Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 122
Текст из файла (страница 122)
= 7 + 3 Жэз — 1' + ЬРзеэх. )+ Ь ЬР ЬХ = йс~(х) + о(1). Ь Отсюда следует, что 11ш Х~(х) = Р(х)У(х), так как 1пп 9'1х) 1 оо 1 оо = Р(х). Из уравнения (33) следует. что последовательность (Ьл(х)) равномерно сходится к некоторой непрерывной вектор-функции 1з(х). Покажем, что 1'з = е11'~с1х. Прежде всего отметим, что если х < х < х ты 395 О 3, О решении краеаих задо, методом ирогогиеи то Ьог(х) — Ьо1(х,) = э~Ь 'г1~1е4 = Ыг) — 'О. 'ег,„— г. 'его) гг. Ь х, Отсюда г Г г-' г Ьо1(х) — Ьо1(0) = Е 1(С) д6 — ~~' 1 (Ь гггХь+1 — Ь 1~1Хь) агав Ь о о=о — '(Ь 'гугб тг — Ь ~1тг31)И~ = / Когад»вЂ” Ь ю о 1 — 1 х 1' Хг — 1 — -~(А2;.1 — 112ь) -~ 1(Ь-1А.31, -Ь-1ЬХ,) <.
о ь=о г Поэтому То1(х) — Ьо1(0) = ~Ео1(6е(~ О(Ь) о и, следовательно, после перехода к пределу при 1 --г оо получим 1''(х) -- У(0) .= ~1~(~)И~. о Из уравнения (33) следует, что йУ(х)~йх+ Р(х)Ъ'(х) =- О, а граничные условия (31) влекут соотношение А1е(0) Е ВУ(1) — -- 0 Отсюда следует, что 1'(х) = О, что абсурдно, поскольку по предположе- нию Щ'О, = 1 (1 — -- 1, 2, ...), и, стало быть, выполняется неравенство шах~~-гг(хй д гпак~~ог(х)' > 1, х г Глаза У. Численное решение красаик задач которое в пределе дает гпах[У'(т)[, + гпах У(т)[, > 1.
а а Прямое утверждение теоремы установлено. Дгоказательство обратного утверждения мы предоставляем читателю. П Следствие 1. Если компоненты вектора У(т) — решения задачи (29), (30) — ггринадлезгсат классу Ъг'з,(М; О, 1), то, гголозгсио у .=. Я вЂ” У(к ), г» .— — (%, 0„), гголучим шах([% х.„...., [туг,ж) ( С6-, (34) В самом деле, в силу сделанных предположений [Хг тг»я;~ < С6 (» = О, 1, гг — 1).
Поскольку вектор г» удовлетворяет системе (30), в которой Г,а г»з = Хг гдь С = О, то нз неравенства (32) следует неравенство (34). Погрешность приближенного решения ра(У) определим как и раньше. Пусть гг:„г -- отображение Кг" гг в пространство непрерывных вектор-функций (С[0, Ц)'" = С[0, 1 х... х С[0, 1!, гратг '. (ло . л~) -г С(ей б). Тогда р„(Я) = шЕ гггах [У(т) — С(т; ()[. Следствие 2. ХХз (34) следует, сто (у) -Х зи (Зб) В самом деле, если мы в качестве С(х: г,) возьлгем сплайп Ха(х), то на основании прелложепия 1 з 6 гл. 3 из (34) вытекает неравенство (35), Следствие 3. Дефектное число пргедлозгсенноео способа дискрегпизации не больш~ 1. В самом деле, из оценки (35) и теоремы 1 з 7 гл, 3 следует эта оценка.
Можно показатэн что дефектное гнело равно 1. Замнчанин. Перейдя от одного уравнения (1.6) к системе (29), мы совершенно не воспользовались тем, что у„, = ууа 1~. Наше предположение о том, что у е И:з (ЗХ; (), 1) (» = 1, '2, ..., т), влечет включение у й 1Р за(ЛХ; О, 1). А это приводит к тому, что дефектное число дискретизации в случае одного уравнения будет равно пи И хотя с погрешностью 0(6з) известно не только искомое решение у(х), но и его производные у'(х), ..., ур" ~г(т), реально воспользоваться этой информацией, чтобы уточнить решение, весьма затруднительно.
Переход от одного уравнения к системе благотворен в том отношении, что систему (ЗЦ нужно решать с точностью 0(6з), а не с точностью 0(6 эи), как з 3. О ресиеиии краевых задач методом прогонки 397 в случае одного уравнения. Преимущество редукции одного уравнения к системе первого порядка проявляется и при конструирования разностных граничных условий. Наличие производньпс выше первого порядка в исходной задаче существеняо усложняет структуру разностпых уравнений вблизи границы.
3 а д а ч а 6. Докажите, что дефектное число рассмозренной дискретизации задачи (29), (ЗО) равно 1. 6. Ленточная прогонка. Итак, чтобы найти приближенно решение краевой задачи (29), (ЗО), нужно решать систему линейных уравнений (31). Пусть й -- егатрица системы; ее размер равен (и+1)т х (и+1) т, а число обусловленности сопс),о(й) < С и, что следует из (32) и очевидного неравенства (й ос < Сои.
