Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Самый простои способ дискретизации задачи (2) состоит в следующем: пусть й =,У„р, у(х) = и(х; Е) — р (х: й). Тогда, делая подстановку в (2). получим — +д(х)и(х; й) = У(х)+ " ' — д(Х)рв(х; 4). Применяя к этому уравнению оператор,У„, отбрасывая слагаемые с р„и требуя, чтобы равенство не нарушилось, мы получим систему уравнений, но не для д, а для некоторого вектора э1 й П", являющегося приближением к й.
Таким образом, пштучим систему Уэп(хь; д) г +д дэ = У, У =- 1, 2, ..., и, (3) где, как обычно, использованы обозначения дэ .=. д(хэ), Дэ .=- У(хэ). Однако такой способ плох, особенно в тех случаях, когда У(х) — функция малой гладкости и, значит, болыпой слоэкности. Положение можно исправить сведующим образом. Обозначим через К(х, с) функцию Грина дифференциального выражения --~(эУгУх~ с граничными условиями (2).
Тогда г р(") = ~ К(: )(У(е) — д(а) р(х)) вю — г Теперь мы можем применить нашу аппроксимацию и взять ограничение по- следнего соотношения на сетку. Поэтому придем к следующим равенствам: У вЂ”, / К(хэ, а)У(-, дй)с1в = / К(хм а)У(а) оа — г (хэ), У = 1, 2, .... и, (4) где г,. (хэ) — погрешность аппроксимации. Отбрасывая погрешность аппроксимации и обозначая через эу вектор приближенных значений решения, получим систему 1 дэ д ~> дпй / К(х„а)й(х) сУа = / К(х„а) У( ) йд У .=. 1, '2, ..., п. (5) ш! — — 1 — 1 622 Глава У, г4исленнас рсшспис красвыт. задач Какая связь между системами (3) и (5)2 Чтобы это выяснить, .докажем одно простое предложение, аналогичное предложению 1 Е 5 гл.4.
Рассмотрим матрицу ( с? иь(хг)) Предложение 1. Матрица А обратима; если А 'г? = 4, тв — ~~) >д / К(х„г)й(г) бг, у = 1, 2, ..., и. т! ?г1ы не будем доказывать это предложение, а рассмотрим более общий случай граничных условий оу(1) -~-,31?'(1) = О, ~у(-.1) -1- Оу'(- 1) = О (б) и соответствующую аппроксимацию решения и затем установим анююг предложения 1.
К узлам х, (у = 1, 2,..., и) добавим узлы та = 1, х ег = --1 и введем фундаментальные многочлены зрмитовой интерполяции, отвечающие следующей задаче интерпоаяции: Р(х,: У) = Уг, У' = О, 1, ..., п -~- 1; Р (т;) = в„ 1' = О, ..., и Л- 1. Согласно результатам п.4 3 3 гл. 2, фундаментальные многочлены интерполяции имеют вид г т,(т) = иг(х), у = 1, 2,..., а, т„( — 1) г) 47'„( — 1) Интерполяционный многочлен имеет вид р(х~ у) = лг угвг(т)" уоиаа(х) + воваг(т) + увлгтьтье(х) + ввюоис ьг(х) а=1 Если д = О либо б = О, то в соответствующем узле но будем интерполировать производную и тем самым понизим степень интерполяционного многочлена.
Пусть б ф О и?3 ~ О; тогда, используя условия (6), исключим в пошгедней 623 'з'5. Построение алгоритпмов бег насыщения формуле величины вс = уа, в„эт = у тг, получим, что р(х; у) — линейная формаоту, 0=0, 1,, ля Ц; р(х; у) = ~ у!с!(х). г=в рассмотрим матрипу ( с(~гг(х;) ) Предложение 1'. Матрица Ж абратпимв; если й гт1 =- б, тпо -!- ! ! б! =- ~ !1! ~ К(хт, г)тн(г) йг, 2 = О, 1...,., п, 1, ! -.о где ив(х) — — (1 + х)Т„(х) 2Т„(1)) ', и„т(х) =- (1 — х)Т (х)[2Т„( — 1)) а Л (х, г) — функция Грина впгратлвра, — !2 ~с(хг с граничными условиями (6).
Доказательство. Многочлен р(х; б). где б = (бс,..., бпг!)', имеет степень не болыпе и+ 3 и по построению удовлетворяет граничным условиям (6). ясно, что р (х; С) Е тгл г.г, и поэтому этот многочлен однозначно определяется по значениям в узлах: р"(х,; б) = — т1 (т' .—.
