Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Напомним читателю, что функционал 1 называется фрнкционалом энергии, норма (( )) -- энергетпической нормой, а пространство Н --. энергетическим пространством. Замичаиии. Легкость, с которой мы получили обобщенное решение уравнения (14), не должна обольщать читателя. Это получилось за счет широкого обобщения понятия решения уравнения. Просто при таком подходе вся трудность задачи о существовании решения переносится в другую плоскость, ибо после доказательства существования обобщенного решения нужно еще исследовать его дифференциальные свойства.
А зто уже подчас задача далеко не простая. 4. Формальная дискретизация. Возвратимся к задачам (11). (14) и рассмотрим методы их дискретизации. Пусть Н" --. и-мерное подпространство из Н, ем ..., е„-- базис в Н"., е. и Рл (~ —.. 1, 2, ..., и). Будем искать приближенное решение задачи (14) в виде и = 2 б;,еы ь=1 Если и с Н удовлетворяет соотношению (16) (и, и) — (1, о) = 0 'уи й Н", то и решение задачи (11), когда нижняя грань разыскивается в У". Предложение 2.
Соотвошеззил (16) эквиваленпзнм системе уравнений (е,ег)Сз=((,ев), 1=1,2,....,п, (17) з=1 с симлгетрической, положительно определенной' матриией. В Ни задачи (11) и (16) имеют единсгпвенное решение и. Если ио — решение исходной задачи (11) в Н, то (ио — и, ио — и) < (ио — е,ио — и) 'Й с Н", () (и., и) < (ио ио). (19) Доказлтилъстио. Применяя предложение 1 к Н", получим эквивалентность задач (11) и (16), рассматриваемых в Н". Предполагая, что и = 2,' сьеь Е Н", н взЯв в (16) о = ез (У = 1, 2, ..., и), волге=1 чим систему (17). То, что матрица системы (17) симметрична, следует из а 4. О ресиении краевых задач метаадам конечных злелсешпае 611 симметрии билинейной формы ( ., ), а положительная определенность вытекает из соотношений п 1' и п (е„ет)тттт1т.
= ~~ т1те„~~ гйез ) О, с,т=т с=с з=т если ) т1а ф О. Для любого о е И, согласно (б), *=с (о — ио ст — ио) = 1(о) — Е(ссо) а если учесть, что эта формула остается в силе тсю б На и и, то (о.-и, о — и) — -- У(о) — 1(и) тс'сс 6 Н". Полагая в (5) и = и, у = ио, получим (и - - ио, Гс — ио) =.- 1(и) -- 1(ио), и из этих трех соотношений следует (о -- ио, о — ио) — (о — и, о —. и) 1- (и —. ио, и — ио) тсо 6 Н, (20) откуда и следует (18). Полагая в (20) о = О, получиъс неравенство (19). сз б. Оценка погрешности.
Пусть 6(ио, На) расстояние от ио до Н", измеренное в энергетической норлсе, т.е, наилучшее приближеп ние ио с поксощьк> линейных форм 2 Свети Из (18) следует неравенство ь=1 (ио — и, ио — и) ( шЕ (ио — о, ио — о) = О (ио, Н"). (21) ен« Вместо оценки величины 6(ио, На) можно попытаться оценить аналогичную веоичину в эквивалентной норме. Тем самым можно получить оценку погрешности метода. Оценим погрешность а .— ио — и в норме пространства С, т.е.
оцепим ОпО' .—.. (ст, ст)цэ, С этой целью воспользуемся приемом Нитцше (105). Рассмотрим задачи (11) и (16) в пространстве Н, считая, что т' = а. Обозначим через " е Н общее решение этих задач. Тогда (22) (', о) = (ст, о) тУо 6 Н. С другой стороны, полагая в (13) и = о Е Н" и вычитая из этого соотношения (16), получихл (ст. о) —.. 0 сУо 6 Н". Положив в (22) о —.-. ст н вычтя (ст, о) =- О, имеем (ст. ст) = (х — о, ст).
