Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Замечая, что К(х, з) = — !п(х + з — ' [з — х~),/2 — функция Грина оператора (д7дх).г(фдх) с граничными условиями (19), мы можем свести задачу (18), (19) к эквивалентному интегральному уравнению 647 36. О решкзти зак1ачи иа сабктае!тьш значения Таблица 3. Собственные значения уравнения Ламе (к~ = 0,1) Зала.!а Задача з периодическая аитепериодическая периодическая аптипериодическая 10 Таблица 4. Собственные значения уравнения Ламе (к~ = О,о) Задача Задача периодическая периодическая антипериодическая аитипериодическая Для функции —,д ( ) .=.
и(х) построим ннтсрполяционный много- член 2(х: и) =- 2 и(хз)71(х), рассмотри» уравнение (20) в узлах хз (у' 1=1 1, 2,...,п), подставим вместо и(х) многочлен 5(х; и) и отбросим погрешноскь аппроксимации. Тогда. обозначая через 8 приближенное зпаче- Г -1 /п,-11 ние — и — р(' ', ), получим алгебраическую задачу па собственные значения 9 — ЛАб =- О, где 9 = (бк,..., 6„), А = (аы)ь ! 1, причем Мы не будем разъяснять технику вычисления этих интегралов, поскольку они сводятся к интегралам 0,0999999999 3,89780Б4439 3,8978054437 15,285603о063 1572856035066 34,2658019505 34,2658019506 60,838133284 60,838133282 95,00257318 95,00257318 0,49999999991 3,4284370375 3,4284370373 1'2,030260534 12,030260533 26,384012271 26,384012273 46,481022362 46,481022366 72,320492540 72,320492548 1,0000000000 1,1000000000 8,642Б93311 8,642593311 23,82668246 23,82668246 46,60295336 46,60295336 75,79134018736 76,79134018736 114,9818319366 114.9318319366 1.00000000001 1,500ИЮ00001 7,0083876188 7,0083876186 18,4891091936 18,4891091939 35,714687169 35,714687171 58,6829663593 58,6829663о97 87,39358616306 87.39358616306 136,759116039 136,759116032 186,1077ь99665 186,1077599665 243,0485011756 243,0485041756 307,5813483964 307,5813483964 379,756316 379,756316 103,902238273 103,902238278 141,2261979776 141,2261979776 184,2923462875 184,2923462875 233,102 233,099 287,4 287,9 160,4844253957 160,4844253957 213,6291195392 213,6291195392 274,3659138922 274,3659138922 342,694 342,695 121,8464434086 121,8464434086 162,041 199470 1 162,0414994704 207,79788 207,79786 259,684 259,68 648 Глава У, гУислсввос рсшсиис краевых задач а остановимся на результатах расчетов.
В табл. 5 при числе узлов п = 5, !О, 20 приведены квадратные корни из собственных значений конечномерной задачи. Как известно, собственные значения Лз 0 = 1, 2, ...) задача (18). (19) находятся из уравнения,/о(иУЛз) = О, где,Уо — нулевая функция Бесселя: собственные функции имеют вид уд(х) =.,Уо(;/Лзх), В последней колонке табл. 5 приведены значения,УЛм взятью из !115). Таблица 5.Квадратные корни из собгтвенных значений оператора Бесселя Лз (Пб) 10 20 2,4048255578 5,5200788 8,6536 11,79 14,99 17,7 2,4049 8,2 Вычисления собственных векторов контролировались следующим образом. По собственному вектору б" конечномериой задачи вычислялся вектор гу = (г!13 ..., г1~), уь = (2/(х, -;; 1))С" (у = 1, 2, ..., и'), а затем находился многочлен и(х; гу ), который и являлся искомым приближением к соответству- ьязшей собственной функции.
Поскольку точные собственные функции имеют вид уь(х) =-,Уо(и'Льг), то функция и(х/игра; !7~), где дь — собственное значение, отвечающее собственному вектору 6 ', должна слабо зависеть от й и аль проксимировать Уо(х), Чтобы не загромождать эту главу таблицами, мы не будем приводить таблицы функций и(хУ Удь; г! ), а отметим, что получаем совпадение с шестью знаками с,Уо(х) прн О ( х ( 1 для 1' = 1 —; 4 при шслс узлов копечномерной задачи и = 20. Приведем еще один пример вычисления собственных векторов. Рассмотрим потенциал 9(х) =- 2 сов 2х и для соответству|още~ о дифференциального выражения три задачи на собственные значения: а) задачу Штурма — Лиувилля на отрезке (О, г,"2'' с граничными условиями у'(0) .—.
