Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 126
Текст из файла (страница 126)
На имеем ю(х) = ) ю (1) Ж. ЬЬ..1 Проводя те же выкладки, что и выше, получим 1 йг [ю(х) дх ( —, / ю'(х)[ дх, к.= 1, 2, ..., п-~-1. Предложение 4. Пусть у(х) — реи1енье краевой зада1п (1). Доггустим7 что р й С'О, Ц, пппр(х) > О, о С С[О, Ц, ппп д(х) > О. Тогда [уо[, ( <А[([2 (33) где констанпга А зависит только от р, д.
Докязаткльство. Умножив обе части уравнения (1) на у(х) и проинтегрировав по отрезку [О, Ц, получим соотношение 1 [р(,г)у (х) + д(х)у (х)) дг = (1, у), (34) о По неравенству Шварца (77 д) ( , '1'г[у'2, и позгому из (34) получим неравен- ства 1 ,'у,'г < . [,1[2, [у [г < (шгпрш1пч) ,'1,'г.
тшо Из (1) имеем уо = — в-у'+ гу — 11' откуда по неравенству треугольника Р Р Р [у' [. < — у [ + -и + ~-У . Р 2 Р 2 Р 2 Отсюда в силу (35) следует неравенство (33). (35) Складывая полученные неравенства и используя уже доказанное неравенство для функции ь', получим первое неравенство (32). П Глава У. Численное ус<ление красеъ<к задач Следствие. Если у — решение краевой задачи (1), то д(у, В") < В6, '7 г, (36) где констанп<о, В эаоиси<п <полька от и, <7. Доклзлтгльство.
Поскольку билинейная <)<орма (, .) определяется формулой (4), то, полагая и(л) = у(л) — й(к; у) и используя предложение 4, получим (и, в) < ~ — ьирр6 + — вор<76 ) у !г. г 1 < н 2 (,2' 4 Используя предложение 4, из последнего неравенства получим (36). сэ 'Георема 1. Если у .- ршиевиг краевой задачи (1), у —. приблиисенное решение, получаемое по методу конечна<к элементов, то В (у — у)г < В'6'Г„)у' — у')г < (37) Доказательство. Пусть — решение краевой задачи (1), когда правая часть равна у — у. Из неравенств (23), (36) получаем ,у — у)г ~( В 6 юг у — у а из неравенств (21), (36) следует, что )у у )г < ° <<21<Кг' В (пнпр)<Сг Несмотря на свою элементарность, неравенства (37) не улучшаемы по порядку величины, что следует хотя бы из того, что порядок убывания правых частей по 6 = и ' такой же, как и порядок убывания поперечника н (Жгг(М; О, Ц; Ег(О., 1)).
Кстати, на этом основании делается вывод об оптимальности численных алгоритмов решения краевых задач, основанных на методе конечных элел<енгов. Поскольку в вопросе оптимальности алгоритма здесь ситуация такая же, как и в случае дискретизации краевой задачи, построенной в п. 7 3 3, то все выводы, которые были сделаны ранее, остаются в силе и в случае метода конечных элементов, и тем самым при ближайшем рассмотрении оказываетгя, что утверждение об оптимальности не соответствует действительности. Далее, едва ли следует считать, что Ьг-норма — это та норма, в которой следует давать оценку уклонения истинного решения от приблизкенного. На практике вряд ли такие оценки могут быть удовлетворительными, особенно когда речь идет об определении локального поведения отыскиваемого рЕшения — его экстремальных ЗначЕниях, нулях, градиентах и т.
п. Несомненно, что равномерная норма должна рассматриваться как основная норма, в которой нужно измерять погрешность, Появление Ег-нормы в неравенствах (37) вызвано в основном техническими причинами; поэт<<му следует и в случае метода конечных элел<ентов иметь равномерные оценки. 618 Глава у. Чя»еле»»я»ее уеяаеное куаееъях задач Если сравнить эту систетяу с системой (3.46), в которой нужно заменить и, на п+ 1, то мы увидим, что соответствующие уравнения этих систеъя отличаются на члены порядка О(6 ). В самом деле, пееаагая я?з — -- - — 6 и вьгштая 2 из (3.46) уравнение (38), получим — 2 2 6 а а » 2» ' з 1,' 6" 12») 12 6» = — "(у,ь+д,'., -2уГ,)-.о(6), 12 3 3 кроме того, имеем граничные условия»о = у„я.» = О. Применяя к получешюй системе предложение 3 36 гл. 3, найдем, что»1, = О(6а), н учитывая, что Гз —— = 1» + О(6"), полУчим окончаге.а нос соспношение: 6 з».