Применяя к правой части последнего соотношения неравенство Шварца, будем иметь (ст, ст) < (ио — и, ио — и) у (х — о, и — о) у 1со Е Н": Гласа О. Численное решение. нрасомх задач используя неравенство (21) и замечая, что 1п1 ( — и з — и) У вЂ”... 4(з Нн) оЕН" придем к неравенству (23) (ст, сз) ~ <б(по Н")д(х. Н") Неравенства (21). (23) погшужат нам для оценки уклонения приближен- ного решения от точного. 6.
Метод конечных элементов. Метод конечных элементов берет свое название от способа, с помошью которого строится надпространство Н". Пусть й с В.' н 6 -- пространство Ез(й), Н с С. Разобьем область й на подмножества шм ..., ы, которые будут именоваться элежензпами. Потребуем, чтобы каждое из подмножеств ш было замыканием области ичтобы 1пт сой1пг оз = к при ~ ~ 1 иОазз = й, где!п1 оз внутренность области оз . В практической реализации элементы с д устроены довольно просто. Это либо треугольники или четырехугольники на плоскости, либо пирамиды или параллелепипеды в пространстве. Часто прибегак>т к криволинейным элементам; тогда их строят как диффеоморфные образы элементов с прямолинейными или плоскими границами. Аппроксимация функций пространства Н производится следуюшим образом. В каждом элементе ш.
строим агрегат адз, аппроксимирующий элемент )' Е' Н. Затем из агрегатов иэ собираем функцию ьр так, чтобы зй „, = зйз (» = 1, 2, ...., г). При этом должно выполняться условие ио С Н. Построенная функция а~ и будет искомой аппроксимацией д. Чаще всего функпии ьа строятся так, чтобы опп принадлежали какому-либо узкому классу функпий, который можно эффективно описать.
Это либю класс многочленов, либо класс рациональных функций, либо некоторый класс экспонент н т. п. Например, наиболее распространенный способ, это когда ад многочлен; тогда и~ сплайн. Конкретно в этом случае конструкция состоит в г.ледующем. Выбираем в й узлы зсм ..., х„ так., чтобы на каждый элемент приходилось соответствующее количество узлов.
Если хз,,..., х о -- узлы, лежащие в элементе ш, то строим многочлен р (х: )) такой, что (24) р (хз,; (') = ('(х„), ! = 1, 2, ..., Е Ыногочлен рз и принимаем за р . Ясно, что в качестве р мы берем тот многочлен минимально возможной степени, который решает задачу интерполяпии (24). Злмкчлпив. Довольно часто вместо лагранжевой интерполяции (24) рассматривают интерполяцию Эрмита, когда в узле задается не только значение функции, но и значения некоторых производных. о 4. О решенно краевых задач методом конечных олемек!иоо 613 Мы ограничимся рассмотрением только лагранжевой интерполяции. Совершенно ясно, что построенный сплайн у!(х) можно записать в виде а ь!!(х; 1) =-.
~ ее(х)Дхь), ь-:г (25) где (еь(х)) фундаментальная система функций рассматриваемой интерполяции. Таким образом, элементы подпространства Н" задаются соотношением (25), причем функции еа,..., е„ образуют базис в Н". Понятно, что если лгь = (о'!хь й !о,), то носителем еь будет множество вирр еь = () ы,.
Обычно на практике добиваются выполнения ген! условия сагб Хь < р (к = 1, 2, ..., и), где р . не очень большое число (по сравнению с и). Коли билинейная форма ( . ) обладает свойством (и, с) = 0 при условии вирр и вирр о =- й!, то матрица ((е„е )),",, называемая матрицей лсесткосши, будет разреженной. Отметим, что вектор правых частей в системе (17) называется вектором нагрузок. 7. Пример. Проиллюстрируем приведенные построения простым о примером.