О, 1, ..., п -, '1). Эти уравнения можно записать в виде Йй' = тг. -!- ! С другой стороны, если и(х; т1) = 2 и,(х)т1г, то рв(х; б) З- и(х; т1) обрат=в щается в нуль в узлах х, (у = О, 1, ..., .и .! 1), и поэтому р (х: б) -~- и(х; т1) == О, откуда ! р(х; б) =- / Л (х, г)и(г; т1) с(г. — 1 Полагая х — — х (т — — О, 1, ..., и + 1), получим требуемые соотнотаения. сг Формально предложение 1 не следует из предложения 1', но доказательство лля случая граничных условии (2) в точности совпадает с приведенным вылив. Возвратимся к случаю частных граничных условий (2). Згыкчанитк В естественном базисе в Ы" матрица Л определяет линейный оператор, который можно рассматривать как конечномерную аппроксиътацию оператора — т1г/с(хг с граничными условиямн (2).
Чтобы судить о качестве аппроксимашги, рассмотрим спектр этого оператора, Для удобства возьмем вместо отрезка [ — 1, Ц отрезок [О, я; и па нем рассмотрим оператор О, который определяется дифференциальным выражением —.т( т!с(х с нулевыми граничными условиями на ко!щах отрезка. г Произведем аналогичную дискретизацию оператора, взяв многочлен 7'„,((2х — я)тя) н построив но его нулям многочлены (т; б), й(х; б) ! аналогичные 624 Глава 9, г7ислеиное решение ьраееьш задач многочленам 1(я: б), и(т; С), а по ним матрицу А =.
( — — ",г-'-), где тг =- 7 егаг1гд'~** л ь=г — г(т + 1)/2. Первые собственные значения матрицы приведены в табл. 1 в случае, когда и = 10, 20. Интересно сравнить эти собственные значения с собственными значениями разностного оператора, получаемого в результате дискретизации оператора В . г Таблица 1. Собственные зна гения матрицы А Учитывая предыдущие результаты, легко видеть, что нужно решать однородную систему — 7г гЛгюг=Лгь, lе=1,2,...,7У вЂ” 1, го=0, як=0, где й = к/Л7. Эту систему. можно решить, если воспользоваться подстановкой Эйлера, которая введена в п.
2 3 4 гл. 2. Однако поступим проще, положим га = =- С~ е1п(я)кггЛг) и пакте подстановки в уравнение получим 4 а-г Л=Л = е1п г " 2,у Таким образом, при 1 = 1, 2, ..., Лг — 1 мы получаем Ж вЂ” 1 сеточных функций Фы ть ~ Сг в1п(яйгггУ), которые удовлетворяют граничным условиям и уравнению. Следовательно. Л~ (1 = 1, 2, ..., Лг — Ц -- собственные значения рассматриваемой задачи. Посмотрим, какое нужно взять Л', чтобы получить пятое собственное значение оператора В с той же точностью, которукг дает г матрица А при и = 20.
Нетрудно подсчитать, что Х ) 4, 1394 10'. Возвратимся к вопросу о связи между системами (3) и (5). Запишем систему (3) в матричном виде: (7) (А+Юг7=Ф, где ечг = с!1ай(ег)г" и Ф = (,7ы ..., 1 ) . Система (5) запишется в виде (1+ В)п =. Ф, 1 где Ф = (Гы ..., Е„)', Г, = ( Л(т„г)7(г)дг (г = 1, 2, ..., и), В = г1 'Я. — г Умножая (7) слева на А ', получим уравнение (1+ В)г7 = А 'Ф, (9) 'З' 5, Построение алгорипгмов бсв ыасыпгс~нл и для у-й компоненты вектора А ~Ф имеем формулу 1 К(х'., 2)~угй(с)аг., 3 = 1, ..., и,. 1=! 1 Докаэкеы вспомогательное предложение.
Положим с~ = ) й(с) ды -1 Предложение 2. Постолнныс с~ (1 = 1, 2, ..., и) положингсльны. Функционал погретносчпи квадротурной формулы Ь(х) =, = — ~ совКОгТь(х), 'Г„(х) 2 (х — х~)Т„'(хг) и полученной в п. 3 З 6 гл. 6. Выполняя интегрирование, найдем, что коэффици- ент с~ можно представить в виде <т — нгг 4 сг = — ~~, сов 2а0~. ,1ьг Отсюда следует, что Л 4ьг 2=1 ' Кслн б„-- функционал погреаьчости квадратурной формульь то йегб„' .св„.
