Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Этого простого правила мы и будем пока придерживаться. Примиир. Пусть элементарная окрестность точки (т6, пт) состоит из точек ((кч — 1)6, ит), ((т -~ 1)6, пт), (т6, (и + 1)т). Заметим, что в данном случае сама точка (ш6, пг) не входит в элементарную окрестность. Но как в таком случае аппроксимировать производную по 1? 575 з 2. ««остроеиие раоиостимк аппроксимаций ВЕДЬ Л1Ы НЕ РаСПОЛаГаЕМ ВЕЛИЧИНОЙ и,"и. СЧИтаЯ, Чта СЕтОЧНаЯ ФУНК- ция и": е «ьл — л К получена ограничением гладкой функции, .в силу формулы (3,4.17) имеем ии 2, и + и 62 2д и(~, пт) дта откуда (14) Этой интерполяциоиной формулой часто пользуются при построении разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений.
Позтому производную ди«1д««и,л „,л можно ашлраксимиРовать следУющим обраЗОЛ1: ди(т«л, пт) ии, 1 — (о" + ии ),12 Таким образом, разностпое уравнение имеет вид , иь1 1>и ,И Л1и и еи "т ' ' (лт~-1+ лт — 1112 и ит~-1 — ит — 1 -и +аи = 1". ( Рб) т 26 Чтобы выяснить, какое же дифференциальное уравнение аппроксимирует данное разностное уравнение, обычно прибегают к следующей формальной процедуре. Используют связь операторов сдвига и дифференцирования, которая дается формулой (2.4.1), и вводят операторы сдвига по переменным л, й Т" = ехр(6 —,), Т = ехр(т —, Позтому левую часть уравнения (15) в предположении, что сеточная функция и„", получена ограничением на сетку функции и ~ С при а =- сопвц можно записать в виде Л(Ь. т)и";= ( — '(ехр(т —,) — — (ехр(6 —,) + ехр( --6 —,))1+ - — (ехр(6 —, ) — ехр( — 6 —, ) ) ) и„",, где Л(6, т) .
— разностей оператор в левой части формулы (15). Последняя запись означает, что указанные операторы применяются к функции и(т, «), и затем полученный результат берется в точке (уп6, пт). Таким образом, «ди м ди -1~ 26 д 'и Л(Ь, т)и" = ° — —:а —, — и ~~ '+ ( д~ В" ~- (2.). д*'- о=1 то †дои 62ъ д2~ "+аУ р( д« . (2р+ 1)! дтз"11)«ь, и=2 и=1 Глава О, Числгяпое ргуиениг красгих гадин Из этой формулы видно. что если т, Ь ч О независимо друг от друга, то разностный оператор Л()ц т) не аппроксимирует какой-либо дифференциальный оператор.
Такого рода разностные операторы называются негибкими (часто говорят о негибких разностппих схемах). Если т)Ь = и и это отношение сохраняется, то при условии, что х е Сз Если т(6 > гге > О, и ~ Сг, то нетрудно получить соотношение Л(6, т)и" —.— — + а —, — 0(6) Наконец, если тЬ вЂ”.— у, и е С', то Л()ц т)и = г — а —, — т,, + ,и дг ди — 1д ю 1 д2 дх дхг ~,2 д12 12у дхл б дхз/ Таким образом, мы видим, что рассматриваемый ревностный оператор аппроксимирует не исходный дифференциальный оператор, а параболический оператор д 1дв д а —. д1 у дхг дх' П Дифференциальные выражения, стоящие в фигурных скобках в формулах (16)„(17), называются первыми дифференциальными приблихсенилми. Первое дифференциальное приближение проливает некоторый свет на свойства решений разностных уравнений.
особенно при не очень малых шагах нли при больших значениях градиентов решений. Первое дифференциальное приближение может принестн определенную пользу при исследовании разностиых уравнений, аппроксимирующих нелинейные дифференциальные уравнения. Метод первого дифференциального приближения предложен А. И, гКуковылл )23Ц и Н. Н. Яненко ~244). 3 а д а ч а 2. Покажите, что разностное уравнение 2т (г„,т~ ' и и,.1 г ) -~- — ю(и,"„'т~1, — е"~') + П вЂ” а)(У" т, —. е )) =- )"~1У~г, П8) где О < и ( 1, У„",е,à — — у1(т — 1/2)16 (п — ' 1/2)т), аппраксимирует уравне- ние (8), и найдите первое дифференциальное приближение.
877 62. Постароепие ревностных аппроксимаций Замечание. Уравнение (18) существенно отличается от предыдущих примеров тем, что величины с индексом и,, 1 не выражаются явно через величины с индексом и, Применительно к эволюпнонвым задачам такие разностные уравнения (разностные схемы) называются нелепыми. Приведенные примеры дают представление о многообразии разностных уравнений, аппроксимируюших данное дифференциальное уравнение. Относительно регулярный метод получения разностных уравнений —.
это метод неопределенных коэффициентов. Продемонстрируем его опять на примере уравнения (8). Используя элементарную окрестность узла, указанную на рис. 1, мохсем разностное уравнение записать в виде 1 и"''.=- ~~ Ьуи" е, —:ту", о= — 1 1 тЛ(6., т)и"„, = ехр т — — ~ Ь;ехр у'6 —,1 и" = ту дх) 1 Делая те же предположения, что и при выводе формулы (16), придем к соотношению тЛ(Ь, т)и" = 1 — ~~ 6 и+т — +(Ь 1 — Ьз)6 — + ди ди дх о= — 1 Таким образом, чтобы это разностное уравнение аппроксимировало диф- ференциальное, необходимо выполнение условий (Ь 1 — 61) = ат. 6,=1, о= — 1 Тогда Л(1ц т) о" = [ —, -е а —, +— щ ) ди ди тдзи ~ д1 дх 2д1з Ья „, ьз, — (61+ Ь 1) — "+ 0( т~+ — у) ) .
