные, т, е, имеют вид 1з(у) = См 1а(ту) = = Сь где 1т(у) = Ату(о) — ' Аау'(а), 1а(у) = Вт1т(5) — ' Вау'(5). Помимо условия 1т(у) = Ст на левом конце добавим линейно независимое условие 1в(у) .= оу(а) т 13у'(а) .— О. Найдем решение -(х) задачи Коши для уравнения (1.1) с указанными граничными условиями 1т(х) =- См 1з( ) =- О.
Рассмотрим теперь решение и(х) задачи Коши для уравнения (1.1) с граничными условиями 1т(и) = О, 1з(и) = 1. Тогда при любой постоянной С функция у = = е(х) + Си(х) является решением уравнения (1.1), удовлетворяющим граничному условию 1т(у) = Сь Подберем постоянную С так, чтобы выполнялось граничное условие на правом конце. Это приводит к уравнению 1а(х) + С1в(и) = 0; но 1а(и) ~ О, потому что в противном случае 664 Глава з, Числвннов решение кразами задач однородная краевая задача будет иметь нетривиальное решение, и, .стало быть, постоянная С однозначно определяется. 3 а д а ч а 1. Опишите метод стрельбы применительно к решению краевой задачи для произвольной сис камы дифференциальных уравнений.
° Возвращаясь к задаче (1.1), ~1.2), заметим, что если потенциал достаточно велик, то описанный способ предъявляет излишне жесткие требования к точности вычислений. Приведем простейший пример. Рассмотрим решение краевой зада ш — у ьз р=х, хЕ)0,1); у~О)=0, у(1)=аз Ясно, что решение задачи д =- хуы~. Решая две задачи Коши описанные выше, и взяв 1з(у) = у'(О) получим з(х) = х/ш~ — япшх/аз, и(х) =- = зпьзх~аз, и, таким образом. у(х) .— —. х/аз — вп азх!ьг — С з11 щх/аь Предположим, что при определении постоянной С допущена погрешность 6. Тогда приближенное решение у(х) равно у(х) = х/азэ ~ б яп,зт/аз, и для того, чтобы погрешность решения не превосходила щ нужно потребовать, чтобы (б < злы Выше мы видели, что в случае задачи Орра-Зоммерфсльда коэффициенты дифференциального уравнения были порядка 10з.
Для данного метода даже х = 10 является недостюкнмо больпюй величиной. Обычно для устранения указанного недостатка метода стрельбы применяются те или иные приемы, как, например, метод ортогонализации и некоторые другие. Однако радикального изменения такие приемы не вносят, и мы рекомендуем читателю не пользоватьгя методом стрельбы н его усовершенствованиями, особенно в критических ситуациях,когда задача содержит болыпой или малый параметр ~э'.
2. О нелинейных краевых задачах. Мы не рассматривали нелинейных краевых задач, за исключением задачи о бифуркации. Можно указать банальные методы решения краевьсс задач для нелинейных дифференциальных уравнений, сводя задачу к конечномерной и затем применяя метод Ньютона для решения полученной системы нелинейных уравнений. Однако для построения сколь-нибудь глубокой теории нужно привлекать новые сведения из анализа, в частности понятия о степени отображения и индексе, и поэтому мы этот вопрос освещать не будем. К тому же и теория численного решения нелинейных краевых задач недостаточно разработана. ГЛАВА 10 Некоторые вопросы численного решения краевых задач для уравнений в частных производных й 1. О численном решении краевых задач для эллиптических уравнений 1.
Введение. В гл. 3 мы виделн, что чиг ю независимых переменных в значительной мере определяет с южность функции. Уже одно это обстоятельство приводит к большим сложностям при решении краевых задач для уравнений в частных производных. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений область существования решения (интервал) — это простой объект. Однако даже в случае двух переменных область й, имеющая криволинейные границы, уже довольно сложный объект, и для ее экономного описания нужно привлекать весь тот аппарат приближенного представления функций, о котором шла речь в гл. 3,4.