Если занумеровать уравнения системы (31) естественным образолс, то матрица й будет отличаться от ленточной лишь клеткой размером т х ти, расположенной в правом верхнем углу. Последнее обстоятельство пе снижает эффективность алгоритма Гаусса, н для класса таких матриц оп столь же эффективен, как и для ленточных матриц. Существуют варианты метода исключения Гаусса с принудительным порядком выполнения операций. известные под названием ленточных прогонок,. Опишем один из таких вариантов применительно к ленточным матрицам. Предположим, что граничные условия имеют разделенный вид, т. е. матрица Л имеет ранг е и ее последние т — в строк нулевые, а матрица В имеет ранг т — в и ее первые в строк нулевые (именно такая структура матриц Л и В обеспечивает ленточность матрицы й).
Чтобы не вводить новых обозначений, будем через Л обозначать прямоугольную в х т-матрицу, а через В прямоугольную (т .- е) х пмьсатрицу. Теперь граничные условия запишутся в виде Лбе = См Вгб„= Ся. Установим для любого 1 соотношения вида, Л, Я; = ~д, В171 = гй, 1' = О, 1, ..., и, (36) где Л„Вд прямоугольные матрицы соответственно размером в х т и (т — в) х га, а С, й Н', г1 й В."' Первое соотношение при 1 = О диктуется левым граничным условием, и мы можем положить Ло — — КоЛ, 4о = КоСм где Ко некоторая з х в-матрица.
Последующие соотношения получаются с помощью системы (31), уравнения которой можно записать в виде 598 Глава О. Чиелеииое решение кроеоих задач где уз = з — 2Рэ., ~ ) ~Т+ 2Р уэ откуда А,т1 =К„1ЛЯ;,цг., ~д 1 = К 1 ~, +ЬА 1 — — Рдтцэ) Ртедя 2 (37) где Кд~ 1 некоторая нормирующая о х э-матрица, Поскольку при д = 0 нам известны матрица Ао и вектор ~ьо тем самым мы имеем возможность рекуррентно определить А, С (д =- 1, 2, ..., и). Аналогичные формулы легко УстанавливаютсЯ и длЯ матРиц Вэ и вектоРов 0, но тепеРь пРоцесс их вычисления нужно начинать с э .= и и двигаться в сторону уменьшения индекса дч Таким образом, для каждого э' из множества (1, ..., и —. Ц мы будем иметь уравнения (36), и если квадратная матрица [' ' ~, составленная из строк матриц А и В, будет неособенной, то можно определить У (д' = = 1, 2,..., и — 1).
После этого векторы Яо, Яо найдутся из соответствующих уравнений системы (31). Какова роль нормирующих матриц К и аналогичных матриц, возникающих при определении В,, п,у В процессе прямого хода при определении Л, б (В, ну) матрицы Л (В,) могут вырождаться в силу предписанного порядка исключения. Чтобы предотвратить это вырождение, на каждом шаге вводится перенормировка. Проанализируем процесс прямого хода, предположив, что матрица Р постоянна, ее собственные значения р, полупростые и вещественные и (38) д1 ~~ ° ~ Эре ~ 0 ~ де-е1 ~ ~° ° Э дт.
Пусть им ..., ш левые собственные векторы матрицы Р. Рассмотрим вначале прямой ход в предположении, что К. = 1 (д = О, 1, ..., и). где 7 -- единичная е х э-матрица. Из формулы (37) следует, что А =- АоЯэ, где О = (7 - *пР~2) (1 т ЬР12). Пусть Ц вЂ” 1, 2, ..., э) векторы, образованные элементами строк матрицы А . Тогда т ж ошиы С~' =~Лоопа ~ы 1=1 2, о=1 ь=1 где Ль = (1 + Ьдь/2)(1 — гедь72) '. То есть, в собственном базисе Еслибы,", ~0(1=1,2,...,о) иЛ1) Лэ ) ...,топриу совсевекторы (Ь~) становятся пропорциональными очному и тому же вектору З 3. 0 решении краевых задач метоегом прогонка 399 (оа, О,..., О) и налицо будет вырождение матриц А . То, что требование ег~г ф О не является ограничением, очевидно, так как из-за погрешностей округления последнее неравенство будет иметь место.
Если Лг .= ... = Л, (г < е), то опять матрицы А, будут вьгрождаться. Отсюда ясна роль матриц К: с их помощью можно избавиться от описанного выше вырождения. Выбор этих матриц неоднозначен. Допустим, что матрица, А, определяющая левое граничное условие, такова, е1ес(;"„); „„~ О. Тогда матрицу Ко можно выбрать так, чтобы векторы г,г (1 = 1, 2, ..., е), образованные строками матрицы КоА =- Ао, имели вид (г .— — ол р ~~ оу„о в, о ь=гг-г Положив К =- е1!ай(Л ~))' ы г —... 1.
2, ..., п, получим на основании формулы (37) (39) 'Ль 'о — — егшш~., 1 .—... 1, 2, ..., э. а=ьг1 Стало быть, нормы векторов г,"гг (у = 1, 2, ..., п) равномерно ограничены по и, а углы между ними больше некоторой константы, не зависящей от п, поскольку Лг > Ль (й =1 —.1., 1 —,2, ...., п). Аналогичные построения можно осуществить и с правым граничным условием и тем самым 1л, обеспечить невырожденность матриц ~пг ~, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