(20) Итак, мы получили однопараметрическое семейство разностных уравноний, и свободным параметром можно распорядиться с таким расчетом, чтобы разностное у.равнение удовлетворяло некоторым дополнительным условиям. Ясно, что разностные уравнения, приведенные вьш|е, 578 Глава У, Численное решение краевых гадал но отличные от уравнения (18), получаются как частные случаи уравнения (19). Введем некоторую терминологию, используемую в теории разностных с.еьь Прежде всего подчеркнем, что паше исследование носит локальный характер. Те разностные операторы, которью мы строим, являются одпороднылси, т.с, их вид не зависит от того узла (т1 6н ...
..., пн6ь нг), в котором строится разностный оператор; тем самым предполагается, что переменность коэффициентов не влияет на структуру разностного опоратора. Мы говорим об аппроксимации дифференциалс— ных операторов разностиыми, предгюлагая, что интуитивно ясно, о чем идет речь.
Дадим теперь формальное определение. Пусть Л(Р, х) дифференциальный оператор, Хь, Х~, — сетки, на которых будут рассматриваться решения и правые части. Оператор ограничения на сетку обозначим через,7ь. Через Л(х,, 6) обозначим разностный оператор. Будем говорить, что оператор Л(х,', 6) аппраксимирует дифференциальный оператор А(Р. х) па классе И'" (г = (гы ...., г~)), если для любой функции и б И'" (Л(Р, х)и), — Л(х', 6)(дьи) =- о(1) при 6~ —.е О, где (ь(Р, х)и) —.
(Ь(Р, х)и) л — °, х,' узлы сетки Хь. Функцию на сетке Хь, определенную равенствоьс Л (и) = (1.(Р, х)и) — Л(х,*, 6)(дьи), 6,(и), < Л7,~6'. (21) Если ЛХо < М < ~ю, то апгсроксимапия будет раонолсерной. Можно ослабить требования н рассматривать не произвольные шаги 6„а шаги 6 = 6 '', где ш (~ —. 1, 2...,, 1) -- заданный набор пололсительных чисел, 6 -- некоторый средний шаг. Тогда будем говорить, что имеет место аппроксимация с порядком р ) О, если .:Л,(и)! < ЛХ„ЛР. (22) Наконец, будем говорить, что имеет место аппроксимация с данным порядком на решении уравнения Л(Р, х)и =- )', если соотношение (21) (соответственно (22)) имеет место, когда и решение уравнения. Вообще порядок аппроксимации на решении может отличаться от порядка аппроксимапии не на решении.
назовем погрешноспзью аппроксимации. Пусть Й = (Йы ..., Ц) — вектор с полохсительными координатами. Будем говорить, что разностный оператор Л(х', 6) аппроьтллмируепс дифференциальный оператор на классе И' " с порядком Й, если 879 з 2. Построение раоносгпнык аппроксимаций В самом деле, рассмотрим разностиое уравнение (19) и предположим, что т = 6. Тогда, как показывает формула (20), имеет место аппроксимация первого порядка. Потребуем, чтобы коэффициенты 6, разностного уравнения удовлетворяли дополнительному условию 1 та ь, -~ ь., = —, ( —,') .
Тогда и поскольку то, етши о решение уравнения (8), получим дгр г дгп дз' дз' д, "дкг= д1 ад, Следовательно, Л(6, т)н" = ~ — + а — + — ( — — а —, О(т ) и 1 дп дв т Рд~ д,)"1 (д1 дл 2 (кд1 дх) Таким образом, разпостпос уравнение Л(6, т)тп = уп — ~ — — а — ) т /дУ дУ'у ги т 2 ( д1 д (тй, пг1 аппраксимирует уравнение (8) на решении с порядком, не меньшим чем второй, Отметим, что в данном случае 6 — 1 = — (1- — ) ° Ьо =1 — .; Ьг = — ( — 1+ — ) 26 26 262 ' 26 26 Поскольку цостроеиие разностных аппроксимаций дифференциальных операторов делается элементарно, без дальнейших обсуждений приведем ряд задач на построение разностных уравнении. Ниже используются введенные выше обозначения.
Для удобства введем вторые разделввные центральные. разности: б„гп, = (п,ч.1 — 2е + о 1)6 . Если дана г, — г сеточная функция от многих переменных, то разделенную центральную разность по переменной т. будем обозначать через б~г . 580 Глава у. Численное решение храсаих задач +1, — 1 (23) 2г ,» — 1» = об~,и", (25) ит и»» ( б~и ~~, (1 2 )фи бе 2т .л ' 1 =- аб~,и (27) Убедитесь в негибкости уравнения (24).
Какое дифференциальное уравнение аппроксимирует схема (24), если т = о6 (6 » О)2 4. 1'ассмотрим в Ие уравнение (а(х)В1 + 26(х) 011)е + с(х)0г)и = )'. (28) Пусть и .—. (ии из) — мультииндекс, хи (6 = (6м 6з)) — сетка, определенная вьпие, Покажите, что разностное уравнение 6 а,бь,и =- »хзь,Ьзь,и 1+с бмс =„~ю (29) 2616з где и — 1 = (щ — 1, ие "- 1), аппроксимирует уравнение (28) с порядком, не меньшим чем второй. 5. Для уравнения Пуассона — Ьи — — ) (х) в И постройте разностное уравнение, дающее на решении четвертый порядок аппроксимации, используя множество Узлов сетки (х„: (м — 4л6» .—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
