Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Если в граничных ус ювиях (4) константы Сй (Ь = 1, 2, ..., гп) равны ньшю, то задача (6) определяет линейный оператор .'Т: С[а, Ь[ С [а, Ь„Ы: 7" йэ у, определенный па всем пространстве С[а, Ь[. ГраФик этого линейного оператора замкнут, и поэтому по теореме Банаха о замкнутом графике [ у['[ ° < А[Я где [, ,'[',„— норма в С [а, Ь. Последнее неравенство можно записать в эквивалентном виде: ~[ьд'"'[- < 4[й- (7) й=ь Если Г б С" [о, Ь„рз б С' [а, Ь'„то аналогичным рассуждением можно полъчить неравенство ~ [у'й'„< В~[)цз'.„. (8) й=а з=о Неравенства (7).,(8) показывают,что задача (6) корректна, Конечно, в приложениях существенную роль играют величина конгтант А, В и их вариация при вариацьш коэффициентов оператора б и коэффициентов линейных форм 1й, задаьощих граничные условия. При дискретизации задачи (6) важно, чтобы выполнялись дискретные аналоги неравенств (7), (8), и мы будем оценивать качество дискретизации по выполнимости этих неравенств.
Рассмотрим задачи ва собственные значения для обыкновенных дифференциальных операторов. В связи с этим напомним некоторые факты теории спектральных задач, в частности опредшьение сопряженного дифференциального выражения. Достаточно считать, что рз б С~ з [о, Ь; (7' = О, 1, ..., ьгь). Если у, г 6 С [а, Ь1, то, интегрируя й раз по частям, имеем ь р.-йу 1х= [р -й=-у — (р -йх)'у Ьй) — — Ьй — и — ьй — 21 ..1(-1)й-'(р йй)'"-Оу1."=.'-:— (-Ц'~у(р йй)'"'«х, где [уь',„— результат подстановки пределов интегрирования, т.е.
Ьь(Ь) — р(а). ,ь Полагая й = гпч т — 1,..., О и суммируя полученные выражения, найдем ь ь б(у~)йдх = А(8, ь1) + з~ уй (х) дх, (9) Допустим, что пь =.. г и что детерминант этой матрицы отличен от нуля. Это условие мы будем считать выполненным. Поэтому, используя метод Дагранжа вариации произвольных постоянных, мы убеждаеьйся, что неоднородная задача Глава У, Численное решение краевых задач где Ь*(г) — сопряженное по Лагранжу дифференциальное выражение: (е) = ( 1) (Роз) + ( 1) (Р1х) + 1 Р А(б, г1) — билинейная форма от переменных б = (у(а),..., У1ы 0(а), У(Ь),,у~ ' (Ь)), г( =- (е(а),..., -'~ ~(а), (Ь), ...,еЕ"' ~(Ь)). Из вывода формулы (9) очевидно следует, что Х.**(у) = 1(у), т.е.
дифференциальные выражения Л(у) и Е" (у) сопряжены друг другу. Если Е*(у) .=: Ь(у), то дифференциальное выражение называется самосоарлжсенным. Ясно, что самосопряженное выражение имеет четный порядок, т. е. га =. 2п. Граничные условия задаются с помощью линейных форм 1л (Ь = 1, 2, ... ... г); если г < 2нб то допозплим зти формы произвольпымв формами так, чтобы получить линейно независимую систему 2т линейных форм, Выразим величины у(а),..., У1~ 0(а), у(Ь),..., у'" "(Ь) через 1,,, 1з,„и подставим их в билинейную форму А(б, .г1), которая после подстановки приобретет вид А(6 ч) 2„(лу .—- л=л где уз — формы от е(а),..., ~ 0(а), х(Ь), ..., ~ ~(Ь).