— 6 »1, ай я-д уз= —,дя(уз — Дз)шО(6 ), »=1 2,...,п, Отсюда следуе», что я?з = 6~1(хд) + О(6»" ), где 1 — решение краевой задачи Д ) при р и 1 и правой части (1»Я12) у(х)(у(х)у(х) — )(х)), где у(г) -- решение исходной краевой задачи. Так как Е(х) а: О, то п»ах ~я?е~ > С6, а поскольку, согласно (3.47), зе — у(хь) = О(6» "' ), то пяах ~бь — у(хе) ~ > С»6». Таким образом, в случае гладких правых частей приближенное решение, получаемое по методу конечных элементов, имеет такой же порядок погрешности (но увяе в равномерной метрике), как и в шяучае )'' 6 В»(0, Ц.
Следоваяельно, дискретизация задачи, основанная на уравнениях (3.46), имеет существенные преимущества перед дискретизацией, основанной на методе конечных элементоо. Мы рассмотрели конкретную задачу и частный способ шшроксимации решения с помощью линейных сплайнов. Однако установленный нами факт имеет скорее всего общий характер н остается верным для широкого класса краевых задач н различных способов аппроксимации.
Мы высказываем это утверждение в качестве гипотезы в надежде, что она будет кем-либо доказана. Естественно возникает вопрос: в чем же преимущества метода конечных з»»ементов? Мы дадим ответ на поставленный вопрос, рассматривая краевые задачи для уравнений в частных производных, см. 3 2 гл.
10. 10. Свободные граничные условия. Если вместо формы (4) взять форму (и, г) = /(р(х)и'(х)п'(х) +Ч(х) (х)и(х); )х+ СОМО) — д (1)с(1), о где о, »» > О, и рассмотреть задачи (6), (7) на пространстве Н = 'ууз, то получим, что решение этих задач является также решением краевой зада яи е(»я а»и»я — — ~р(х) †( — д(х)и(х) = Дх)., х е (О, 1', г?х Яя я)х( (39) р(0)и'(О) — ои(0) = О. р(1)и'(1) ' Зи(1) = О. 619 'з',гн Посгпрою*ие алгоригпмоо уса насыщения ф(х; и) — ео(х)и(0) — у еь(х)и(хь) 1- е„аг(х)и(1), ь-.=1 где еа, с„+1 фундаментальные функции, отвечающие узлам хэ = О, х„тг = 1.
Понятно, что чцрр со —.. (хо ху), ео(х) =.. 1 — —, О < х < )лы Ьл' хаау — х ьпрр со -г = [ха ха~-~)~ саэл(х) -- 1 )~о+а га <т<х„ы 3 а д а ч и. 1. Определите для данного случая матрицу жесткости и вектор нагрузок. 2. Примените метод конечных элементов для приближенного решения задачи на собственные значения — — ( р(х) †' ! + а(х)у(х) .††Лу(х), х Е 'О, 1), у(О) = у(1) =- О. дх дх Испогп зуя кусочно-линейный сплайн, оцените погрешность, с которой вычис- ляются первое собственное значение и первая собственная функция. 9 5.
Построение алгоритмов без насыщения для решения краевых задач 1. Вопросы дискретизации краевых задач. Одним из основных вопросов, с которыми приходится сталкиваться при конструировании вычислительных алгоритмов, является вопрос о том, как воспользоваться имеющейся гладкостью решения и его аналитическими особенностями, чтобы получить алгоритм с минимальной временной сложностью, Часао мы находимся в ситуации, когда не имеем полной информании о решении в силу большой сложности самой задачи о выяснении априорных свойств решения.
Нередки случаи, когда задача содержит болыпой (или малый) параметр, и, хотя решение формально и бесконечно дифференцируемо, производныс его растут столь стремительно, что затруднительно определить, какой порядок аппроксимации нужно выбрать при стандартном способе дискретизации, как разностном, так н проекционном. Поэтому желательно, чтобы дискретизация была организована таким образом, чтобы происходила автоматическая адаптация конечномерной аппроксимации к свойствам решения и погрешность аппроксимации была минимальной.
