Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 114
Текст из файла (страница 114)
При и =- 2 требуя«т ограниченности решения как вненшей задачи Дирихле, так и внешней задачи Неймана. Эти условия обеспечивают единственность решений внешней задачи Дирихле и Неймана при п ) 3 и внешней задачи Дирихле при и =- 2. Таким образом, для разрешимосп«внешней задачи Неймана при и ) 3 не требуется налагать дополнительного условия на правую часть соотношения (14), а при и = 2 это условие остается в силе.
Гармоническая функция внутри области й не только дважды непрерывно дифференцируема, но бесконечно дифференцируема, «.е. и 6 С' (й). Мов«но высказать даже более сильное утверждение: фупкш«я и(х) как функция переменных х«,..., х„, х = (,г«,..., х„) является вещественной аналитической функцией в л«обой внутренней точке х б й. Это обстоятельство нужно учитывать при построении численных алгоритмов. Дифференциальное выражение в левой части уравнения (12) (оператор Лапласа) совместно с одним из граничных условий (13) .
(15) определяет в гильбертовом пространстве Ез й), где й — огра««иче««««ая область, замыкаемый оператор, являющийся самосопряженным неположительным оператором. Тем самым он имеет дискретный спектр, и его собственные значения — Л«, ..., — Л„ таковы, что Л„' «ю. Собственные функции (Р (х)) образу«от в Ез(й полну«о ортонорлп«рованную систему функций, Они находятся как решения уравнения «Л,з„-~-Л„«з„= О с соответствующим граничным условием. Отметим важное свойство этих функций; Эз б С' (й) (и = 1, 2,...). 3 ад а ч и.
1. Пусть Хо с С'"дй' -- некоторый компакт и 1'о -- его образ, получаемый при отображении м ': С'дй) С(й), которое получается. если функции «з с С)дй, посгавить в соответствие рен«еяне и(х) — С"й) задачи (12). (13). Докажите, что Н(з; Хо) = Н(е; Уа). Ранее мы уже расс««атривали неоднородное уравнение Лапласа -- уравнение Пуассона 3и= (18) (см.
Э 7 гл.3, 8'2 гл.б). Для уравнения Пуассона рассматрввают те же краевые задачи, что и для уравнения Лапласа. Только теперь, чтобы решение внутренней зада «и Неймана существовало, необходимо потребовап выполнения условия Предложение 3 (принцип максимума). Если существует даахсды непрерывна диф«)«ерсицируемое решение задачи Дирихлс длл уравнения (18), Гласа 9, Численное решение краевых задач б2 (и(х)( < шах'р)+ — п(ах)Я, х Е й, до 21 и где (( — д(галеетр области й. (19) 2. Докажите неравенство (19). К сожалению, для произвольной функции ! й С„й) ве существует дважды непрерывно днфференпируемого решения задачи Дирихле для уравнения (18). В качестве примера (10Ц рассмотрим в шаре (т б Н~: (х < <-') уравнение х, — хе 5 1 Ьи= )т, з [!(з х! (!и х()з~ (и),+з < С)Д „ (20) где (! (,+ж ) ,'(„-. нормы в проверю(ствах Н' (й), Н" (й).
Допустим, что мы рассматриваем решения задачи Дирихле с нулевыми граничными условиями, предполагая, что ! е Х = Н' (И( й). Полный прообраз этого компакта при отображении сх обозначим через У. Как сказано выше, 1' С Нь~(й). 3. Докажите, что для е-энтропии компакта У имеет место соопюшевие Н(- У) — (М/.)'д"з" (21) Указании.
Воспользуйтесь результатами З 2 гл.5. Полезно сравнить свойства решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа и свойства решений задачи Дирихте с однородными граничными условиями для уравнения Пуассона. Подчеркнем еще раз. что мы предполагаем, что гранина дй области й принадлежит классу С, Будем считать> что в первом случае граничные условия (е й Хо = Н" (М; дй). 4.
Докажите, что Н(; Хо) = (81( )и Из результата задачи 1 следует соотношение Н(ш Уо) ы (51/е)(' (22) Несложно проверить, что функция ио(х) — — (х, — хз)1п 1п(х(! удоввстворяет этому уравнению всюду в шаре, за исключением точки х = 0; вторые производные этой функции в точке х —.. 0 не существуют. Легко убедиться, что дважды непрерывно дифферевпируемого решения этого уравнения с граничным условием и',( ( е(е = иа,', ((т не существует, ибо в противном случае функция и(х) — ио(х) будет гармонической в шаре, кроме начала координат, н будет обращаться в нуль на границе шара.
Но в начале координат особенность устранима, .и поэтому и(х) — ие(т) = О. Таким образом, аналог неравенства (7) в случае непрерывных правых частей не верен. Однако положение можно поправить, если рассматривать правые части из пространства Н',(й) = () Н" (1г1( й), где г нецелое. л(>о В этом случае решение задачи Дирихле с нулевыми граничными условиями (а значит, я с произвольными гладкими данными) всегда существует и принадлежит пространству Н"+~(й). Поскольку оператор гз: П.'~а(й) Н; (й) замкнут, то по (соремс о замкнутом графике имеем аналог неравенства (7)( 555 $1.