Численные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных развивались в значительной степени под влиянием запросов чисто прикладных областей механики и физики, н зто наложило отпечаток на их теорию. Более того, многие методы решения краевых задач были первоначально развиты не математиками профессионалами, а специалистами в области механики или физики либо инженерами. Примералп1 могут служить метод Бубнова — Галеркина, метод Рнтца; основополагающие работы по методу конечных элементов принадлежат Дж.
Аргирису, М. Тернеру, Р. Клафу, Х. Мартину, Л. Топу и др. Вообще многие численные методы приобрели яркую инженерную окраску, и часто вопросы математического обоснования приносились в жертву технологической простоте и доступности алгоритмов для широкого круга пользователей, Хотя в настоящее время ряд алгоритмов обладает широков известностью и среди множества алгоритмов появились свои «звезды», еще рано выносить какие-либо окончательные суждения.
Более того, как н во всякой области знаний, огромную роль играет мода, и поэтому наблюдается такая картина, когда те либо иные модные методы «внедряются» в различные области механики и физики, причем при таком «внедрении» не всегда учитываются аналитические особенности и емкостные свойства множества решений исследуемой задачи. Типичным примером могут служить задачи о течениях вязкой жидкости (задачи об устойчивости, бифуркациях, вторичных режимах и т.и.), где существеннейшим моментом является принадлежность решения к классу С' ~или даже к аналитическим классам) и наличие узких зон больших 666 Глава 10.
Нскосаорис вопросы числсиного рсласиил красвъгх эаоач градиентов (погранслоев). Строя численные алгоритмы на основе метода конечных элементов, в лучшем случае учитывают наличие больших градиентов, однако полностью игнорируют гладкость или аналитичность решения. Мы уже в гл. Зщб выяснили. что такой учет адекватен правильному виду таблицы искомого решения, которая кладется в основу численного метода.
При локальном способа аппроксимации, принятом в методе конечных элементов, невозможно учесть указанные свойства решения. Время еще не произвело своего отбора., и поэтому автор счел целесообразным остановиться лишь на самых простых задачах и затронуть лишь самые основные и простейшие вопросы теории краевых задач. Сила и глубина математических теорий проявляются при решении трудных конкретных естественнонаучных задач.
Это в полной мере относится и к численному анализу., в котором алгоритмы должны оттачиваться на оселке трудных прикладных задач, однако в основе всегда должна лежать глубокая теория. Именно по этой причине мы посвятили много времени фундаментальным вопросам теории дискретизации функциональных компактов и на ее основе сделали анализ некоторых методов решения краевых задач. 2. Конечноразностная аппроксимация краевых задач. В и. 4 '3'7 гл.
3 мы рассматривали вопрос о численном решении простейшего эллиптического уравнения г д-и э — ау(х) + д(х)и = 1(х), х и й С Й., дх. (1) 1=1 причем в качестве области й брали интервал 1. Там же были доказа- ны предложения 6., 7, являющиеся двумя формамн принципа максимума в дискретном случае. В непрерывном случае свойства решений краевых задач для эдвиптического дифференциального уравнения описаны в э' 1 гл. 9, и читателю полезно сравнить неравенства (9.1.19) и (3.7.23). Сде- лаем необходимые изменения в конструкции, приведенной в п.
4 ч 7 гл. 3, для случая, когда й область с гладкой границей дй, сохранив все преж- ние обозначения. Мы будем ориентироваться на уравнение (1) и простей- шую разностную схему. Пусть Ь =-. (1В, ..., Ьг) и х -- узлы сетки в Н . Через Йь обозначим множество тех узлов хь, которые лежат в й. Назовем элементарной окрсстноглпью узла х~ ьпюжество узлов вида О х'": 2,' ~гп — (с,' < 1 . Ясно, что понятие элементарной окрестног=1 стн подгоняется под разностную схему «крест», используемую для ап- проксимации уравнения (1) (см. (3.7.21)). Для иного способа аппрокснма- пии будет и иная элементарная окрестность.
Если О с с Йь, то узел хь называется внутренним. й!ножество всех внутренних узлов обозначим через йь = (хь: О, с йь). Если х~ ф дй и х~ С йь 1 йь, то в этом узле нельзя записать раэ- постное уравнение, аппроксимирук>щее уравнение (1), поскольку, вообще бб7 Э 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