Можно доказать, что формы д линейно независимы. Формы уп ..., дз,„определяют сопряженные краевые условия для оператора Х,*. Итак, получаем сопряженную задачу 1*(х)=д(х), д(х)=Сп у=1,2,...,2т,— г. (10) Граничные условия называются самосопрлаюеиллыми, если они эквивалентны своим сопряженным условиям. Оператор Л, определяемый дифференциальным выражением 1,(у) и граничными условиями 1,(у) = 0 (у =- 1, 2,, га), пелывается саллвсвпрвзменным, если Ь" (у) =- Л(у) и граничные условия самосопряженные. Рассмотрим задачу на собственные значения для дифференциального оператора Б Цу) =Лу, 1(у)=0, у'=1,2, ...,г, где Л Е С спектральный параметр.
Спектр самосопряженного дифференциального оператора вещественный, и собственные функции, отвечающие различным собственныл1 значениям, ортогональшю Каждому собственному значению отвечает лишь конечное число собственных функций., н их можно ортогонализировать. Таким образом, собственные функции самосопряженного дифференциального оператора образуют ортогональную систему. Если дифференциальный оператор несамосопряженный, то его спектр уже не обязательно вещественный.
Более того, несамосопряженный дифференциальный оператор может не иллеп собственных значений, либо любое Л Е С будет собственным значением. Наконец, несамосопряженный оператор может иметь но более счетного числа собственных значений, не имеющих конечных предельных точек. Последние результаты тривиальным образом получаются на основании следующих соображений. Пусть у,(х, Л) (у = 1. 2, ..., ш) — фундаментальная система решений уравнения Цу) = Лу и у " 0(а, Л) = б,д (и, у = 1, 2,..., т), Из об- 1„-0 щих теорем теории лифференциальных уравнений следует, что уз(х, Л) — аналитические функции Л со значениями в С"'[а, Ь). $ 1.
Общие вопросы теории краевых задач Краевая задача (11) имеет нетривиальное решение тогда н только тогда, когда ранг матрицы Р(Л) = ((ь(рз))ь' ",',, меныпе т. Наиболее важшяй в приложениях отучай, когда т =- г и с1е1 Р(Л) З: О. Тогда 2(Л) =-- с1ее Р(Л) -- целая функция, и она может иметь не более счетного множества корней (либо вовсе не иметь корней).
Если Лз простой корень гз(Л), то Лг — простое собственное значение оператора, и ему отвечает собственная функция рз(х), Как известно, дифференциальный оператор имеет обратный (при г = гп), являющийся интегральным, оператор. Ядром интегрального оператора служит функция 1 рина, построение которой приводится в любом курсе теории дифференциальных уравнений. Рсзольвспта этого иптсгралыюго оператора имеет полюсы в собственных значениях Лз. Если полюс резольвенты простой, то такое собственное значение либо просгао, если ему отвечает единственная собственная функция, либо волупросто, если ему огвечаот группа линейно независимых собственных функций.
Если полюс резольвенты не простой, то кроме собственных функций у оператора будет и некоторое (конечпое) число присоединенных, функций. Отметим важный факт: если Л вЂ” собственное значение оператора Ь, то Л вЂ” собственное значение оператора 2 ',т.е. задача (11') имеет нетривиюгьное решение. Собственное значение Л оператора Р полупросто тогда и только тогда, когда для любой собственной функции зоз, отвечающей собственному значению Л, найдется собственная функция ф, сопряженного оператора, отвечакицая собственному значению Л, такая.,что (рз, ий) Зо О, где ( , ) скалярное произведение в Х,г(а, бр Мы уже отмечали, что неоднородная задача (6) имеет единственное решение при любой правой части, если однородная задача имеет только тривиальное решение. Если мы попадаем на спектр, когда однородная задача имеет нетривиальное решение, то неоднородная задача (6) имеет решение лишь тогда., когда правая часть ф (мы полагаем, что в (4) г .— — гп, Сг = ..