Отсюда, согласно предложению о ядре, получим оценку б (р)~. сг Предложение 3. Имеет место неравенство А' 'Ф вЂ” Ф!, ( — Е„(1)(1тСп. ''). 2 (10) Доказаткльствсь Имеем ,А 'Ф вЂ” Ф! =- так / К(х„г))1(г; Ф) — ф(г)) дг . 1 1 — 1 г( ) г(г ~)' сьр(хо) 2=2 удовлстворлсга неравенству ~ба(р)~ < 2(ьв(р). Доказательство. Воспользуемся формулой <1 — гуг 4 сг — — 2 — ~, сов 2(сб~ > 2— Ь=г (2к — 1 2/с -, '1) 626 Гласа 9, гГислеииос решение краевых задач Используем преобразование, неоднократно применявшееся ранее.
Пусть р е б !т'л — многочлен наилучшего приближення „тля функции у. Тогда Ф; Ф) — У(с) = ~ (Л вЂ” р!)С!(х) — Ис) — р(с)), !=! и поэтому | ! ! /К(, )((я; Ф) — Х(.))дс < Е„Е/К(, х)д: —, ! — ! ! - Е(Л вЂ” ) / К(, .)1 (с) ас !=! — ! Но К(а, с)1!( ) ас = К(х,:с!) / 1!(в) дх-Š— ! -! -г /(К(х, ) — К(х, х!)~1!(с) д .— — с!К(т, т!) + О(п з).
В самом деле, поскольку !К(х, с) — К(х, х!))(с — з!) ! С И'~, то, интегрируя по частям, получим !'К(х, е) — К(х, х!)), д =- О(п ). .(н- ) т„(х) Т„'(ач)(с — т!) — ! Отсюда в силу предло>кения 2 ! / К(х, с)1!(с) йс = ~~! К(х, с!)с! — О(п ') = !=! .=. /К(х, с)дс-1-2ВЕ (К(х, ))-1-О(п '), ,'В~ < 1. — ! Заметим, что К(, с) Е Ил,'„(1!!2; О, 1), и поэтому по предложению 4 2 1 гл. 3 Е (К(х, )) < хЯ4п), и, следовательно, ! / К(х, с)!!( ) ас .= / К(х, с) сЬ -, 'О(п ); !=1 ! — 1 627 3 5. Построение алгориглмов бсэ насыщения зтилэ соотношением мы воспачьзуемся ниже. Отсюда 1 ~,(Л-р,) ~К(*, )й()д <Е.(У) ~-2тС вЂ” ~~, 1 э=э — 1 где Й -- и х п-матрица, а — -- (ам .,., а„) й В.", Предложение 4 (Д. В. Канторович).
Допустэгм, что для любого вектора а б В." найдстсл такой вектор Ь:,Ь! < р а,, р < 1, что система (11) с правой частью а — Ь имеет рсшснас й такое, что ф < С~а~ . Тогда система (11) эюособал и й-')„< с(1 — р)-', (12) Доклзлтьльство. Пусть а = ао (,'ао' = Ц вЂ” произвольный вектор; по условию найдется такой вектор Ьо (,'Ьо ( р < 1), что существует решение йо системы йко — — ао — Ьэ, причем )бо < С. По предположению найдется такой вектор Ьэ (~Ьэ~ < р:Ьо'), что разрешима система аз = аэ — Ьэ, где аэ = Ьо: причелэ )б, ь» < с~бог Тогда либо на каком-то шаге й Ь = О, либо наш процесс мовсно будет продолжить неограниченно. В обоих случаях вектор ~ = ~- йэ -~...
является решением системы (11), поскольку указанный ряд сходится в силу оценки )д,~ ( Ср', причем )б, < С 2 рз = С(1 — р) . Ввиду произз-.о вольности вектора а получаем неравенство (12). Е) Предложение 5. Пусть задача (2) разреза мо при любой правой части. Тогда при и > по (1-1- В) ', < Со., причем константа Со зависит от расстояния точки Л = О до спектра задачи — у Л-ду — -Лу, тб ( — 1, 1), у( — 1) =у(Ц =.О. (13) Доклзаэчми*с'эчэо.
Если разрешима задача (2), то разрешимо н уравнение у(т) Л- / К(а, г)д(г)у(г) дг .— — й(а) (14) 1 г поскольку ) К(г, г) дг = ' < —,'. П вЂ” 1 Если правая часть у имеет малую гладкость, то целесообразно пользоваться систомой (5). Тогда для решения и правой части можно использовать различные таблицы, и время работы алгоритма, основанного на системе (5), будет определяться сложностью вычисления интегралов Гэ () .=- 1, 2, ..., и). Для гладких правых частей, когда несущественно различие в гладкости решения и правой части, можно использовать систему (3) и, стало быть, оддн и тот же вид таблицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