Пусть П вЂ” --;О, Ц, Н вЂ” — гг'г!!О, Ц, билинейная форма ( ., ) задается формулой (4). Таким образом, мы рассмотрим решение краевой задачи (Ц с помощью метода конечных элементов. Пусть 0 .—. хв < хе « ... х„е —.. 1 и ыь — ',хь — е, хь) (/с —... 1, 2!, .., л + 1). В качестве узлов, в которых будем задавать значения интерполируемой функции, возьмем точки х (д = 1! 2, ..., и). На ыь линейно интерполируем функцию у(х) 6 И'г(0, Ц. Тогда (26) вирр ел = о>ь 1д ыь а сама функция еь(х) кусочно-линейна, причем еь(хь а) ††. О, еь(хь) †.... 1, еь(хь г) †-- О.
(27) Р, =Ь,г р(х)о1х, а, ! а! 2 о;,= ~ е)(-*'„*) .— ( е)( —; *') а! а! у = 1! 2, ..., и, (28) В данном случае граничные условия в точках хе, т, е удовлетворяются автоматически. Выпишем коэффициенты системы (17). Из (26) получаем (еь, е,) = 0 при ~й — г! ез 2, н! следовательно, матрица системы (17) трехдиагональная.
Положим Ьь = хь — хь ! (й = 1, 2, ..., и+ 1) и введем следующие величины: Глава з. Численное решение краевых задач а так же величины д(х) 1- ' ' 1-- ' г)х, кг-.з у = 1, 2, ..., и+ 1. (29) В рассматриваемом случае пространство С это йя О, 1:, а функционал Зз( ) -- это (~, ), где (, .) -- скалярное произведение в Еэ(0, 1); поэтому 1 (/, ее) = /(х)вь(х)г(х, 6=1, 2, ..., п. о (30) Используя введенные величины, зашппем систему (17) в виде ( — Рь 'ч)к ь — г)сь — з (Рь + Рь-и + сгьь)се+ +( — Ретз+0ьепь)бетз = Фы 6 =1, 2,...., и, (31) причем мы полагаем бв = б„з = О, Фь =- (/, еь) (6 = 1, 2,..., и).
8. Погрешность в норме Хг. Оценим погрешность метода для приведенного примера в предположении, что коэффициенты системы (31) нам известны точно. С этой целью докажем два элементарных предложения. Пусть и я Изг [О, 1), и(О) = и(1) = О. Построим по функции и снлайн Ф(х; и) согласно формуле (23), Положим и(х) = и(х) — иу(х; и), и пусть и~г = (о, и) Ы . Предложение 3. Фрнкцил и(х) удовлетворяет нвраввнсгпвалз (и',г (6 и")г/2, ~и'~г ( 6(и )г/ъ'2, (32) гдв 6 = шах 6ь. доказательство. На элементе ап. имеем ио(х) =. ио(:с), и, замечая, что и(хь ..з) = и(хг) = О, по теореме Ровня найдем такую точку С Е озт дая Злмпчлнгзк. Как показывают этот пример и примеры для краевых задач в частных производных, мера обусловленности матрицы жесткости имеет такой же порядок, как и для разпостной аппроксимации, при условии, что сравнение делается при одном и том же числе узлов и предположении, что С ~ < 6е/6 < С, где С не зависит от и.
Системы с трех- диагональной матрнцей решаются методом прогонки, слзисанным выше. и, как мы видели, решаются оптимальным способом. Таким образом, приближенное решение краевой задачи (1) нами сведено к вычислению интегралов (28) — (30). Оценив ту точность, с которой нужно вычислять указанные интегралы, можно оценить и объем работы, необходимый для нахождения приближенного решения, и, следовательно, оценить эффективность метода. 3 4. О решении краевых задач методом конечных элсментоо 615 которой ю'(5) =- О.
Отсюда ю (х) = / и (1) сЮ, х с ол;. По неравенству Буняковского — Шварца 1,.72 ю'(х)' ( [х — 5['7 / [ив(1)! М, х и игь. 1 Возводя в квадрат обе части неравенства и интегрируя по х в пределах от хь до хь7получим 2 [ю'(х)[ дх (~ †' / ио(х)[ дх, й = 1, 2,..., п,.)- 1 2,/ Ь вЂ” 1 К вЂ” 1 Суммируя пошгедние неравенства по )с, получим второе неравенство (32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