—. Г„, =. О) удовлетворяет условиям (г, ф) = О, где и -- произвольная собственная функция сопряженной задачи. 2. Эллиптические уравнения. Формальную сторону построения разностных схем удобно проделать в общем виде. Поэтому предварительно приведем некоторые элементарные сведения о постановке краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Начнем с хорошо известного уравнения Лапласа в Н, где 1 > 2, имеющего вид Дважды непрерывно дифференцируемые в некоторой области Й решения уравнения (12) называются гармоническими ф1гнкцилми.
В сггучае 1 = 2 имеется тесная связь с теорией аналитических функций, поскольку гармоническая в области П функция является вещественной частью некоторой аналитической функции (вообще говоря многозначной). Естественной краевой задачей для уравнения (12) является задача Дирихле, вли первая красова задача, которая формулируется следуюп1ггм образом. В связной области П С Н' с гладкой границей дй нужно отыскать решение уравнения (12],удовлетворяющее условию и )зп <Р: 552 Глава У, Чггслею*ос решение краевых задач где Эг непрерывная на дй функция, уи дй К. Известно, что задача Дирихле в такой постановке всегда разрешима и имеет единственное решение.
Это вытекает из прин«шла максимума. Предложение 1 (принцип максимума). Гармоническая функция, непрерменал е замкнутой области Й, п1«внимает свои наибольшие и неименьигие значения на границе области: гп1пи ~зп( и(х) ( шахи ,'зп, пригем, есяи х —. внутренняя точка, то неравенства -- строгие при условии, что и(х) Х сопя!.
Не менее распространена для уравнения Лапласа задача Пейманш или згпорая краееал задача, состоящая в том, что ищеэся решение в области Й, непрерывно лифференцируемое в Й, такое, что = уи ди дп Предложение 2. Пусть и(х) — 1(«ункцил, гармоническая и непрерывная е Й, отличная от коне«пантин Пусть хо и дй точка максимулга и(з:), Л вЂ” луч, исходлщий из гаечки хе, имеющий направление нормали е хе и идущий енугггрь области.
Тогда Р )О у «а,хе дс« Третья краееал задача соединяет черты первой и второй,.поскольку требуется отыскать гармоническую функцию, непрерывно дифференпируемую в Й и удовлетворяющую граничному условию ( — уаи)~ — -- р, (15) где а и С(дй). Если ш(а ) О, то, квк следует из предложения 2, однородная задача (12), (15) имеет только тривиальное решение и поэтому всегда разрешима, так как с помощью теории потенциала ее можно свести к задаче с компактными операторами. Наконец, рассмотрим задачу с косой производной.
В этом случае в окрестности границы дй задается непрерывное векторное поле единичных векторов и требуется отыскать решение уравнения (12), удовлетворяющее условию =Ф: ди (15) где в — вектор поля. Для этой задачи индекс, вообще говоря, отличен от нуля, и она еще не до конца исследована теоретически.
В случае и = 2 задача где р й С(дй), дй Н, дггдп — дифференцирование по направлению нормали (внешней) к дй, Задача Неймана разрешима не всегда, а лишь при условии, что ) Эгдо = О, где да мера Лебега на дй. Ясно, что решение этой задачи определено с точностью до константы. Два решения задачи Неймана с одной и той же правой частью различаются на константу. Это вытекает из следующего предложения. 3 1. Общие вопросы теории красава задач с косой производной тесно связана с зада «ей Римана — Гильберта для системы Коши -Римана, о которой мы говорили в предыдущей главе. Мы рассматривали задачи об определении гармонической функции внутри области й, или так называемые аиутрет«ис задач«л.
Однако многие задачи физики приводят к так называемым ансшт«м задачам, когда решение отыскивается в области, внешней по отношению к некоторому телу (области) или системе тел, ограниченных гладкими поверхностял«и. В этом случае граничные условия (13)-.(16) остаются в силе, но нужно поставить дополнительное граничное условие на бесконечности:, обычно при п ) 3 принимают (17) 11п«и(х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