Общие вопросы теории кро,семя задач 2 (23) дла котоРого квадРатичнал фоРма 2,' ан(т)5,",з УдовлетвоРЯет неРавенствУ , з .- 1 ) ан(т)5,5,)С~) 5,, С)О., яйй. Это справедливо и для эллиптических уравнений более высоких порядков. Коэффициенты уравнения (23) будем считать гладкими. Если с(к) ) 6 ) О, то для однородного уравнения (23) справедливы предложение 1, а также принцип максимума (19), но с другой константой при шах з" .
Емкостные свойства и колюпактов решений краевых задач для уравнения (23) будут такими же, как и для уравнения .Лапласа. Наиболее простая эллиптическая система — зто гостима Ко1ии — Римана — '+ —, =О, д. д. ду дт — — — =О, дн де дх ду которую можно записать в друтом виде, есливвести операторы Полохсив и =- и —, мн систему Коши -.Римана запишем в виде д.~ду = О.
(24) Отсюда видно, что ш — аналитическая функпия от переменной ж Более общие эллиптические системы могут быть записаны в виде дш)дй = ддш)ду 4- аи) + Ьв+ с = у', (25) где д, а, 6, с — комплекснозначные функции, причем ~у ( й < 1 в рассматриваемой области.
Типичной краевой задачей д;ш систем (24),(25) является задача Римана — Гильберта, в которой надо найти решение уравнения, непрерывное в замкнутой области Пй для которого (26) Если уравнять гладкость элементов компактов 1'о и У, то в соотношении (22) можно заменить г на г + 2. Стало быть, асимптотика е-энтропии этих компактов различна, а тем самым временная сложность оптимальных алгоритмов для решения этих задач будет существенно отличаться.
Мы не даем строгого доказательства последнего утверждения, а лишь сошлемся па следующий эвристический принпип, согласно которому асимптотика временной сложности оптимального алгоритма определяется асимптотикой е-энтропии компакта решений. Это одна из гипотез Н. С. Бахвалова (243). Перечисленные вьппе свойства решений н постановка краевых задач сохраняются (с соответствующими изменениями в формулировках) для общего элли|пического уравнения второго порядка 556 Глаоа у, Числею*ос решение краевых оадач где о, дтр — заданные вещественные функции. Задача Римана — Гильберта — это задача с индексом; ова была рассмотрена выше. Наконец, из у.равненнй порядка вылив второго рассмотрикг бигармоническое уравнение (27) для которого типичны краевая задача ди дп вп и~ = р, (28) и задача и)~п .=. ~о, 364~в ..- Уб (29) где ЛХ вЂ” дифференциальный оператор второго порядка. Например, в теории упругости второе из условий (29) в В.~ имеет вид где д/дв — дифференцирование по длине дуги кривой дй, р ' — кривизна дй, о — константа (коэффициент Пуассона).
3. Параболические уравнения. Свойства параболических уравнений чрезвычайно разнообразны. ййы остановимся на простейшем типе параболических уравнений — уровнении тевлопроводности ди/дс =- ахи, (30) Предложение 4 (принцип максимума). Ьсли и(й т) — ре1аение уравнения (30), дважды непрерывно г)иухференцируемое при всех х й Рс' и 0 ( ~ ( йм непрерывное в ес~ х (О, С ~! и ограниченное, то епр и(К х) = епр и(0, х). о««. ен е ню Отсюда следует единственность решения задачи Коши для ограниченных решений. Существование решения можно получить с помощью фундаментального решения, Важной особенностью решения является то, что решение задачи Коши при любом С ) 0 зависит от значений начальных данных во всех точках пространства.
Об этом свойстве еще говорят, что скорость распространения возмущений бесконечна. Второй особенностью решении задачи Коши для уравнения теплопроводности является повышение гладкости; так, при С > О решение является целой аналитичеекой функцией по переменной х, ограниченной при вещественных х. Пусть область й С Н того же типа,что и в п.2. Рассмотрим цилиндрическую область ггуе —... й х ~0, ~.); множество  —.
дй х ~0, 2.) будем называть боковой поверхностью цилиндра Ж~„мноясество Д = й х (О) — основанием где а > О. Типичной краевой задачей для уравнения (30) является задача Ко- ши, в которой при с ) 0 надо найти решение уравнения (30) такое, что ни=о = = 7 (х), где 7: В. —, гс — заданная функция. Для непрерывных решений задачи Коши имеет место б57 $1. Общие еапросьс теории кра.сеыт. задач и~д —... 4:, .ив —....
Зз, где сз, ал непрерывные функции, причем сз = л'. на дй х (0). Для решений смешан- ной задачи выполняется Предложение б (принцип максимума). Пусть непрерывное е сь1. решение ррависиил (30) имеет е 'ьг. непрерывные производные тех порядков, которые входлга е (30). Тогда спали(й х) =- гпах и, дов ш)пи(й х) =. шш и. ьы дов Из принципа максимума следует единственность решения смешанной задачи. Сугцествование решения смешанной задачи также гарантируется. Приведенные зад гси будут корректпымя и для более общего уравнения ди/д1 .~. Ои — — .с, где Ь эшснптическое дифференциальное выражение, определяемое по формуле (23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