у(хУ2) =. 0; б) периодическую задачу на отрезке (О, 2я); в) антипериодическую задачу на отрезке (О, я). Функция Матье ссз„т|(х), рассматриваемая на соответствующих отрезках, будет собственной функцией этих задач. В табл. 6 приведены приближенные значения сез(х), сосчитанные в указанных трех случаях. Они получены следующим образом: по соответствующему собственному вектору копечномерной задачи строился интЕрполяционный многочлЕн, ЗатЕы он нормировался я вычислились его значения в равноотстоящих узлах. 1 2 3 4 6 7 8 10 11 12 13 14 '2,4048255576 5,5200781 8,65373 11,79153 14,930918 18,07106 21,21164 24,3525 27,4932 30,63 33,8 36,6 40,9 43,4 2,40483 5,52008 8,65373 11,79153 14,93092 18.07106 21,21164 24,35247 27,49348 30,63461 33,77582 36,9171 40,0о843 43,19979 649 56.
0 решении аабачи на собстесггные,гначенил Таблица 6. Значения функции сег(х) Задача Штурма — Лиувилля (Л = 9.078368847) периодическая (Л вЂ вЂ . 9.078368848) антипериодическая (Л =- 9.078368848) Пгимвг 6. Оператор, играющий болыпую роль в теории непрерывных дробей. Первоначально этот оператор определен на С(1/2, 372) с помощью фор- милы (Су)(х) = ) '(11 — — + х) 7 ( — -~ ) . (21) 2 ) 1,2 п.-1/24 х Рассмотрим сужение этого оператора на пространство Аг аналитических функ- ций Д(х), регулярных в полуплогкости Ке г > 0 н удовлетворяющих условиго эир — 1 ')(х ~- 19), с(у ( оо, о<грэг 2т,/ Норлгу в пространстве А определим соотногпением Ограничение оператора С на пространство Аг снова обозначим через С, поскольку это не вызовет недоразумений, н ниже будет рассматриваться только это ограничение оператора.
В (14) доказано, что оператор С компактный, спектр его чисто вещественный, Если Лг (г = 1, 2,, .) — его собственные значения, занумерованные с учетом кратности и расположенные в порядке убывания модулей, то 1 = Л1 >!Лг~ > 'Лг. >> ..., н для любого - > 0 Ел,'<ж, 1=1 Если агг(г) (у = 1, 2,...) — собственные функции оператора С, то 161(г) = = (1и2) "о7г(1 — , 'г) ', а 611(г) (у > 2) регулярна вне разреза ( — оо, — 1), и этот разрез является для нее естественной границей. Для того чтобы вычислить собственные значения оператора С, рассмотрим уравнение (СЫ)( ) = Лб(х) (22) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,00000000 0,96478368 0,86124о47 0 69о74333 0.,4789171 0.,22огб! 220 0,04547710 0,3126250 0 5524822 0,74210096 0,8614473 1, 00000000 0,96478368 0,86124549 0,69574339 0,4789172 0,22561226 0,04547715 0,3126251 0,5524823 0,7421 0095 0,8614471 1, 00000000 0,96478369 0,86124549 0,69574340 0,4789172 0,22561227 0,04547714 0,3126251 0,5524823 0,74210094 0,8614471 650 Глава д.
Численгюе решение краевых задач при х 6 (1/2, 3/21. Несколько уточним пространство функций. на котором будем рассматривать уравнение (22). Из формулы (21) следует, что если 7" 6 Лг, то С 7 -- регулярная функция в полуплоскости Р =. (х: =. = х 4- гд, х > — 1/2). Пусть  — банахово пространство функций Дх), регулярных в Р с нормой ~ До« вЂ”вЂ” вор )(х+ 1/2)7(г) . Легко видеть, что В вложено в Лг. Днскретн*он зацию уравнения (22) произведем, предполагая, что уг 6 В. Пусть х (д' = 1, 2, ..., и) . нули многочлена Т„(х) — — Т„(2х — 2) и Р„(х; 1б) =~> уг(хг)(г(х), г=.г где (г(х) = Т„(х)7(х — хг)Т (хг) — фундаментальный многочлен интерполяции.