Поясним эту мысль на простом примере. Пусть Дх) С вЂ” 21г-перноднческая функция н ф"'~, — — ть (й = = 1, 2,,). Допустим, что ее нужно ацпроксимнровать тригонометрическим Построение пространства Н'" а на основе метода конечных элементов производится, как и выше, только с тем отличием, что теперь не нужно удовлетворять граничным условиям при х = О и х .— — 1. Именно по этой причине граничные условия (39) называются сеободнылли. Кусочно-линейный сплайн теперь будет иметь вид 620 Гласа У.
Численное ре1иение крассах задач полиномом, и спрашивается: какой способ аппроксимации избрать? Если ориентироваться на теорему 7 3 1 гл. 3, то, полагая, что порядок полинома п — 1, нужно определить целое минимальное г из условия гп, гп ʄ—" = !и!К.— и„и и затем использовать тригонолгетрическнй полинам, который строится в этой теореме. Однако чтобы осуществить зту довольно сложнуго программу, мы должны знать величины ть (к = 1, 2, ...), а это не всегда возможно, Один нз выходов из создавшегося затруднительного положения состоит в следующем. Воспользуемся какой-либо процедурой приближения, не имеющей насыщения, и хотя мы получим результаг несколько хуже предыдущего, но все равно достигнем определенного успеха.
Например, воспользуемся приближением с помощью отрезка ряда Фурье функции Д(х). Тогда, если е„. г(х) — частная сумма ряда Фурье, то на основании результагв задачи 3 3 5 гл. 3 имеем шаг'4 :,( — з„1 ( — „( — !и и -- О(1)), откуда Г 4 з" — е г' ( ( — 1пи,+О(1)) пнп —. 7Г~ ) ь пе И хотя нам неизвестны величины ть (й = 1, 2, ..), оценка будет даваться величиной !п(тьп е, н, грубо говоря, она будет в 4 !пп)кз хуже наилучшей.
С таким ухудшением оценки во многих случаях можно смириться, поскольку определяющей величиной является нг!'ими — ь Злмгчлнпк. Миь допустили некоторую вольность, поскольку не доказали, что с ~агаеггое 0(1) в неравенстве (1) прн всех к мажорнруегся некоторой константой. Однако для наших рассуждений, иллюстрирующих суть предлагаемой идеи, с этим можно смириться. Изложенные соображения можно положить в основу.
метода построения дискретизации краевых задач, и пример этому мы видели в гл.4, где была рассмотрена задача на собственные значения для уравнения Орра -Зоммсрфельда. Рассмотрим наиболее простой случай краевой задачи (1.1), (1.2). Перейдем к отрезку ( — 1, 1) н ограничимся рассмотрением случая простейших краевых условий. Итак, рассмотрим краевую задачу — дйу~дх~+ д(х)у =- ~(х), х б ( — 1, 1, у( — 1) = у(1) = О. (2) Дггскретнзацию ьздачи произведем мегиадалг каллакации: в этом методе основными моментами являются обоснование выбора узлов для интерполирования искомого решения и выбор узлов, в которых выполняется уравнение. Пусть 'Е'„(х) — многочлен Чебышева первого рода, хз = сов((2у — 1)к,г(2п)) (у = = 1, 2, ..., и'! — его нули. Построим интерполяпиопный многочлен Лагранжа с узлалы х, (у = 1, 2, ..., и).
Пусть 1,(х)= "... и(х)=,П(х), 1=1,'2,...,и; Т„(х) 1 -х ( 'з)Т ( 'з) 621 'з'5, Построение олгорпглмов баэ ллсмщенпч это фундаментальные многочлены интерполяции, а 1(х:, б) =- ~ б,сэ(х), и(х; б) = ~б,и,(х) суть интерполяционные много шены, причем многочлен и(х; б) удовлетворяет граничным условиям (2). Обозначим через,У оператор ограничения па сетку, У: С(0, .1) — э К", ,У„: р(х) еэ (рм..., рв), где р, — — р(х,) (у' = 1., 2, ..., п). Оператор восстановления обозначим через 45,; тогда ф„; В.в —. С'О, Ц, вм: б ы. и(; й), где й б К".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