«1тобы представить себе порядок уклонения многочлена В„(х, 4) от функции д:, привег1ем без доказательства следующее Предложение 2 (!3). Если 1б б В, х й (172, 3/2'„, гг ) 4, то уг(х) — В (х; й) < где констангпы «г„приведены в табл. 7 и въг*исяяются по формуле при ~ем б — пояоэмитвяьнъгй корень уравнения е Вг — — кб,74 (б =- О, 83758...). Таблица 7. Консганты гг„ 20 18 16 12 п 10 9,848 10 в 2,971 10 г 8,926 10 и 2,674 10 гг 7,992 10 'ы 2,386 10'гв Пусть,7 — оператор ограничения на сетку,,7: В Н",,/: 7 — (7(хг),..., Д(х ))'.
Рассмотрим оператор М вЂ” —,7С(Р„(; с)), где Е (Ем, б )'. Ясно, что сд„: К" — «И" и в естественном базисе ®, =- (ди),"г и где д,г =- С(1 )(х)~ = „причем С(1 )(х) (х 6 [112, 372;) находится по формуле (21). Задача (22) сведена нами к конечномерной задаче для вычисления злсмвнтов матрипы сд воспользуЕмся формулой, уже нЕоднократно нами примЕнявшЕйся: — 1 2 ~; 22 — 1 1г(х) = — ~~' сов(сд Гь(х); О =- гг, 7 = 1, 2,, и и 2п ь=о Поэтому -1 2 д,г = — ~ сов йдг(«ъ, ь.:о 652 Глава В.
Числеиг»ое решение краевых задач устойчивости течвния вяЗкой нвсжимавмой жидкости между соосными цялин- драми — течения Кузтга. Не вдаваясь в гидродинамические подробности, при- водом сраЗу формулировку спектралыюй Задачи Возмущенное движение жидкости описывается полем вектора скорости и —. (и, ее, и,) и давлением р, являющимися функциями координат х, О, 2, причем х б ( — 1, 1), О б (О, 2к), 2 б В.. Вектор скоргкти и давление суть 2к-периодические функции переменной 0; обычно предполагается, что от переменной 2 они также зависят периодически, но с периодом 2к,»о.
Пусть е .=. 1 — , '6(х — ' 1),42, )2(х) =- бе + лхе ', где б, ь,. Лх — некоторые константы, определяющие характер основного потока, Е = (д(1 — 6) — 1;2(6(2 + 6)), причем д =- шгдез; а юз, шз . - угловые скорости вращения соответственно внутреннего н внешнего пвлнндров. Исследование устойчивости течения Кузтта в линейном приближении сводится к следующей спектральной задаче: Ли — Ви — В ~.Уи + юти)р = О, сйу и = О, (23) и»= 2 =и»=2 =О, (24) где ди — — 2 — „зле дВ дее — — 2б зе дд ди. дО 42 д — — — 0 2'" дО 0 42 Ь вЂ” — 2 4 2» дО 0 6' дз д б д — + дхг 4,»аддг ' дез ' 2едх' Оператор градиента записывается в виде /др 6 др дрЛ ди, 6 6 див ди(чдх' 2е дВ' де,) ' дх 2е ' 22 дО ' де Параметр  — число Рейнольдса, определяющее характер течения вязкой жидкости.
Ввиду периодичности и, р по переменным О, собственные функции задачи (23), (24) имеют вид и(х, В, 2) =- ю(х) ехр(ВΠ—; згае), р(х, О, 2) — -- ц(х) екр(210» зое) либо в(х, О, 2) — — ю. (х) екр(410 — зох), р(х, О, 2) — -- а (х) ехр(ЫΠ— 12ае), где ю(х) = (ю„(х), и'е(х), ю»(х)), ю,(х) = (и (х), ие(х), -ю»(х)), а,(х) = 41(х). На основании (23), (24) ю, а удовлетворяют системе 16 Цб Лю+ В~ю — Л .'х) и+ Жз о = О, — — (еи',.) ' — ив + и»ю» = 0 (26) евах 28 и граничным условиям (26) ю' =-2 =О, 653 эб. О решении аа0ачи на сабгтае!тьш еиачснил нггеь а многочленоы 1(т; д) = 2, 0(к )1 (т), где многочлены и, 1 определены з=! в п.1 з 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
